第8章　第1讲　直线的倾斜角、斜率与直线的方程

第八章平面解析几何考

情

探

究考题考点考向关键能力考查要求核心素养2023新课标Ⅰ，6；2023新课标Ⅱ，15直线与圆、圆与圆的位置关系直线与圆相切、相交运算求解基础性数学运算直观想象2023新课标Ⅰ、Ⅱ，5椭圆的几何性质椭圆的焦点、离心率运算求解基础性数学运算考题考点考向关键能力考查要求核心素养2023新课标Ⅰ，16双曲线的几何性质求双曲线的离心率运算求解综合性数学运算2023新课标Ⅰ，22圆锥曲线中的轨迹方程问题求轨迹方程运算求解逻辑思维综合性数学运算直观想象考题考点考向关键能力考查要求核心素养2023新课标Ⅱ，21圆锥曲线中的定点、定值问题证明点在定直线上运算求解逻辑思维综合性数学运算直观想象考题考点考向关键能力考查要求核心素养2022新高考Ⅰ，14；2022新高考Ⅱ，15；2021新高考Ⅰ，11；2021新高考Ⅱ，11直线与圆、圆与圆的位置关系求切线方程、求参数范围、判定直线与圆的位置关系运算求解综合性数学运算考题考点考向关键能力考查要求核心素养2022新高考Ⅱ，10、16直线与圆锥曲线的位置关系求直线的斜率、方程，求抛物线的准线运算求解综合性数学运算数学抽象2021新高考Ⅱ，20圆锥曲线中的证明与探究性问题证明问题运算求解逻辑思维综合性直观想象数学运算【命题规律与备考策略】本章内容命题形式多样，在选择题、填空题中主要考查圆锥曲线的定义、方程和几何性质，解答题中主要考查直线、圆的方程及位置关系；直线与圆锥曲线的位置关系，涉及弦长、弦中点、定点、定值和取值范围等问题，常与函数、不等式等知识综合考查．对于双曲线的有关性质考查多集中在双曲线的渐近线和离心率上，关于抛物线的有关性质考查多侧重于抛物线定义在求解与距离相关的最值问题中的转化．结合本章的命题特点，复习过程中需注意以下几点：①求解直线与圆的问题时，要注意圆的性质的应用，常采用几何法求解，同时要注意与其他知识的交汇问题；②求解圆锥曲线方程时，需关注待定系数法与定义法的应用；③求解有关弦中点问题时，需关注点差法和根与系数的关系的应用；④求解定值、定点问题时，需注意求解思路与转化方法．第一讲直线的倾斜角、斜率与直线的方程知识梳理·双基自测名师讲坛·素养提升考点突破·互动探究提能训练练案[48]知识梳理·双基自测知

识

梳

理知识点一直线的倾斜角1．定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，把x轴________与直线l________方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为________.2．倾斜角的取值范围为______________________.正向向上0°[0°，180°)知识点二直线的斜率1．定义：一条直线的倾斜角α的__________叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝______________，倾斜角是90°的直线斜率不存在．2．过两点的直线的斜率公式经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝__________.正切值tanα3．直线的方向向量与斜率的关系(1，k)知识点三直线方程的五种形式y－y0＝k(x－x0)y＝kx＋b两点式截距式过原点的A2＋B2≠0归

纳

拓

展1．直线的倾斜角α和斜率k之间的对应关系：α0°0°<α<90°90°90°<α<180°k0k>0且α越大，k就越大不存在k<0且α越大，k就越大口诀：斜率变化分两段，直角便是分界线；小正大负皆递增，分类讨论记心中．2．特殊直线的方程(1)过点P1(x1，y1)垂直于x轴的直线方程为x＝x1；(2)过点P1(x1，y1)垂直于y轴的直线方程为y＝y1；(3)过原点的直线的方程为x＝my.3．谨记以下几点(1)“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数．求与截距有关的直线方程时应注意过原点的特殊情况是否满足题意．(2)当直线与x轴不垂直时，可设直线的方程为y＝kx＋b；当不确定直线的斜率是否存在时，可设直线的方程为x＝my＋b.(3)A，B，C三点共线⇔kAB＝kAC(或kAB＝kBC，或kAC＝kBC)．(4)直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的一个方向向量a＝(－B，A)．双

基

自

测题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．(

)(2)直线的倾斜角越大，其斜率就越大．(

)(3)斜率相等的两直线的倾斜角一定相等．(

)(4)经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx＋b表示．(

)(6)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．(

)××√××√题组二走进教材B3．(选择性必修1P67T7)过点P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为__________________________________.3x－2y＝0或x＋y－5＝0题组三走向高考4．(2022·北京高考真题)若直线2x＋y－1＝0是圆(x－a)2＋y2＝1的一条对称轴，则a＝(

)AD考点突破·互动探究直线的倾斜角与斜率——自主练透1.(2024·重庆重点中学月考)设直线l的方程x＋ycosθ＋2＝0(θ∈R)，则直线的倾斜角α的取值范围是(

)DB3．已知曲线f(x)＝lnx的切线经过原点，则此切线的斜率为(

)C解法二(数形结合法)：在同一坐标系中作出曲线f(x)＝lnx及曲线f(x)＝lnx经过原点的切线，如图所示，数形结合可知，切线的斜率为正，且小于1，故选C.4．若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为____________.[解析]

正方形OABC中，对角线OB所在直线的斜率为2，建立如图直角坐标系，名师点拨：1.求倾斜角的取值范围的一般步骤：①求出斜率k＝tanα的取值范围，但需注意斜率不存在的情况；②利用正切函数的单调性，借助图象或单位圆，数形结合确定倾斜角α的取值范围．【变式训练】A．(0,2] B．(0,4)C．[2,4) D．(0,2)∪(2,4)B2．(2024·河南创新发展联盟联考)过点P(1,1)作直线l，若直线l与连接A(2,3)，B(3，－1)两点的线段总有交点，则直线l的斜率的取值范围为(

)A直线的方程——师生共研2．已知三角形的三个顶点A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，则BC边上中线所在的直线方程为______________________.x＋13y＋5＝03．与直线3x－4y－5＝0关于y轴对称的直线的方程为______________________.3x＋4y＋5＝04．(多选题)(2024·陕西部分学校联考)直线l经过点P(3，－2)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线l的方程可能是(

)A．3x＋2y＝0 B．2x＋3y＝0C．x－y－5＝0 D．x＋y－1＝0BCD[引申]本例4中若去掉“绝对值”，则应选________.BD名师点拨：1．求解直线方程的方法(1)直接法——根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程．(2)待定系数法——①设所求直线方程的某种形式；②由条件建立所求参数的方程(组)；③解这个方程(组)求出参数；④把参数的值代入所设直线方程．2．谨防3个失误(1)选用点斜式和斜截式时，注意讨论斜率是否存在．(2)选用截距式时，注意讨论直线是否过原点，截距是否存在、是否为0.(3)由一般式Ax＋By＋C＝0确定直线的斜率时，要注意讨论B是否为0.求直线方程时，如果没有特别要求，求出的直线方程应化为一般式Ax＋By＋C＝0，且A>0.【变式训练】1．(2024·江西丰城中学月考)经过点P(1,2)，且在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍的直线l的方程是_______________________________.2x－y＝0和x＋2y－5＝0x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0直线方程的应用——多维探究已知直线l过点M(2,1)，且与x轴，y轴的正半轴分别相交于A，B两点，O为坐标原点．求：(1)当△AOB面积最小时，直线l的方程；(2)当在两坐标轴上截距之和取得最小值时，直线l的方程；(3)当|MA|·|MB|取最小值时，直线l的方程；(4)当|MA|2＋|MB|2取得最小值时，直线l的方程．名师点拨：求解与直线方程有关的最值问题，考查函数思想，即利用直线方程中x，y的关系，将问题转化为关于x或y的函数，借助函数性质求解．或利用直线过已知点，则点的坐标适合直线方程，借助基本不等式求解(注意取最值时等号成立的条件)．【变式训练】直线l过点M(1,2)，且分别与x，y轴正半轴交于A、B两点，O为原点．求|OA|＋2|OB|的最小值及此时直线l的方程．名师讲坛·素养提升定点问题1.(2022·浙江模拟改编)已知直线l：kx－y＋1＋3k＝0(k∈R)．(1)直线l过定点________________.(2)若直线l不过第一象限，则k的取值范围为_______________.(3)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，则S△AOB最小时直线l的方程为____________________.(－3,1)x－3y＋6＝02．(多选题)(2024·江西丰城中学月考)已知点A(－2，－1)，B(2,2)，直线l：2ax－2y＋3a－3＝0上存在点P满足|PA|＋|PB|＝5，则直线l的倾斜角可能为(

)BD名师点拨：确定方程含参数的直线所过定点的方法1．将直线方程写成点斜式y－y0＝f(λ)(x－x0)，从而确定定点(x0，y0)．2