第10章　第6讲　二项分布与超几何分布

第十章计数原理、概率、随机变量及其分布第六讲二项分布与超几何分布知识梳理·双基自测名师讲坛·素养提升考点突破·互动探究提能训练练案[68]知识梳理·双基自测知

识

梳

理知识点一二项分布1．n重伯努利试验只包含________可能结果的试验叫做伯努利试验．将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验．特征：①同一个伯努利试验重复做n次；②各次试验的结果____________.两个相互独立npnp(1－p)归

纳

拓

展1．二项分布的适用范围及本质(1)适用范围：①各次试验中的事件是相互独立的；②每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生；③随机变量是这n次独立重复试验中事件发生的次数．(2)本质：二项分布是放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是相同的．2．超几何分布的适用范围及本质(1)适用范围：①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考察某类个体个数Y的概率分布．(2)本质：超几何分布是不放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的．√√××题组二走进教材2．(选择性必修3P76T1改编)将一枚质地均匀的硬币重复抛掷4次，X表示“正面向上”出现的次数，则P(X＝2)＝_______，E(X)＝______.2C题组三走向高考4．(2018·课标Ⅲ)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立．设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，D(X)＝2.4，P(X＝4)<P(X＝6)，则p＝(

)A．0.7 B．0.6C．0.4 D．0.3B考点突破·互动探究n重伯努利试验——自主练透(2024·浙江金华十校模拟)一次掷两枚骰子，若两枚骰子点数之和为4或5或6，则称这是一次成功试验．现进行四次试验，则恰出现一次成功试验的概率为_________.A二项分布——多维探究A2．已知随机变量ξ～B(7,0.5)，则k＝__________时P(ξ＝k)最大．3或4

角度2二项分布的实际应用(2023·湖北九师联盟联考)某校为了缓解高三学子复习压力，举行“趣味数学”闯关活动，规定每人从10道题中随机抽3道回答，至少答对2题即可闯过第一关，某班有5位同学参加闯关活动，假设每位同学都能答对10道题中的6道题，且每位同学能否闯过第一关相互独立．(1)求B同学闯过第一关的概率；(2)求这5位同学闯过第一关的人数X的分布列和数学期望．2．有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布，这时，可以应用均值与方差的性质求解，即利用E(ax＋b)＝aE(x)＋b，D(ax＋b)＝a2D(x)求解．7

超几何分布——师生共研

在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示．(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率；(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列．[引申1]用X表示接受乙种心理暗示的男志愿者人数，则X的分布列为多少？[引申2]用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数与男志愿者人数之差，则X的分布列为多少？名师点拨：1．超几何分布的特点(1)考察对象分两类；(2)已知各类对象的个数；(3)超几何分布是不放回抽样问题；(4)随机变量为抽取的某类个体的个数．(5)考查某类个体抽取个数X的概率分布．3．超几何分布的应用超几何分布是一个重要分布，其理论基础是古典概型，主要应用于正品与次品，白球与黑球，男生与女生等实践中的由差别明显的两部分组成的问题．(1)若该同学只抽取3道A类试题作答，设X表示该同学答这3道试题的总得分，求X的分布和期望；(2)若该同学在A类试题中只抽1道题作答，求他在这次竞赛中仅答对1道题的概率．二项分布与超几何分布的综合应用(2024·重庆万州中学测试)某学校为了提升学生学习数学的兴趣，举行了“趣味数学”闯关比赛，每轮比赛从10道题中任意抽取3道回答，每答对一道题积1分．已知小明同学能答对10道题中的6道题．(1)求小明同学在一轮比赛中所得积分X的分布列和期望；(2)规定参赛者在一轮比赛中至少积2分才视为闯关成功，若参赛者每轮闯关成功的概率稳定且每轮是否闯关成功相互独立，问：小明同学在5轮闯关比赛中，需几次闯关成功才能使得对应概率取值最大？名师讲坛·素养提升离散型随机变量的分布列与统计综合(2024·陕西汉中联考)某企业生产的产品按质量分为一等品和二等品，该企业计划对现有生产设备进行改造，为了分析设备改造前后的效果，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取200件产品作为样本，产品的质量情况统计如表：

一等品二等品合计设备改造前12080200设备改造后15050200合计270130400(1)判断是否有99%的把握，认为该企业生产的这种产品的质量与设备改造有关；(2)按照分层抽样的方法，从设备改造前的产品中取得了5件产品，其中有3件一等品和2件二等品．现从这5件产品中任选3件，记所选的一等品件数为X，求X的分布列及数学期望．α0.0500.0100.001χα3.8416.63510.828【变式训练】(2024·黑龙江双鸭山一中期中)近年来，师范专业是高考考生填报志愿的热门专业．某高中随机调查了本校2022年参加高考的90位文科考生首选志愿(第一个院校专业组的第一个专业)填报情况，经统计，首选志愿填报与性别情况如下表：(单位：人)

首选志愿为师范专业首选志愿为非师范专业女性2535男性525(1)根据表中数据．能否有95%的把握认为首选志愿为师范专业与性别有关？(2)用样本估计总体，用本次调研中首选志愿样本的频率代替首选志愿的概率，从2022年全国文科考生中随机抽取3人，设被抽取的3