第2章　第2讲　函数的单调性与最值

第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ第二讲函数的单调性与最值知识梳理·双基自测名师讲坛·素养提升考点突破·互动探究提能训练练案[7]知识梳理·双基自测知

识

梳

理知识点一函数的单调性1．单调函数的定义

单调递增单调递减定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I.∀x1，x2∈D当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上_________当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上__________单调递增单调递减

单调递增单调递减图象描述自左向右看图象是__________自左向右看图象是_________增(减)函数当函数f(x)在它的定义域上单调递增(减)时，我们就称它是增(减)函数上升的下降的2.单调性与单调区间如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)________，区间D叫做y＝f(x)的_________.单调性单调区间知识点二函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)∀x∈I，都有f(x)≤M；(2)∃x0∈I，使得f(x0)＝M(1)∀x∈I，都有f(x)≥M；(2)∃x0∈I，使得f(x0)＝M结论M为函数y＝f(x)的__________M为函数y＝f(x)的_________最大值最小值归

纳

拓

展1．复合函数的单调性函数y＝f(u)，u＝φ(x)，在函数y＝f[φ(x)]的定义域上，如果y＝f(u)，u＝φ(x)的单调性相同，则y＝f[φ(x)]单调递增；如果y＝f(u)，u＝φ(x)的单调性相反，则y＝f[φ(x)]单调递减．××××××[解析]

(1)函数的单调性体现了任意性，即对于单调区间上的任意两个自变量值x1，x2，均有f(x1)<f(x2)或f(x1)>f(x2)，而不是区间上的两个特殊值．(2)单调区间是定义域的子区间，如y＝x在(－2,3)上是增函数，但它的单调递增区间是R，而不是(－2,3)．(3)多个单调区间不能用“∪”符号连接，而应用“，”或“和”连接．(4)y′＝(x＋1)ex，因此y＝xex在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，＋∞)上单调递增，增函数的积、商不一定具备单调性．题组二走进教材2．(必修1P85T1改编)设定义在[－1,7]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的增区间为__________________.[－1,1]和[5,7]4．(必修1P86T7改编)已知f(x)＝－2x2＋x，x∈[－1,3]，则其单调递减区间为____________；f(x)min＝_______.－15AD7．(2023·新课标Ⅰ，4,5分)设函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0,1)单调递减，则a的取值范围是(

)A．(－∞，－2] B．[－2,0)C．(0,2] D．[2，＋∞)D考点突破·互动探究函数的单调性ABC[分析]

(1)可用图象法或化为分段函数或用化为复合函数求解；(2)复合函数求解；(3)导数法．y＝－(x＋1)2＋4(x<0)图象开口向下，对称轴为x＝－1，∴增区间为(－∞，－1)，减区间为(－1,0)；∴f(x)的增区间为(0,1)，(－∞，－1)，减区间为(1，＋∞)，(－1,0)．[引申1]本例(1)f(x)＝|－x2＋2x＋3|的增区间为_________________.[解析]

作出f(x)＝|－x2＋2x＋3|的图象，由图可知所求增区间为(－1,1)和(3，＋∞)．(－1,1)和(3，＋∞)[引申2]本例(2)f(x)＝log2(－x2＋4x＋5)的增区间为_______________.(－1,2]名师点拨：求函数的单调区间(确定函数单调性)的方法1．利用已知函数的单调性，即转化为已知单调性的函数的和、差或复合函数，再求单调区间．2．定义法：先求定义域，再利用单调性定义求解．3．图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，可由图象直接写出它的单调区间．4．导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间．5．求复合函数的单调区间的一般步骤是：(1)求函数的定义域；(2)求简单函数的单调区间；(3)求复合函数的单调区间，依据是“同增异减”．注意：1．求函数单调区间，定义域优先．2．单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”连接，也不能用“或”连接．AD[解析]

画出函数图象如图所示，由图可得A，D中的函数在(0，＋∞)上单调递增，B，C中的函数在(0，＋∞)上不单调．故选AD.2.函数f(x)＝ln(－x2＋2x＋3)的单调递减区间为(

)A．[1，＋∞) B．(－∞，1]C．(－1,1) D．(1,3)[解析]

设t＝－x2＋2x＋3，由－x2＋2x＋3>0可得－1<x<3，则y＝lnt，由于y＝lnt在t∈(0，＋∞)上单调递增，由复合函数的单调性：同增异减，可得要求函数f(x)＝ln(－x2＋2x＋3)的单调递减区间，只需求t＝－x2＋2x＋3(－1<x<3)的单调递减区间．而t＝－x2＋2x＋3在(1,3)上单调递减．D3．函数f(x)＝(a－1)x＋2在R上单调递增，则函数g(x)＝a|x－2|的单调递减区间是____________.[解析]

由已知得a－1>0，∴a>1，∴g(x)＝a|x－2|减区间为q(x)＝|x－2|减区间，(－∞，2]，故填(－∞，2]．(－∞，2]B3(1，＋∞)角度4利用单调性求参数的取值范围名师点拨：函数单调性应用问题的常见类型及解题策略1．比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．2．利用函数单调性求最值是求函数最值的重要方法，特别是当函数图象不易作出时，单调性法几乎成为首选方法．3．解不等式．在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．4．利用单调性求参数时，通常要把参数视为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较，利用区间端点间关系求参数．求解时注意函数定义域的限制，遇分段函数注意分点处左、右端点函数值的大小关系．B2．(角度2)(2024·江苏模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝4x＋3x＋b(b为常数)，则f(x)在[－3，－1]上的最大值为_______.[解析]

根据f(0)＝0求得b，结合函数的单调性、奇偶性求得正确答案．依题意，f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝1＋b＝0，b＝－1，即当x≥0时，f(x)＝4x＋3x－1，f(x)单调递增，所以f(x)在区间[1,3]上的最小值为f(1)＝4＋3－1＝6，所以f(x)在区间[－3，－1]上的最大值为－6.－63．(角度3)已知函数f(x)＝lnx＋2x，若f(x2－4)<2，则实数x的取值范围是_____________________________.4．(角度4)已知函数y＝loga(2－ax)在[0,1]上是减函数，则实数a的取值范围是______.[解析]

设u＝2－ax，∵a>0且a≠1，∴函数u在[0,1]上是减函数．由题意可知函数y＝logau在[0,1]上是增函数，∴a>1.又∵u在[0,1]上要满足u>0，∴2－a×1>0，得a<2.综上得1<a<2.(1,2)[－3，－2]函数的最值——自主练透D名师点拨：利用单调性求最值，应先确定函数的单调性，然后根据性质求解．若函数f(x)在闭区间[a，b]上是增函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a)．若函数f(x)在闭区间[a，b]上是减函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(a)，最小值为f(b)．名师讲坛·素养提升抽象函数的单调性问题[解析]

(1)证明：令x＝y＝0，可得f(0)＋f(0)＝f(0＋0)＝f(0)，从而f(0)＝0.令y＝－x，可得f(x)＋f(－x)＝f(x－x)＝f(0)＝0，即f(－x)＝－f(x)，故f(x)