第二章约当标准型

北京科技大学

λ矩阵与Jordan标准型2011年9月22日2021/6/27本章的主要任务如何解决此问题：Step1：找出相似矩阵的不变量，这些不变量不仅在相似关系下保持不变。而且足以判断两个矩阵是否相似——全系不变量。Step2：找出一类比较简单的矩阵利用相似关系的全系不变量就可以判断一个矩阵与这类矩阵中的某一个相似。问题：给定一个线性变换，找出一组基，使线性变换在这组基下的矩阵表示具有比较简单的形状。等价的问题：给矩阵的相似等价类一个形状简单的代表。2021/6/272.1λ-矩阵定义2.1.1设K是一个数域，λ是一个文字，作多项式环K[λ]，一个矩阵，如果它的元素是λ的多项式，就称作λ矩阵。注：①数域K中的元素也在K[λ]中，λ矩阵中也包括以数为元素的矩阵；②K[λ]上有加法、减法、乘法并且与数的运算有相同的运算规律，矩阵的加法、乘法只用到其元素的加法和乘法因此可以同样定义λ矩阵的加法与乘法；③行列式定义中只用矩阵元素的加法和乘法，同样可以定义λ矩阵的行列式。2021/6/272.1λ-矩阵定义2.1.3：若A(λ),B(λ)都是λ矩阵。A(λ)经过初等变换后可变为B(λ)，则称为A(λ)与B(λ)相抵注：相抵是一个等价关系。定义2.1.2：对λ矩阵A(λ)施行的下列3种变换称为λ矩阵的初等变换： ①将A(λ)的两行(列)对换； ②将A(λ)的第i行(列)乘以常数c，c∈K ③将A(λ)的第i行(列)乘以K上的多项式f(λ)后加到第j行(列)上去。2021/6/272.1λ-矩阵定义下列3种矩阵称为初等λ矩阵2021/6/272.1λ-矩阵定义2.1.5：A(λ)，B(λ)都是n阶λ矩阵，且 A(λ)B(λ)=B(λ)A(λ)=I则称B(λ)是A(λ)的逆λ矩阵，此时称A(λ)为可逆λ矩阵——单模阵定理2.1.2：λ矩阵A(λ)可逆的充要条件是detA(λ)=c，c是非零常数定理2.1.1：对λ矩阵施行行(列)初等变换等于用相应的初等λ矩阵左(右)乘以A(λ)定义2.1.4：n阶λ矩阵A(λ)中有一个r(r≥1)阶子式不为零，而所有r+1阶子式全为零，则称的秩为r。证明：detA(λ)B(λ)=detA(λ)detB(λ)=12021/6/272.1λ-矩阵detA(λ)=c≠0A(λ)A*(λ)=A*(λ)A

(λ)=cI,令B(λ)=A*(λ)/cA(λ)B(λ)=B(λ)A(λ)=I,所以A(λ)是单模阵引理：设M(λ)与N(λ)是两个n阶λ-矩阵且都不等于零，又设B为n阶数字矩阵，则必存在λ-矩阵Q(λ)及S(λ)和数字矩阵R及T是的下式成立： M(λ)=(λI-B)Q(λ)+R N(λ)=S(λ)(λI-B)+TdetA(λ)是一个多项式但要满足上式deg(detA(λ))=0→detA(λ)只能是常数必要条件成立2021/6/272.1λ-矩阵m=0命题成立设对小于m次矩阵多项式成立令Q1(λ)=Mmλm-1M(λ)–(λI-B)Q1(λ)=(BMm+Mm-1)λm-1+…+M0上式是一个小于m次矩阵多项式，有归纳假设有Q2(λ)和数字矩阵R，使得M(λ)–(λI-B)Q1(λ)=(λI-B)Q2(λ)+R令Q(λ)=Q1(λ)+Q2(λ),命题得证证明：M(λ)=Mm

λm+Mm-1

λm-1+…+M0，其中Mm

≠0对m使用归纳法2021/6/272.1λ-矩阵定理2.1.3：设A，B是数域C上的矩阵，则A与B相似的充要条件是λ-矩阵(λI-A)与(λI-B)相抵证明：(必要性)若A，B相似则存在可逆矩阵P满足P-1AP=B⇒P-1(λI-A)P=(λI-P-1AP)=(λI-B)∴(λI-A)与(λI-B)相抵

(充分性)若(λI-A)与(λI-B)相抵，则存在M(λ)和N(λ)使得:M(λ)(λI-A)N(λ)=(λI-B)⇒M(λ)(λI-A)=(λI-B)N-1(λ)由引理：M(λ)=(λI-B)Q(λ)+R带入上式

R(λI-A)=(λI-B)[N-1(λ)-Q(λ)(λI-A)]P=N-1(λ)-Q(λ)(λI-A)是零次多项式2021/6/272.1λ-矩阵R(λI-A)=(λI-B)P⇒

λ(R-P)=RA-BP∵R,P,A,B均为数字矩阵，∴(R-P)=0

⇒R=P，RA=BPP=N-1(λ)-Q(λ)(λI-A)

⇒PN(λ)-Q(λ)(λI-A)N(λ)=I∵(λI-A)N

(λ)=M-1(λ)(λI-B)

∴PN(λ)-Q(λ)M-1(λ)(λI-B))=I

由引理，存在S(λ)和T，使得N(λ)=S(λ)(λI-B)+T∴PS(λ)(λI-B)-Q(λ)M-1(λ)(λI-B))+PT=I∴

PT=I⇒P是非奇异的2021/6/272.2λ-矩阵的Smith标准型引理：设A(λ)={aij(λ)}nXn是一个非零λ-矩阵。则A(λ)必相抵与B(λ)={bij(λ)}nXn其中b11(λ)≠0，且可以整除B(λ)中的任意元素证明：经行、列初等变换可以得到a11(λ)≠0，dega11(λ)≤degaij(λ)定理2.2.1：设A(λ)是一个n阶λ矩阵，则A(λ)相抵与对角阵diag(d1(λ),d2(λ),…dr(λ),0,…0)，其中di(λ)是首一多项式且di(λ)|di+1(λ)，i=1,2,…,r-1证明：对n使用数学归纳法n=1，成立；n=k-1成立；n=k时应用引理2021/6/272.2λ-矩阵的Smith标准型定理2.2.3：设A是数域K上的一个n阶矩阵，则A的特征矩阵必相抵于diag(1,…,1,d1(λ),d2(λ),…,dr(λ))，其中di(λ)是首一多项式且di(λ)|di+1(λ)，i=1,2,…,r-1简证：det(λI-A)是n次多项式，其秩为n相抵于diag(d1(λ),d2(λ),…,dn(λ))，其中di(λ)是首一多项式且di(λ)|di+1(λ)，i=1,2,…,r-1若非常数的di(λ)有r个，则有n-r个1出现。定理2.2.2：任一n阶可逆λ矩阵都可以表示为有限个初等λ矩阵的积2021/6/272.3不变因子定义2.3.1设A(λ)是一个n阶λ矩阵，k≤n，如果A(λ)的所有k阶子式的最大公因子不等于零，则称这个多项式为A(λ)的k阶行列式因子，记为Dk(λ)，如果A(λ)的所有k阶子式都等于零，则规定A(λ)的k阶行列式因子为零。定理2.3.1：设D1(λ),D2(λ),…,Dr(λ)是A(λ)的非零行列式因子，则Di(λ)|Di+1(λ)，i=1,2,…,r-1成立。定义2.3.2：设D1(λ),D2(λ),…,Dr(λ)是A(λ)的非零行列式因子，则g1(λ)=D1(λ),g2(λ)=D2(λ)/D1(λ),…,gr(λ),=Dr(λ)/Dr-1(λ)，称为的不变因子。例：求diag(d1(λ),d2(λ),…dr(λ),0,…0)的行列式因子2021/6/272.3不变因子定理2.3.4：数域K上n阶矩阵A和B相似的充要条件是它们的特征矩阵具有相同的行列式因子或不变因子。定理2.3.2：相抵的λ矩阵有相同的行列式因子，从而有相同的不变因子。定理2.3.3：λ矩阵的标准型是唯一的数。2021/6/272.3不变因子定理2.3.5：设A为数域K上的n阶方阵，A的不变因子组为1,…,1,d1(λ),d2(λ),…dr(λ)，其中degdi(λ)=mi，则A相似于下列分块对角阵：注：det(λI-A)的不变因子组1,…,1,d1(λ),d2(λ),…dr(λ))，称为A的不变因子组2021/6/272.3不变因子定理2.3.6：设A为数域K上的n阶方阵，A的不变因子组为1,…,1,d1(λ),d2(λ),…,dr(λ)，则A的极小多项式m(λ)=dr(λ)初等因子：设A为数域K上的n阶方阵，d1(λ),d2(λ),…,dr(λ)为A的非常数不变因子，在K上将其分解成不可约因子之积：我们称每一个因子为A的一个初等因子，全体称为初等因子组2021/6/272.3不变因子例：设12阶矩阵的不变因子为：1,1,…,1,(λ-1)2,(λ-1)2(λ+1),(λ-1)2(λ+1)(λ2+1)2其初等因子为：(λ-1)2,(λ-1)2,(λ+1),(λ-1)2,(λ+1),(λ2+1)2初等因子：2021/6/272.3不变因子定理2.3.6：数域K上的两个n阶方阵A与B相似的充要条件是它们有相同的初等因子组，即矩阵的初等因子组是矩阵相似关系的全系不变量。例：设A是10阶矩阵，其初等因子组为：(λ-1),(λ-1),(λ-1)2,(λ+1)2(λ+1)3,(λ-2)求A的不变因子定理2.3.7：用初等变换将λI-A化为对角阵，然后将主对角线上元素分解成互不相同的一次因式方幂的乘积，则所用这些一次因式的方幂就是A的全部初等因子。2021/6/272.4Jordan标准型引理1：如下r阶矩阵J的初等因子组为(λ-λ0)r。证明：J的特征多项式为(λ-λ0)r，任意k≤r，λI-J一定有一个k子式的值为(-1)k，因此J的行列式因子为：1,1，…

，1，(λ-λ0)r所以J的初等因子组只有(λ-λ0)r2021/