2024-2025学年九年级上学期数学期末模拟试卷（苏科版+含答案解析）

2024-2025学年九年级上学期期末模拟数学试卷注意事项：1．考试时间：120分钟，试卷满分：120分。本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4．测试范围：九年级数学上册+下册（苏科版）。一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．方程x2-2x=0的根是（

）A．x=2B．x=0C．x1=-2，x2=0D．x1=2，x2=02．一张圆桌旁有四个座位，A先坐在如图所示的座位上，B，C，D三人随机坐到其他三个座位上，则A与B不相邻而坐的概率为（

）A． B． C． D．3．小明调查了班里40名同学一周的体育锻炼情况，结果如图所示．该班40名同学一周参加体育锻炼时间的众数、中位数分别是（

）A．16小时15小时B．8小时、9小时C．10小时、8.5小时D．8小时、8.5小时4．如图，是的直径，，点D是上一点，则的度数是（

）A． B． C． D．5．如图，在平面直角坐标系网格中，点都在格点上，过点的抛物线可能经过的点是（

）A．点 B．点 C．点 D．点6．如图，在中，，，D为上一点，且，在上取一点E，若以A、D、E为顶点的三角形与相似，则的长为（）A．8 B． C．8或 D．8或二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。7．如图，乐器上的一根琴弦，两个端点固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点是靠近点A的黄金分割点，则之间的距离为．8．飞机着陆后滑行的距离与滑行的时间之间的关系式为，则飞机滑行停下．9．已知O为的外心，，则．10．已知是方程的两根，则代数式的值是．11．在某次演讲比赛中，演讲最终得分按照“演讲内容占”、“语言表达占”、“形象风度占”进行计算，小亮同学这三项的得分依次为90，86，95，则小亮同学的最终得分是分．12．如图所示的抛物线过原点，将该抛物线向右平移2个单位，再向上平移3个单位，平移后抛物线的函数表达式为．13．如图，某圆锥形山峰，圆锥底面半径为，母线长为，欲从A处修一条最近的盘山公路到景点B（B位于母线的中点处），那么这条盘山公路的长度是．14．如图，在中，，，，的半径为2，点是边上的动点，过点作的一条切线（点为切点），则线段长的最小值为．15．定义：由a，b构造的二次函数叫作一次函数的“滋生函数”，一次函数叫作二次函数的“本源函数”（a，b为常数，且）．若一次函数的“滋生函数”是，则二次函数的“本源函数”是．16．如图，正方形的边长为，以AB边上的动点为圆心，为半径作圆，将沿翻折至，若过一边上的中点，则的半径为．三、解答题（本题共11小题，共88分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸）17．（本小题8分）解方程：（1）； （2）．18．（本小题8分）已知二次函数的图象经过，且它的顶点坐标是．（1）求这个二次函数的关系式；（2）判断点是否在这条抛物线的图像上．19．（本小题6分）“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明“．小李同学购买了“二十四节气”主题邮票，他将A（小雪）、B（寒露）、C（秋分）、D（立秋）四张纪念邮票（除正面不同外，其余均相同）背面朝上洗匀．（1）小李从中随机抽取一张邮票，抽中是B（寒露）的概率是．（2）小李先从中随机抽取一张邮票，记下内容后，正面朝下放回，重新洗匀后再随机抽取一张邮票．请用树状图或列表的办法求小李两次抽取的邮票中至少有一张是D（立秋）的概率．20．（本小题8分）的迅猛发展在多个领域影响着我们的生活．某校七、八年级利用课余时间举办了人工智能知识竞赛活动，并从七、八年级各随机抽取了10名学生代表的成绩（满分：5分）进行了整理、描述和分析，相关信息如下．a．七年级10名学生代表成绩的中位数和众数相同，且每个得分的人数均不少于1人．b．七年级10名学生代表成绩的条形统计图（尚不完整），八年级10名学生代表成绩的扇形统计图及七、八年级学生代表成绩的平均数与方差对比表格如下．请根据以上信息，详解下列问题．（1）学生代表成绩比较整齐的是年级．（填“七”或“八”）（2）补全条形统计图．（3）若共有400名学生参与竞赛，根据七年级和八年级学生代表的成绩，请估计参与竞赛的学生的成绩不低于4分的人数．21．（本小题8分）如图，在和中，，．（1）求证：；（2）若，，求的长．22．（本小题8分）某商场将进货单价为20元的日用商品以销售单价35元售出，平均每月能售出600个．调查表明：这种商品的销售单价每上涨1元，其销售量就将减少10个，为了实现平均每月14000元的销售利润，商场决定采取调控价格的措施，扩大销售量，减少库存，这种商品的销售单价应定为多少元？23．（本小题8分）如图是小明家新房客厅地面，地上铺了大小相同的矩形地板砖，小明的妈妈想在靠墙处摆一组沙发，沙发的长是客厅长的三分之一，为了美观，沙发必须摆在矩形的中央，于是小明妈妈要把沙发摆放到的三等分点处．当时妈妈没有直尺，不能度量，聪明的小明灵机一动，他用一根绳索连接，交于点P，则P即是的三等分点．（1）请仿照小明的方法，找出线段的另一个三等分点；（2）请你证明：P是的三等分点．24．（本小题8分）已知二次函数（是常数）．（1）求证：该二次函数的图象与轴一定有两个交点；（2）若点在该二次函数的图象上，且点在第四象限，该二次函数的图象与轴交于点，求点与点之间的距离．25．（本小题8分）阅读与思考射影定理，又称“欧几里得定理”，是数学图形计算的重要定理，定理内容为：在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．如图1，在中，，是斜边上的高，则有如下结论：①；②；③．下面是该定理的证明过程（部分）：是斜边上的高，．，，（依据），，即．任务一：（1）材料中的依据是指__________________；（2）选择②或③其中一个定理加以证明；任务二：应用：（3）如图2，正方形中，点O是对角线的交点，点E在上，过点C作于点F，连接，证明：．26．（本小题9分）如图，二次函数的图象与一次函数的图象交于A，B两点，点A的坐标为．（1）求k的值；（2）点M是线段上的动点，将点M向上平移（）个单位得到点N，若点N在二次函数的图象上，求h的最大值；（3）在（2）的条件下，若，线段与二次函数的图象有公共点，求点M的横坐标m的取值范围．27．（本小题9分）新定义：若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，则称这个三角形为比例三角形．例如：三边的长分别为，，．因为，所以是比例三角形．【问题提出】（1）已知是比例三角形，，，求的长；【问题探究】（2）如图1，P是矩形的边上的一动点，平分，交边于点Q，．①求证：；②求证：是比例三角形．【问题延伸】（3）如图2，在（2）的条件下，当，时，点C与点Q能否重合？若能，求出的值；若不能，请说明理由．参考答案一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．方程的根是（

）A． B．C．， D．，【答案】D【详解】解：由x2-2x=0得x（x-2）=0，∴x-2=0或x=0，解得x1=2，x2=0故选：D．2．一张圆桌旁有四个座位，A先坐在如图所示的座位上，B，C，D三人随机坐到其他三个座位上，则A与B不相邻而坐的概率为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：如图，根据图可知：以B，C，D随机而坐的结果数共有6种，其中A与B不相邻而坐的结果有2种，∴A与B不相邻而坐的概率为：．故选：A．3．小明调查了班里40名同学一周的体育锻炼情况，结果如图所示．该班40名同学一周参加体育锻炼时间的众数、中位数分别是（

）A．16小时15小时 B．8小时、9小时 C．10小时、小时 D．8小时、小时【答案】B【详解】解：根据题意，可知这一组数据中出现次数最多的数是8，即该组数据的众数为8；将这组数据从小到大的顺序排列，处于第20，21位两个数分别为9，9，所以，这组数据的中位数是．故选：B．4．如图，是的直径，，点D是上一点，则的度数是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：连接，∵是的直径，∴，又∵，由圆周角定理可得：，∴，故选：C．5．如图，在平面直角坐标系网格中，点都在格点上，过点的抛物线可能经过的点是（

）A．点 B．点 C．点 D．点【答案】D【详解】解：∵抛物线过点，∴，即，∵，∴，A.若抛物线过点，则，得，与矛盾，故选项A不符合题意；B.若抛物线过点，则，与不相符，故选项B不符合题意；C.若抛物线过点，则，得，与矛盾，故选项C不符合题意；D.若抛物线过点，则，得，代入，得，与相符，故选项D符合题意；故选：D．6．如图，在中，，，D为上一点，且，在上取一点E，若以A、D、E为顶点的三角形与相似，则的长为（）A．8 B． C．8或 D．8或【答案】C【详解】解：当时，如图1，，，，，，，；当时，如图2，，，，，，．综上，的长为8或．故选：C．二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。7．如图，乐器上的一根琴弦，两个端点固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点是靠近点A的黄金分割点，则之间的距离为．【答案】【详解】解：弦，点是靠近点的黄金分割点，设，则，，解方程得，，点是靠近点的黄金分割点，则，，之间的距离为，故答案为：．8．飞机着陆后滑行的距离与滑行的时间之间的关系式为，则飞机滑行停下．【答案】20【详解】解：，∴当时间为时，滑行了，∴飞机滑行了停下，故答案为：．9．已知O为的外心，，则．【答案】或【详解】解：当圆心与点在的同侧时，如图，；当圆心与点在的两侧时，如图，延长交于点，连接，，．四边形为圆的内接四边形，．．综上，或．故答案为：或10．已知是方程的两根，则代数式的值是．【答案】【详解】解：∵是方程的两根，∴，，，即∴，故答案为：．11．在某次演讲比赛中，演讲最终得分按照“演讲内容占”、“语言表达占”、“形象风度占”进行计算，小亮同学这三项的得分依次为90，86，95，则小亮同学的最终得分是分．【答案】【分析】本题考查了加权平均数，熟练掌握加权平均数的运算是解题的关键．利用加权平均数公式求解即可．【详解】解：小亮同学的最终得分是：（分）．故答案为：．12．如图所示的抛物线过原点，将该抛物线向右平移2个单位，再向上平移3个单位，平移后抛物线的函数表达式为．【答案】【详解】解：根据图象可知，二次函数的顶点坐标为，∴设图中二次函数解析式为：，∵二次函数图象过原点，∴把代入得：，解得：，∴图中二次函数解析式为y=x-1∴将该抛物线向右平移2个单位，再向上平移3个单位，平移后抛物线的函数表达式为：．故答案为：．13．如图，某圆锥形山峰，圆锥底面半径为，母线长为，欲从A处修一条最近的盘山公路到景点B（B位于母线的中点处），那么这条盘山公路的长度是．【答案】【详解】解：如图，将圆锥展开得展开图，为的中点，连接，则是这条盘山公路的长度，设展开图的圆心角为．∴，∵圆锥的底面半径是，∴的长为，∴，解得：，∴，故答案为：．14．如图，在中，，，，的半径为2，点是边上的动点，过点作的一条切线（点为切点），则线段长的最小值为．【答案】【详解】解：连接，如图所示，∵是的切线，∴，根据勾股定理知：，∴当时，线段最短，∵在中，，∴，∴，即，∵，∴，故答案为：．15．定义：由a，b构造的二次函数叫作一次函数的“滋生函数”，一次函数叫作二次函数的“本源函数”（a，b为常数，且）．若一次函数的“滋生函数”是，则二次函数的“本源函数”是．【答案】【详解】解：由题意得，解得，∴函数的本源函数是．故答案为：．16．如图，正方形的边长为，以AB边上的动点为圆心，为半径作圆，将沿翻折至，若过一边上的中点，则的半径为．【答案】或或【详解】设的半径为，当经过的中点，即经过的中点，∴，当经过的中点，则，∴，，在中，∴解得：（负值舍去）当经过的中点，即经过的中点，设的中点为，∴∴解得：综上所述，半径为、、故答案为：或或．三、解答题（本题共11小题，共88分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸）17．（本小题8分）解方程：（1）； （2）．【详解】（1）解：，，，，……1分方程有两个不相等的实数根，……2分，，．……4分（2）解：，，……6分或，……7分解得，．……8分18．（本小题8分）已知二次函数的图象经过，且它的顶点坐标是．（1）求这个二次函数的关系式；（2）判断点是否在这条抛物线的图像上．【详解】（1）解：设抛物线的顶点式为……1分将点代入得，解得：，……3分∴抛物线的解析式为；……4分（2）解：当时，，……6分∴点不在这条抛物线的图象上．……8分19．（本小题6分）“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明“．小李同学购买了“二十四节气”主题邮票，他将A（小雪）、B（寒露）、C（秋分）、D（立秋）四张纪念邮票（除正面不同外，其余均相同）背面朝上洗匀．（1）小李从中随机抽取一张邮票，抽中是B（寒露）的概率是．（2）小李先从中随机抽取一张邮票，记下内容后，正面朝下放回，重新洗匀后再随机抽取一张邮票．请用树状图或列表的办法求小李两次抽取的邮票中至少有一张是D（立秋）的概率．【详解】（1）解：一共有4张邮票，符合题意的有1张，所以，抽中B的概率是．故答案为：；……2分（2）画树状图如下：……5分一共有16种可能出现的结果，每种结果出现的可能性相同，符合题意的有7种，所以两次抽取邮票中至少有一张是D的概率是．……6分20．（本小题8分）的迅猛发展在多个领域影响着我们的生活．某校七、八年级利用课余时间举办了人工智能知识竞赛活动，并从七、八年级各随机抽取了10名学生代表的成绩（满分：5分）进行了整理、描述和分析，相关信息如下．a．七年级10名学生代表成绩的中位数和众数相同，且每个得分的人数均不少于1人．b．七年级10名学生代表成绩的条形统计图（尚不完整），八年级10名学生代表成绩的扇形统计图及七、八年级学生代表成绩的平均数与方差对比表格如下． 请根据以上信息，详解下列问题．（1）学生代表成绩比较整齐的是年级．（填“七”或“八”）（2）补全条形统计图．（3）若共有400名学生参与竞赛，根据七年级和八年级学生代表的成绩，请估计参与竞赛的学生的成绩不低于4分的人数．【详解】（1）解：∵，∴学生代表成绩比较整齐的是七年级．故答案为：七．……2分（2）解：∵七年级10名学生代表成绩的中位数和众数相同，且每个得分的人数均不少于1人，∴2分和3分的人数分别有1人和4人，……4分补全条形统计图如下：……6分（3）解：抽取的八年级学生的成绩不低于4分的人数有（人），（人），答：估计参与竞赛的学生的成绩不低于4分的人数有160人．……8分21．（本小题8分）如图，在和中，，．（1）求证：；（2）若，，求的长．【详解】（1）∵，∴，∴，∵，∴．……4分（2）由（1）得，，∵，∴，∵，∴．……8分22．（本小题8分）某商场将进货单价为20元的日用商品以销售单价35元售出，平均每月能售出600个．调查表明：这种商品的销售单价每上涨1元，其销售量就将减少10个，为了实现平均每月14000元的销售利润，商场决定采取调控价格的措施，扩大销售量，减少库存，这种商品的销售单价应定为多少元？【详解】解：设这种商品的售价为x元，依题意得……1分，……4分解得：，，……6分因需扩大销售量，减少库存，所以应舍去，∴．……7分答：这种商品的销售单价应定为55元．……8分23．（本小题8分）如图是小明家新房客厅地面，地上铺了大小相同的矩形地板砖，小明的妈妈想在靠墙处摆一组沙发，沙发的长是客厅长的三分之一，为了美观，沙发必须摆在矩形的中央，于是小明妈妈要把沙发摆放到的三等分点处．当时妈妈没有直尺，不能度量，聪明的小明灵机一动，他用一根绳索连接，交于点P，则P即是的三等分点．（1）请仿照小明的方法，找出线段的另一个三等分点；（2）请你证明：P是的三等分点．【详解】（1）解：如图，为线段的另一个三等分点；……4分（2）证明：由题意得，四边形是矩形，，，，，，P是的三等分点．……8分24．（本小题8分）已知二次函数（是常数）．（1）求证：该二次函数的图象与轴一定有两个交点；（2）若点在该二次函数的图象上，且点在第四象限，该二次函数的图象与轴交于点，求点与点之间的距离．【详解】（1）解：当时，，∴无论为何值，∴关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，二次函数（是常数）的图象与轴有两个交点；……4分（2）点在二次函数的图象上，，整理得，解得或∵点在第四象限，，点坐标为，二次函数表达式为，当时，∴点坐标为∴点与点之间的距离为．……8分25．（本小题8分）阅读与思考射影定理，又称“欧几里得定理”，是数学图形计算的重要定理，定理内容为：在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．如图1，在中，，是斜边上的高，则有如下结论：①；②；③．下面是该定理的证明过程（部分）：是斜边上的高，．，，（依据），，即．任务一：（1）材料中的依据是指__________________；（2）选择②或③其中一个定理加以证明；任务二：应用：（3）如图2，正方形中，点O是对角线的交点，点E在上，过点C作于点F，连接，证明：．【详解】（1）是斜边上的高，．，，（两角分别相等的两个三角形相似），，即，故答案为：两角分别相等的两个三角形相似；……3分（2