中考数学几何专项冲刺专题10倍长中线模型巩固练习（基础）含答案及解析

倍长中线模型巩固练习（基础）1. 如图，AD为△ABC的中线．（1）求证：AB＋AC＞2AD．（2）若AB＝5，AC＝3，求AD的取值范围．2. 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD＝CD．求证：AB＝AC．3. 如图，CB是△AEC的中线，CD是△ABC的中线，且AB＝AC．求证：①CE＝2CD；②CB平分∠DCE．4. 如图，在△ABC中，D是BC边的中点，E是AD上一点，BE＝AC，BE的延长线交AC于点F．求证：∠AEF＝∠EAF.5. 如图，在△ABC中，AD交BC于点D，点E是BC的中点，EF∥AD交CA的延长线于点F，交AB于点G，BG＝CF．求证：AD为△ABC的角平分线．6. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E在BC上，点F是CD的中点，且AF⊥AB，已知AD＝2.7，AE＝BE＝5，求CE的长．7. 如图，在正方形ABCD的边CB的延长线上取一点E，△FEB为等腰直角三角形，∠FEB＝90°，连接FD，取FD的中点G，连接EG，CG．求证：EG＝CG且EG⊥CG．8. 如图，△ABC与△BDE均为等腰直角三角形，BA⊥AC，ED⊥BD，垂足分别为A，D，连接EC，F为EC中点，连接AF，DF，猜测AF，DF的数量关系和位置关系，并说明理由．倍长中线模型巩固练习（基础）1. 如图，AD为△ABC的中线．（1）求证：AB＋AC＞2AD．（2）若AB＝5，AC＝3，求AD的取值范围．【解答】（1）证明见解析；（2）1＜AD＜4【解析】（1）证明：如图，延长AD至E，使DE＝AD，连接BE，∴AE＝2AD．∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD，在△BDE和△CDA中，，∴△BDE≌△CDA（SAS），∴BE＝AC，在△ABE中，AB＋BE>AE，∴AB＋AC>2AD；（2）解：由①可知AE＝2AD，BE＝AC，在△ABE中，AB－BE＜AE＜AB＋BE，∵AC＝3，AB＝5，∴5－3＜AE＜5＋3，∴2＜2AD＜8，∴1＜AD＜4.2. 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD＝CD．求证：AB＝AC．【解答】证明见解析【解析】证明：如图，延长AD到E，使DE＝AD，连接BE．在△ADC和△EDB中，，∴△ADC≌△EDB（SAS），∴AC＝EB，∠2＝∠E，∵AD平分∠BAC，∴∠1＝∠2，∴∠1＝∠E，∴AB＝BE，∴AB＝AC.3. 如图，CB是△AEC的中线，CD是△ABC的中线，且AB＝AC．求证：①CE＝2CD；②CB平分∠DCE．【解答】证明过程见解析【解析】证明：如图，延长CD到F，使DF＝CD，连接BF．由题意可得CF＝2CD，∵CD是△ABC的中线，∴BD＝AD，在△BDF和△ADC中，，∴△BDF≌△ADC（SAS），∴BF＝AC，∠3＝∠A，∵CB是△AEC的中线，∴BE＝AB，∵AC＝AB，∴BE＝AC，∴BE＝BF，∵∠CBE是△ABC的一个外角，∴∠CBE＝∠BCA＋∠A＝∠BCA＋∠3，∵AC＝AB，∴∠BCA＝∠CBA，∴∠CBE＝∠CBA＋∠3＝∠CBF，在△CBE和△CBF中，，∴△CBE≌△CBF（SAS），∴CE＝CF，∠4＝∠5，∴CE＝2CD，∴CB平分∠DCE.4. 如图，在△ABC中，D是BC边的中点，E是AD上一点，BE＝AC，BE的延长线交AC于点F．求证：∠AEF＝∠EAF.【解答】证明见解析【解析】证明：如图，延长AD到M，使DM＝AD，连接BM．∵D是BC边的中点，∴BD＝CD，在△ADC和△MDB中，，∴△ADC≌△MDB（SAS），∴∠CAD＝∠M，AC＝MB，∵BE＝AC，∴BE＝MB，∴∠M＝∠BEM，∴∠CAD＝∠BEM，∵∠AEF＝∠BEM，∴∠CAD＝∠AEF，即∠AEF＝∠EAF.5. 如图，在△ABC中，AD交BC于点D，点E是BC的中点，EF∥AD交CA的延长线于点F，交AB于点G，BG＝CF．求证：AD为△ABC的角平分线．【解答】证明见解析【解析】证明：如图，延长FE到M，使EM＝EF，连接BM．∵点E是BC的中点，∴BE＝CE，在△CFE和△BME中，，∴△CFE≌△BME（SAS），∴CF＝BM，∠F＝∠M，∵BG＝CF，∴BG＝BM，∴∠3＝∠M，∴∠3＝∠F，∵AD∥EF，∴∠2＝∠F，∠1＝∠3，∴∠1＝∠2，即AD为△ABC的角平分线．6. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E在BC上，点F是CD的中点，且AF⊥AB，已知AD＝2.7，AE＝BE＝5，求CE的长．【解答】CE＝2.3【解析】如图，延长AF交BC的延长线于点G．∵AD∥BC，∴∠3＝∠G，∵点F是CD的中点，∴DF＝CF，在△ADF和△GCF中，，∴△ADF≌△GCF（AAS），∴AD＝CG，∵AD＝2.7，∴CG＝2.7，∵AE＝BE，∴∠5＝∠B，∵AB⊥AF，∴∠4＋∠5＝90°，∠B＋∠G＝90°，∴∠4＝∠G，∴EG＝AE＝5，∴CE＝EG－CG＝5－2.7＝2.3.7. 如图，在正方形ABCD的边CB的延长线上取一点E，△FEB为等腰直角三角形，∠FEB＝90°，连接FD，取FD的中点G，连接EG，CG．求证：EG＝CG且EG⊥CG．【解答】证明见解析【解析】证明：如图，延长EG，交CD的延长线于M．由题意，∠FEB＝90°，∠DCB＝90°，∴∠DCB＋∠FEB＝180°，∴EF∥CD，∴∠FEG＝∠M，∵点G为FD中点，∴FG＝DG，在△FGE和△DGM中，，∴△FGE≌△DGM（AAS），∴EF＝MD，EG＝MG，∵△FEB是等腰直角三角形，∴EF＝EB，∴BE＝MD，在正方形ABCD中，BC＝CD，∴BE＋BC＝MD＋CD，即EC＝MC，∴△ECM是等腰直角三角形，∵EG＝MG，∴EG⊥CG，∠ECG＝∠MCG＝45°，∴EG＝CG.8. 如图，△ABC与△BDE均为等腰直角三角形，BA⊥AC，ED⊥BD，垂足分别为A，D，连接EC，F为EC中点，连接AF，DF，猜测AF，DF的数量关系和位置关系，并说明理由．【解答】AF⊥DF且AF＝DF【解析】AF⊥DF，AF＝DF，理由如下：延长DF交AC于点P，如图所示：∵BA⊥AC，ED⊥BD，∴∠BAC＝∠EDA＝90°，∴DE∥AC，∴∠DEC＝∠ECA，∵F为EC中点，∴EF＝CF，在△EDF和△CPF中，，∴△EDF≌△CPF（ASA），∴DE＝