2025年人教版高考数学一轮复习：空间几何体的表面积和体积（六大考点）

考点巩固卷14空间几何体的表面积和体积

（六大考点）

空间几何体的表面积和体积

■方桀技巧4考点利称

考点01:斜二测画法及应用

1、画空间图形的直观图，一般先用斜二测画法画出水平放置的平面图形，再画Z轴，

并确定竖直方向上的相关的点，最后连点成图便可；

2、直观图画法口诀可以总结为：“横长不变，纵长减半，竖长不变，平行关系不变”；

3、当几何体的形状确定后，用斜二测画法画出相应几何体的直观图.注意用实线表示看得见的部分，用虚

线表示看不见的部分，画完直观图后还应注意检验；

结论：直观图与原图面积之间的关系：若一个平面多边形的面积为S,其直观图的面积为£,

则有S'=*S或S=2巾S'；利用这一公式可由原图形面积求其直观图面积或由直观图面积求原图形面

积；

1.一水平放置的平面四边形Q4BC的直观图O‘A'3'C'如图所示，其中O'A=O'C'=2,O'C'Lx'轴，A'B'±x'

轴，？C7/y'轴，则四边形Q4BC的面积为（）

c.12V2D.12

2.如图，直角梯形O'A'B'C满足O'Al.O'C',O'A'=A'B'=2,O'C'=3，它是水平放置的平面图形的直观图，则该

平面图形的周长是（）

A.7+石B.5+273+>/17

C.11+V41D.10A/2

3.如图所示，正方形的边长为2cm,它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原平面图形的周

C.8cmD.4+46cm

4.用斜二测画法画出的水平放置的AABC的直观图如图所示，其中DC是3'。’的中点，且AO7/y'轴，B'C'h

轴，AD=9C=2,那么（）

A.丘B.2C.2A/2D.4

5.如图，AA'3'C'是水平放置的平面图形的斜二测直观图，若A'C'=2cm,且△/ID则V2原图形中

AC边上的高为（）

6.已知梯形ABCO按斜二测画法得到的直观图为如图所示的梯形AB'C'O',且A?=l,O'A=2,O'C'=4,

现将梯形A5c。绕。4槌转一周得到一个几何体，则该几何体的侧面积为（）

7.如图，△O'A3'是水平放置的用斜二测画法画出的直观图（图中虚线分别与V轴和y'轴平行）,

O'B'=2（yD'=6,OC'=8,贝必。4B的面积为（）

C.三边中只有两边相等的等腰三角形D.三边互不相等的三角形

9.一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45。，腰和上底长均为1的等腰梯形，则该平面图形的

面积等于（）.

A.1+V2B.2+V2C.L也D.1+正

222

10.如图所示，一个水平放置的四边形。48c的斜二测画法的直观图是边长为2的正方形O'AZC,则原四

考点02:空间几何体的表面积

侧面积和表面积

几何体棱柱棱锥棱台

\/、

卜-T-r-T-r-I--1

帝;।।।।11

侧面展开图h::电；；；

1111t1

111111

11二____1__|____1____1__1__1

S=g（c+c'）h'

S=chS=—chf

2

侧面积公式（c为底面周长，人为侧（c为底面周长，〃为侧面等腰三（c',c分别为上、下底面周长，

棱长）角形底边上的高）〃'为侧面等腰梯形的高）

表面积公式S棱柱表=S棱柱侧+2s底s棱锥表二s棱锥侧+s底s棱台表=s棱台侧+s上底+S下底

几何体圆柱圆锥圆台球

侧面展开图

$侧=加（厂+/）

侧面积公式S侧=2几丫1s侧=»力

2

表面积公式S表二2万r（尸+/）s表="(「+/)S表=»(/+r+r7+r/)3球=4万R?

11.蒙古包是我国蒙古族牧民居住的房子，适于牧业生产和游牧生活.如图所示的蒙古包由圆柱和圆锥组

合而成，其中圆柱的高为2m,底面半径为4m,。是圆柱下底面的圆心.若圆锥的侧面与以。为球心，半径

为4m的球相切，则圆锥的侧面积为（）

A.8\/57rm2B.16V57tm2C.207cm2D.407im2

12.某圆台的下底面周长是上底面周长的4倍，母线长为10,该圆台的侧面积为100兀，则该圆台的体积为

（）

A.184兀B.208兀C.224KD.248兀

13.已知正三棱台ABC-A瓦C的上底面积为。，下底面积为46,高为2,则该三棱台的表面积为（）

A.573+3739B.3屈C.573+18D.18

14.在正四棱台ABC。-44GA中，4^=2481,44,=2有，若正四棱台的高为20，则其表面积为（）

A.246B.1275C.24+246D.40+24君

15.已知圆锥的顶点为P,底面圆心为。，48为底面直径，ZAPB=120°,上4=2,点C在底面圆周上，

且二面角P—AC—O为45。，贝|（）

A.该圆锥的侧面积为兀B.该圆锥的体积为2兀

C.△PAC的面积为6D.AC=2近

16.已知圆锥的底面半径为2,其侧面展开图是一个圆心角4为7r三的扇形，则该圆锥的侧面积为（）

A.6兀B.8兀C.10TID.12兀

17.在一个圆锥中，。为圆锥的顶点，。为圆锥底面圆的圆心，P为线段。。的中点，AE为底面圆的直

径，AABC是底面圆的内接正三角形，AB=AD=m

①BE〃平面PAC；

②m_L平面P3C；

③圆锥的侧面积为其；

④三棱锥尸-ABC的内切球表面积为（2-6）兀.

其中正确的结论个数为（）

A.1B.2C.3D.4

7

18.已知圆锥的顶点为S,母线乱1,四所成角的余弦值为《，且该圆锥的母线是底面半径的0倍，若

O

的面积为5b，则该圆锥的表面积为（）

A.40技B.卜0+40夜）兀C.80缶D.（40+808）兀

19.《九章算术》是我国古代的数学专著，是“算经十书”（汉唐之间出现的十部古算书）中非常重要的一部.在

《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.已知“堑堵”ABC-A与G的所有顶点都在球

。的球面上，且AB=AC=1.若球。的表面积为4兀，则这个三棱柱的表面积是（）

A.2+20B.272C.3+20D.3+2如

20.如图，为球形物品设计制作正四面体、正六面体、正八面体形状的包装盒，最少用料分别记为立邑、$3,

则它们的大小关系为（）

C.53<<S2D.S2<S3<Sx

考点03：空间几何体的体积

几何体体积

柱v^=Sh（S为底面面积，而为高）

崛=gs/z（S为底面面积，衣为高），

锥

=』（）、分别为上、下底面面积，人为高），

台LS'+JSM+S/26S

口3

4o

3

球唳=-7iR（H为球的半径）

21.某小区花园内现有一个圆台型的石碑底座，经测量发现该石碑底座上底面圆的半径为1,且上底面圆直

径的一端点的投影为下底面圆半径的中点，高为3,则这个圆台的体积为（）

A.3itB.5无C.7兀D.8兀

22.如图，04是圆锥底面中心。到母线的垂线，绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成体积相等的两部分，

则母线与轴的夹角余弦值为（）

23.中国载人航天技术发展日新月异.目前，世界上只有3个国家能够独立开展载人航天活动.从神话“嫦娥

奔月”到古代“万户飞天”，从诗词“九天揽月”到壁画“仕女飞天”……千百年来，中国人以不同的方式表达着

对未知领域的探索与创新.如图，可视为类似火箭整流罩的一个容器其内部可以看成由一个圆锥和一个圆

柱组合而成的几何体.圆柱和圆锥的底面半径均为2,圆柱的高为6,圆锥的高为4.若将其内部注入液体，已

知液面高度为7,则该容器中液体的体积为（）

占］

；7

一一1一」

___,

325K-76兀-215兀「325兀

A.------B.——C.-------D.------

24.设四棱台ABC。-AAGA的上、下底面积分别为H，邑，侧面积为S,若一个小球与该四棱台的每个

面都相切，则（）

2

A.S=StS2B.S=St+S2

C.S=2y[S^D.V?=廓+£

25.最早的测雨器记载见于南宋数学家秦九韶所著的《数书九章》（1247年）.该书第二章为“天时类”，收录

了有关降水量计算的例子，其中“天池测雨”法是下雨时用一个圆台形的天池盆收集雨水来测量平地降雨量

（盆中水的体积与盆口面积之比）已知天池盆盆口直径为一尺四寸，盆底直径为六寸，盆深一尺二寸.当盆

中积水深六寸（注：1尺=10寸）时，平地降雨量是（）

A.1寸B.2寸C.3寸D.4寸

26.苗泽市博物馆里，有一条深埋600多年的元代沉船，对于研究元代的发展提供了不可多得的实物资料.

沉船出土了丰富的元代瓷器，其中的白地褐彩龙风纹罐（如图）的高约为36cm,把该瓷器看作两个相同的

圆台拼接而成（如图），圆台的上底直径约为20cm,下底直径约为40cm,忽略其壁厚，则该瓷器的容积约

为（）

A.42007icm3C.1680071cm3D.336OO7rcm3

27.如图，圆柱形容器内部盛有高度为2cm的水，若放入3个相同的铁球（球的半径与圆柱底面半径相等）

后，水恰好淹没最上面的铁球，则一个铁球的表面积为（）

B.4兀C.57rD.6兀

28.已知△SAB是圆锥5。的轴截面，点C在SA上，且AC=6.若过点C且平行于S3的平面恰过点0,

且该平面与圆锥底面所成的二面角等于:，则该圆锥的体积为（）

71一

A.—B.兀C.3兀D.9兀

3

29.若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个球是这个多面体的内切球.在四棱锥尸-ABCD

中，侧面P钻是边长为1的等边三角形，底面ABC。为矩形，且平面的，平面A3CD.若四棱锥尸-ABCD

存在一个内切球，设球的体积为匕，该四棱锥的体积为匕，则孑的值为（）

Ae兀B6KQ口611

'~6~'~12'IT'

30.泉州花灯技艺源于唐朝中期从形式上有人物灯、宫物灯、宫灯，绣房灯、走马灯、拉提灯、锡雕元宵

灯等多种款式.在2024年元宵节，小明制做了一个半正多面体形状的花灯，他将正方体沿交于一顶点的三

条棱的中点截去一个三棱锥，共截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体，如图所示.已知该

半正多面体的体积为年，/为44BC的中心，过M截该半正多面体的外接球的截面面积为S,则S的最大

55

考点04:空间几何体的外接球

球的外接问题

1、公式法

正方体或长方体的外接球的球心为其体对角线的中点

2、补形法（补长方体或正方体）

①墙角模型（三条线两个垂直）

题设：三条棱两两垂直（重点考察三视图）

②对棱相等模型（补形为长方体）

题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（A5=CD,AD^BC,AC=BD）

3、单面定球心法（定+算）

步骤：①定一个面外接圆圆心：选中一个面如图：在三棱锥P-ABC中，选中底面AABC,确定其外接圆

圆心。।（正三角形外心就是中心，直角三角形外心在斜边中点上，普通三角形用正弦定理定外心

sinA

②过外心。i做（找）底面AABC的垂线，如图中PQ，面ABC,则球心一定在直线（注意不一定在线段尸。1

上）尸。上；

③计算求半径R：在直线尸。1上任取一点。如图：则0P=Q4=R,利用公式。可计算

出球半径R.

4、双面定球心法（两次单面定球心）

如图：在三棱锥尸—ABC中：

①选定底面AABC,定AABC外接圆圆心。।

②选定面AB4B,定AfAB外接圆圆心。2

③分别过。।做面ABC的垂线，和。2做面丛8的垂线，两垂线交点即为外接球球心。.

31.如图，已知在四棱锥P-ABCD中，底面四边形ABCD为等腰梯形，BC//AD,PD=2AD=4BC=4,

底面积为主叵，PDLAD且P8=M，则四棱锥尸-ABCD外接球的表面积为（）

A.9nB.126兀C.39兀D.20兀

32.若某圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球表面积为4兀，则该圆锥的体积为（）

A.2兀B.3兀C.4无D.6兀

33.已知圆锥的轴截面&IB是一个正三角形，其中S是圆锥顶点，A3是底面直径.若C是底面圆。上一点，

尸是母线SC上一点，AB=6,AC=S尸=2,则三棱锥尸-A5c外接球的表面积是（）

.107兀c109兀〃112兀-116兀

A.-----B.-------C.-------D.------

3333

34.在棱长为2的正方体48CD-ABCA中，M,N分别为CO,AG的中点，则三棱锥外接球

的表面积为（）

A56兀—22兀―76兀—86兀

A.——B.——C.——D.——

9399

35.已知在直三棱柱ABC-中，AB1BC,AB=BC=^AA,=2,N为线段CQ的中点，点M在线

段AG上，若MN〃平面AfC,则三棱锥B-AAW外接球的体积为（）

A.2。局B.—C.5后D.2071

33

36.在梯形ABGD中，AB//CD,AB±BD,S.\AB\=\BD\=4,\BC\=2y[5,沿对角线BO将三角形ABD折起,

所得四面体A-BCD外接球的表面积为32兀，则异面直线A3与8所成角为（）

A.30'B.45°C.600D.90,

37.在直三棱柱ABC-A用G中，AABC为等边三角形，AB=2&BB、=2出,则三棱柱ABC-A用C的外

接球的体积为（）

A.25兀B.29兀C.32兀D.36兀

38.“阿基米德多面体”也称半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称

美.如图是以正方体的各条棱的中点为顶点的多面体，这是一个有八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿

基米德多面体”，若该多面体的棱长为血，则该多面体外接球的表面积为（）

B.4K

4

C.2兀D.一兀

3

39.樟卯结构是中国古代建筑文化的瑰宝，在连接部分通过紧密的拼接，使得整个结构能够承受大量的重

量，并且具有较高的抗震能力.这其中木楔子的运用，使得桦卯配合的牢度得到最大化满足，木楔子是一种

简单的机械工具，是用于填充器物的空隙使其牢固的木撅、木片等.如图为一个木楔子的直观图，其中四边形

是边长为2的正方形，且AADEAH#均为正三角形，EF//CD,EF=4,则该木楔子的外接球的体

积为（）

40.如图，在矩形A3CD中，AB=4,AD=3,F,G分别在线段AB,上，BF=BG=1,将△毋G沿

FG折起，使B到达M的位置，且平面FGM_L平面ADCG/，则四面体ADFM的外接球的表面积为（）

D_____________C

一

G

AFBA

.”D“后C10071CIOOA/STT

A.20KB.20,5兀C.--—D.—

考点05:空间几何体的内切球

球的内切问题（等体积法）

例如：在四棱锥P-A5CD中，内切球为球。，求球半径厂.方法如下：

XP-ABCD=^O-ABCD+^O-PBC+^O-PCD+^O-PAD+^O-PAB

即：^P-ABCD=2SABCD.厂+§SpBC'rPCD,厂+§SpAD,'+§SpAB,r,可求出厂.

41.六氟化硫，化学式为SR,在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在

电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体每个面都是正三角形，可以看

作是将两个棱长均相等的正四棱锥将底面粘接在一起的几何体）.如图所示，正八面体E-ABCD-R的棱长

为。，此八面体的外接球与内切球的体积之比为（）

A.3也B.2省C.3收D.20

42.已知球。内切于圆台（即球与该圆台的上、下底面以及侧面均相切），且圆台的上、下底面半径分别为

小r2,且弓=4々=4,则圆台的体积与球的体积之比为（）

7r21-63

A.—B.—C.—D.—

4828

43.已知圆锥P。的顶点为尸，其三条母线必，PB,尸C两两垂直，且母线长为6,则圆锥P。的内切球表

面职与圆锥侧面积之和为（）

A.12。0-3«）兀B.24（20-776）7tC.60（8-3旬itD.3（40-7^）7i

44.六氟化硫，化学式为SR,在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在

电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体每个面都是正三角形，可以看作

是将两个棱长均相等的正四棱锥将底面粘接在一起的几何体）.如图所示，正八面体E-ABCD-b的棱长为

a,下列说法中正确的个数有（）

①异面直线AE与跖所成的角为45。；

②此八面体的外接球与内切球的体积之比为34；

③若点尸为棱班上的动点，则AP+CP的最小值为26a；

④若点。为四边形ABC。的中心，点。为此八面体表面上动点，且=则动点。的轨迹长度为半师.

A.1个B.2个C.3个D.4个

45.已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱长都等于2,则该四棱锥的内切球的表面积为

（）

A.（8—46）nB.12兀C.（8+46）无D.8兀

46.已知圆台存在内切球。（与圆台的上、下底面及侧面都相切的球），若圆台。02的上、下底面面积

之和与它的侧面积之比为5:8,设圆台与球。的体积分别为匕%,则芥=（）

A.-B.-C.—D.—

341113

47.六氟化硫，化学式为SR,在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在

电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫结构为正八面体结构，如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个

氟原子分别位于正八面体的6个顶点，若相邻两个氟原子之间的距离为加，则下列错误的是（）

A.该正八面体结构的外接球表面积为2m/

B.该正八面体结构的内切球表面积为卫

3

C.该正八面体结构的表面积为26m2

D.该正八面体结构的体积为后3

48.如图，已知四棱锥尸-ABCD的底面是边长为2的菱形，。为AC,8。的交点，平面ABCD,

ZPBA=ZABC=60°,则四棱锥P-ABCD的内切球的体积为（）

A后1B娓71c瓜兀D倔1

'亍'~'丁'

r1

49.已知一圆台内切球G与圆台各个面均相切，记圆台上、下底面半径为小勺若j=则圆台的体积与

球的体积之比为（）

A.—B.-C.2D.—

6212

50.如图，该几何体为两个底面半径为1,高为1的相同的圆锥形成的组合体，设它的体积为匕，它的内切

球的体积为％,则匕：%=（）

p

A.2:73B.2在3

C.1:72D.72:1

考点06：空间几何体的截面问题

在立体几何中，把空间问题转化为平面问题，历来是立体几何的一个基本问题.过已知不共线三点，作

几何体的截面，既是转化为平面问题一个方法，也是深化理解空间点、线、面关系的一个很好的途径.

1、确定截面的主要依据有

(1)平面的四个公理及推论.(2)直线和平面平行的判定和性质.

(3)两个平面平行的性质.(4)球的截面的性质.

2、作截面的几种方法

(1)直接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面实际就是找交

线的过程。

(2)延长线法：同一个平面有两个点，可以连线并延长至与其他平面相交找到交点。

(3)平行线法：过直线与直线外一点作截面，拖直线所在的面与点

51.已知直四棱柱4c■的侧棱长为3,底面ABCD是边长为2的菱形，44。=：JT,“为棱叩

上的一点，且为底面ABCD内一动点(含边界)，则下列命题正确的是()

TT27r

A.若PM与平面ABC。所成的角为:，则点尸的轨迹与直四棱柱的交线长为三

B.若点A到平面灯加的距离为若，则三棱锥R4D体积的最大值为冬8

3

冗

C.若以。为球心的球经过点则该球与直四棱柱的公共部分的体积为4三

D.经过反CM三点的平面截直四棱柱所得的截面面积为4

52.正方体ABCD-A4GA的棱长为6,P,Q分别是棱4月，4P的中点，过P，Q，C作正方体的截

面，则()

A.该截面是五边形

B.四面体CC7。外接球的球心在该截面上

C.该截面与底面ABCD夹角的正切值为逑

3

D.该截面将正方体分成两部分，则较小部分的体积为75

53.已知一圆锥的底面半径为由，该圆锥的母线长为2,A,2为底面圆的一条直径上的两个端点，则下列

说法正确的是（）

A.其侧面展开图是圆心角为泡兀的扇形

B.该圆锥的体积为7T

C.从A点经过圆锥的侧面到达B点的最短距离为2百

D.过该圆锥的顶点作圆锥的截面，则截面面积的最大值为2

54.已知正方体ABCD-A4GR的棱长为2,棱48的中点为过点M作正方体的截面且

若点N在截面。内运动（包含边界），则（）

A.当|阿最大时，跖V与BC所成的角为:

B.三棱锥A-BNC\的体积为定值|

C.若|DN|=2,则点N的轨迹长度为2兀

D.若Ne平面4水4，则忸N|+|NCj的最小值为《6+2石

55.已知正方体A8CO-A耳G2的棱长为3,点E是线段A8上靠近B点的三等分点，尸是AA中点，则（）

A.该正方体外接球的表面积为27兀

B.直线班与CD所成角的余弦值为国

61

C.平面耳石方截正方体所得截面为等腰梯形

D.点F到平面\BCX的距离为走

2

56.如图，在棱长为4的正方体ABCD-A4GR中，E,尸分别是棱4月，的中点，G为底面45co上

的动点，则下列说法正确的是（）

A.当G为AD的中点时，EFLCG

B.若G在线段80上运动，三棱锥A-GEF的体积为定值

C.存在点G,使得平面跖G截正方体所得的截面面积为128

D.当G为4）的中点时，三棱锥4-瓦6的外接球表面积为鲁

57.在棱长为1的正方体48C。-4月£，中，E为A8的中点，贝I（）

A.QE1B.C

B.CE〃平面

C.平面4EC截正方体ABCD-AB|GR所得截面面积为好

2

D.四棱锥与四棱锥E-BBQQ的体积相等

58.在三棱锥A-BCD中，已知5CLBD,棱AC,BC,的中点分别是E,F,G,AB=AC=AD=CD=2,

则（）

A.过点E,F,G的平面截三棱锥所得截面是菱形

B.平面ADC_L平面BCD

C.异面直线AC,硕互相垂直

D.三棱锥A—BCD外接球的半径为亚

3

59.与那些英雄们的墓志铭相比，大概只有数学家的墓志铭最为言简意赅.他们的墓碑上往往只是刻着一

个图形或写着一个数，这些形和数，展现着他们一生的执着追求和闪光的业绩.古希腊数学家阿基米德就

是这样，他的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱里内切着一个球.这个球的直径恰与圆柱的高相等.这个称为“等

边圆柱”的图形如图所示，记内切球的球心为0,圆柱上、下底面的圆心分别为。一。2，四边形ABCD是

圆柱的一个轴截面，所为底面圆。2的一条直径，若圆柱的高为4,则（）

A.内切球的表面积与圆柱的表面积之比为2：3

B.圆柱的外接球的体积与圆柱的体积之比为4：3

C.四面体CD吹的体积的最大值为:

D.平面CEF截得球。的截面面积的取值范围为警，4万

60.如图，透明塑料制成的直三棱柱容器ABC-A用G内灌进一些水，ZABC=^,AC=AAi=8,若水的

体积恰好是该容器体积的一半，容器厚度忽略不计，则（）

A.当底面441GC水平放置后，固定容器底面一边CG于水平地面上，将容器绕着CG转动，则没有水

的部分一定是棱柱

B.转动容器，当平面A41c0水平放置时，容器内水面形成的截面与各棱的交点都是所在棱的中点

C.在翻滚、转动容器的过程中，有水的部分可能是三棱锥

D,容器中水的体积与直三棱柱外接球体积之比至多为还

16兀

参考答案与试题解析

考点巩固卷14空间几何体的表面积和体积

（六大考点）

空间几何体的表面积和体积

朦方力技巧4考点制推

考点01:斜二测画法及应用

1、画空间图形的直观图，一般先用斜二测画法画出水平放置的平面图形，再画Z轴，

并确定竖直方向上的相关的点，最后连点成图便可；

2、直观图画法口诀可以总结为：“横长不变，纵长减半，竖长不变，平行关系不变”；

3、当几何体的形状确定后，用斜二测画法画出相应几何体的直观图.注意用实线表示看得见的部分，用虚

线表示看不见的部分，画完直观图后还应注意检验；

结论：直观图与原图面积之间的关系：若一个平面多边形的面积为S,其直观图的面积为9,

则有S'=*S或S=2巾S'；利用这一公式可由原图形面积求其直观图面积或由直观图面积求原图形面

积；

1.一水平放置的平面四边形Q4BC的直观图O'AZC'如图所示，其中O'A=O'C'=2,O'C'Lx'轴，A'B'±x'

轴，B'C7/y'轴，则四边形Q4BC的面积为（）

【答案】C

【分析】根据梯形面积公式求出直观图的面积，然后由直观图面积与平面图面积之间的关系可得.

【详解】记AE与y'轴的交点为。，

因为O'C'^x’轴，轴，所以O'C7/3Z）,

又8'C7/y'轴，所以四边形。D?C为平行四边形，OC=B，D=2,

TT

由题意可知：ZA'O'D=~,

4

因为A3'_Lx',O'A=2,所以AD=2,AB'=4,

则四边形O'AB'C的面积为SO.A,B,C,=1x（2+4）x2=6,

所以四边形OABC的面积为SOABC=20so©pc，=120.

故选：c.

2.如图，直角梯形O'AB'C满足O'A」O，UO,4=A'B'=2,OC=3,它是水平放置的平面图形的直观图，则该

平面图形的周长是（）

A.7+*\/5B.5+2用•

c.11+V41D.10V2

【答案】C

【分析】结合斜二测画法的规则,将直观图即直角梯形O'AB'C'还原成平面图形,结合勾股定理算出各边长度

即可求解.

【详解】由题意O'C=OC=3,A2'=AB=2,由AB'〃O'C'可得AB〃OC,

由O'A'lO'C,ZB'O'C'=45°,A!B'/1O'C,

可得ZB'O'A'=ZA'B'O'=45。，所以ZO'AB'=90。,

而OrA=ABr—2,

所以OB=2O'B'=2xV2z+22=40，

结合斜二测画法的规则,将直观图即直角梯形O'A'B'C'还原成平面图形,

如图所示：

由勾股定理可得AO=J(4可+2?=6,3C=«4用+3。=而，

所以满足题意的平面图形的周长是2+6+3+百T=11+"L

故选:C.

3.如图所示，正方形OAQC的边长为2cm,它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原平面图形的周

C.8cmD.4+4V§cm

【答案】A

【分析】根据斜二测画法画直观图的性质，即平行于天轴的线段长度不变，平行于y轴的线段的长度减半,

结合图形求得原图形的各边长，可得周长•.

【详解】

V直观图正方形OAB'C的边长为2cm,.-.O'B'=2J5cm，

原图形为平行四边形OLBC,如图：

其中0A=2cm,IWJOB=2x2>/2=40cm,

AB=CO=小2。+卜=6cm,

二原图形的周长L=2x（2+6）=16cm.

故选：A.

1

4.用斜二测画法画出的水平放置的AABC的直观图如图所示，其中OC是B'C’的中点，且A'D〃y'轴，B'CV/x

轴，A'D'=B'C'=2,那么S/BC=（）

C.2A/2D.4

【答案】D

【分析】根据斜二测画法确定原图形，求解即可.

【详解】根据题意，把直观图还原出原平面图形为等腰三角形，如图所示,

其中AD=2A£>'=4,BC=B'C'=2,

原平面图形的面积为S-WbC.AoGxZxdML

5.如图，AA'3'C是水平放置的平面图形的斜二测直观图，若A'C'=2cm,且△ziI?V2则原图形中

22

【答案】D

【分析】根据题意，由三角形面积公式求出功。的长，结合斜二测画法可得原图中瓦）的长.

【详解】画出平面直角坐标系xOy,在x轴上取=0A'，即CA=C'A'，

在图①中，过8'作笈。'〃y轴，交V轴于冰，在x轴上取0£）=0力，，

过点。作轴，并使=2D%'，

原图形中，BDLAC于点。，

则BD为原图形中AC边上的高，且班）=25'D,

在直观图③中作B'E'LAC'于点E',则^AB'C的面积S△ADC=-A'C'xB'E'=B'E'=—2,

在直角三角形BED'中，B'D'=JiBE=—,

2

所以BD=2B'D'=&,

故原图形中AC边上的高为次.

故选：D.

6.已知梯形ABCO按斜二测画法得到的直观图为如图所示的梯形AB'C'O',且Aa=l,O'A'=2,O'C'=4,

现将梯形ABCO绕。4槌转一周得到一个几何体，则该几何体的侧面积为（）

A.15TIB.18KC.25兀D.28兀

【答案】c

【分析】将梯形AB'C'O'复原为原图即直角梯形A8C0,确定相关的边长,结合题意以及圆台的侧面积公式,

即可求得答案.

【详解】由题意将梯形AB'C'O'复原为原图，即直角梯形A8C0,

其中AB=1,OA=4,OC=4,则8C=J（4-1）2+4e=5,

故将梯形A5c。绕04棍转一周得到一个几何体为圆台，

圆台上底面半径为1,下底面半径为4,高为4,母线长为5,

故该几何体的侧面积为兀（1+4）x5=2571,

故选：C

7.如图，△O'A'B'是水平放置的AOAB用斜二测画法画出的直观图（图中虚线分别与V轴和y'轴平行）,

O'B'=2O'D'=6,OC'=8,贝以。18的面积为（）

【分析】由直观图得到平面图形，再求出相应的线段长，最后由面积公式计算可得.

【详解】由直观图可得如下平面图形：

其中03=03'=6,OD=O'O'=3,OC=2O'C'=16,A£)//y轴，且AD=OC=16,

所以心钻=：x6xl6=48.

8.水平放置的AABC的直观图如图，其中3'。=C'O'=1,A'O'=—,那么原AABC是一个(

C.三边中只有两边相等的等腰三角形D.三边互不相等的三角形

【答案】A

【分析】根据斜二测画法的规则求解即可.

【详解】由图形知，在原AABC中，AO1BC,如图，

A

因为AO'='^,所以AO=5/^,

2

■,BO=CO'=1,:.BC=2,

又ABUJAO+BO?=^/^n=2,AC=y]AO2+CO2=y/3+l=2-

.•.△ABC为等边三角形.

故选:A

9.一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45。，腰和上底长均为1的等腰梯形，则该平面图形的

面积等于（）,

A.1+72B.2+0C.L交D.1+—

222

【答案】B

【分析】根据斜二测直观图的特点可知原图形为一直角梯形，由梯形面积公式求解.

【详解】解：如图，恢复后的原图形为一直角梯形，

故选：B.

10.如图所示，一个水平放置的四边形0ABe的斜二测画法的直观图是边长为2的正方形O'AB'C',则原四

A.160B.8A/2C.16D.8

【答案】B

【分析】根据斜二测画法规则求出A。,3。，判断Q4BC的形状，确定由此求出原四边形Q4BC的

面积.

【详解】在正方形O'AB'C中可得B'O'=040=2>/2,

由斜二测画法可知BO=2B'O'=472,AO=AO'=2,

且OA_LO3,OA//BC,ABIICO,

所以四边形OLFC为平行四边形，

所以加,二叱40=40x2=80.

故选：B.

考点02:空间几何体的表面积

侧面积和表面积

几何体棱柱棱锥棱台

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侧面展开图h

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