2025年高考数学一轮复习：第一章 集合、常用逻辑用语与不等式

第一章

集合、常用逻辑用语与不等式

第一节集合

［学习要求］1.通过实例了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系.2.理解集合之间

包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.3.理解两个集合的并集、交集与补集的含

义，能用Venn图表达集合间的基本关系和基本运算.

雪必备知识E瑞在・

［知个梳理］

知识点集合

1.集合的含义与表示

元素与一般地，我们把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总述叫做集合

集合的含义（简称为集）

集合中元素

确定性、互异性、无序性

的特征

集合的

列举法、描述法和图示法

表示方法

特定集合

正整数集N*或N+，自然数集N,整数集Z,有理数集Q,实数集R

的记法

元素与集合

“属于”或“不属于”，记为“旦”或“生”

之间的关系

2.集合间的基本关系

关系自然语言符号语言记法Venn图

集合”中任意一个元素都是

AJB或

子集集合3中的元素，就称集合

xGB

/为集合3的子集或

A之B,

集合/是集合2的子集，且

A麋B

(&)

真子集集合B中至少有一个元素不且为金

在集合/中或阻/

B,x^A

续表

关系自然语言符号语言记法Venn图

集合A的任何一个元素都是集合B的

A7B,

元素，同时集合8的任何一个元素都

集合相等

A=B

是集合/的元素，那么集合/与集合

且3R4

2相等

4.集合的运算性质

(1)(/Cig)QA,(/H3)QB,AC\B=B^A,AQB^A^A^B,/Cl0=0.

(2)(NUB),B三(4U8),A'JB=B^A,AUB=B=4三B,ALl0=A.

(3)CuU=0,C®=U,Cu(CuA)=A,AU(C4)=U,AH(C4)=0,Cu。口8)

=(QM)u(C㈤，CuC4U2)=(CM)c(C㈤.

学生用书I第2页

[小敢馀曲]

1.（多选）已知集合4={x|x£R},b=2则（）

A.q£AB.Q+4C.b^AD.b^A

答案：BC

解析：由g>，n=2平，可得a生/;由2避<24，可得6G4

2.（2024•北京模拟）己知全集。=&|-3<x<3},集合/={x|0<尤<2},则（:必=

（）

A.（0,2）

B.（_3,0）U（2,3）

C.（—2,0）

D.（_3,O]U[2；3）

答案：D

解析：全集U={x|-3<x<3},集合/={x|0<x<2},

由补集定义可知：C〃={xI—3<xW0或2Wx<3},即C/=（一3,0]U[2,3）.

3.已知集合/={0},3={-1,0,1}.若则符合条件的集合C的个数为

（）

A.lB.2C.4D.8

答案：C

解析：由题意知含有元素0且是集合2的子集的集合有{0},{0,-1},{0,1},{0,-

1,1）,即符合条件的集合C共有4个.

4.（2021•全国乙卷）已知集合S={s|s=2"+l,〃ez},T={t\t=4n+lf〃GZ},则

snr=（）

A.0B.S

C.TD.Z

答案：c

解析：依题知在S,则SC7=7.

国关键能力

考点一集合的含义与表示

［例1］(1)(2024•海南海口模拟)已知集合4=卜卜62,六ez),则集合4中的元

素的个数为()

A.2B.3C.4D.5

(2)(多选)已知集合〃={1,m+2,加2+4},且5G",则加的可能取值为(

A.lB.-lC.3D.2

［答案］(1)c(2)AC

3

［解析］(1)因为xGZ,且二ez,所以2-X的取值有-3,-1,1,3,所以X的值分

别为5,3,1,-1,故集合力中的元素个数为4.

(2)因为5G所以加+2=5或加2+4=5,解得加=3,或加=1,加=一1.当"2=3

时，M={\,5,13),符合题意；当加=1时，M={1,3,5),符合题意；当加=—1时，

M=［1,1,5},不满足集合中元素的互异性，不成立，所以加=3或%=1.

I方法总结I

确定集合的注意点

1.研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是数集、点集，还是其他集合；然后再看

集合的构成元素满足的限制条件，从而准确把握集合的含义.

2.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合中的

元素是否满足互异性.

□跟踪训练

1.(2024•江苏泰州模拟)已知集合/={0,1,2,3,4},B={(x,y)|x^A,y^A,x

-y^A},则8中所含元素的个数为（)

A.5B.6C.10D.15

答案：D

角翠析：因为xG/,y^A,x-y^A,

所以分以下5种情况:

①X—y=l,有四个,(1,0),(2,1),(3,2),(4,3);

②x—>=2,有三个,(2,0),(3,1),(4,2);

@x—y=3,有两个,(4,1),(3,0);

④x—y=4,有一个,(4,0);

⑤x—y=0,有五个,(0,0),(1,1),(2,2),(3,3),(4,4).

综上，2中所含元素的个数为15.

2.（2024•山东济南模拟）已知集合/={.X,了+1,一1}中的最大元素为2,则实数X

答案：1

'1\23

解析：因为9+1一%―2)+,>0,所以N+i>x,所以N+I=2,解得％=1或1

1,

显然工=—1不满足集合元素的互异性，故舍去，经检验X=1符合题意.

考点二集合间的基本关系

[例2]（1）己知集合/={0,1,网，2={i,o,3“一2},若4=2,则。等于（）

A.1或2B.-1或一2

C.2D.1

(2)(2023・新高考H卷)设集合/={0,-a],3={1,a-2,2a—2}.若415,则a

2

A.2B.lC.3D.-l

(3)已知集合4=仕|—2WxW5},5={x|加+1WXW2加一1}.若则实数加的取

值范围为.

［答案］(1)C(2)B(3)(—8,3］

［解析］(1),•,A=B,

・•・3q—2=q2,解得a—1或a=2.

当q=l时，集合4={0,1,1),不满足集合中元素的互异性，故舍去；

当q=2时，集合/={0,1,4),集合5={1,0,4),符合题意，所以〃=2.

(2)若〃一2=0,贝I|Q=2,此时Z={0,-2),B=［l,0,2},不满足ZR5;若2Q—2

=0,则〃=1,此时Z={0,-1},B={1,-1,0},满足所以〃=1.

(3)因为5&4,所以分以下两种情况：

①若B=。,则2冽一1〈冽+1,此时加V2;

f2m_l>m+1

②若8W0,则，爪+12-2,解得2W"?W3.

2m-1<5，

由①②可得，符合题意的实数机的取值范围为(一8,3］.

I方法总结I

1.子集个数的求解方法

将集合的子集一一列举出来，从而得到子1集的个数，适用于集合中元素个数

穷举法

较少的情况

含有n个元素的集合的子集个数是211,真子集的个数是2n—1,非空真子集的

公式法

个数是2匚2

2.已知两集合的关系求参数时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，进而转化为

参数满足的条件，解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn图或图象帮助分析，同时还要

注意空集分类讨论等情况.

学生用书1第3页

内跟踪训练

3.已知集合幺={1,2,3,5,10},8={x|x为质数},则的非空子集的个数为

()

A.4B.7C.8D.16

答案：B

解析：法一：因为/="，2,3,5,10},2={x|x为质数},所以/^2={2,3,5),

/A3的非空子集为⑵，{3},⑸，{2,3},{2,5},{3,5},{2,3,5},共7个.

法二：因为/={1,2,3,5,10},2={x|x为质数},所以/C3={2,3,5),共有3个

元素.故非空子集的个数为23—1=7.

4.已知集合/=卜卜=2k+1,kEzj,5=^x|x=—^―；kez},贝［j()

A.AJBB/C8=0

C.A=BD.ADB

答案：A

AT,।,6n+1

解析：当左=3〃时，,«ez.

2(3n+l)+16n+3_

当k=3n-\-1时，x=2=-3—,

2(3n+2)+16n+5_

当左=3〃+2时，x=2=~~§,nGZ,

所以“

6n+16n+36n+5)

Wx=-3一,或%=―3-,或%=—3—,

,(I6fc+1)_

因为/="卜=-3

5.(2024・九省联考测试)已知集合/={—2,0,2,4},B={x\\x-3\W加}.若AG5=

A,则别的最小值为.

答案：5

解析：已知则N=

,:B={x||x—3|,

■-B—{x|3—mW无W3+m},

f3+m>4,

■J3—m<-2；

二加》5,.,•〃?min=5.

考点三集合的基本运算

⑥角度(一)集合的基本运算

［例3］(1)(2023・新高考倦)己知集合加={-2,-1,0,1,2},N={尤|N—工一

620},则MCN=()

A.{-2,-1,0,1}B.{0,1,2}

C.{-2}D.{2}

(2)(2023•全国甲卷)设全集U=Z,集合M={xIx=3bH,左GZ},N={x\x=3k+

2,左GZ},贝(IC。(MUN)=()

A.{xIx—3k,左ez}B.{xIx—3k~1,左ez}

C.{xIx=3k——2,左GZ}D.0

［答案］(1)C(2)A

［解析］(1)由x2—x—620,得x23或无W—2,；.N={xIx>3,或xW—2},因此

MCN={-2}.

(2)•••〃={xIx=3左+1,左GZ},N={x|x=3左+2,k^Z］,

.♦.MUN={xIx=3左+1,或x=3左+2,左GZ}.

又U为整数集，

•••Cu(MUN)={xIx=3k,左GZ}.

I方法总结I

解集合运算问题的三个注意点

_看元素构成，集合中元素是数还是有

一序数对,是函数的自变量还是函数值

—对集合进行化简，通过化简可以使问

「题变得简单明了_______________

注意数形结合思想的应用，集合运算

匚常用的数形结合形式有数轴、坐标系

和Venn图

⑥角度(二)利用集合运算求参数或参数的范围

［例4］(1)(2020•全国I卷)设集合4=a|N—4W0},B={x\2x+a^0},且

(x|—2WxWl},则〃=()

A.-4B.-2

C.2D.4

(2)设2={-4,2a~1,a2},B={a~5,l-a,9}.已知/G5={9},则a

=,AUB=.

［答案］(1)B(2)-3{-7,-4,-8,4,9}

［解析］(1)A={x|—2WxW2},

8=卜卜<—胃.

由/G3={x|—,知一5=1,所以a=12.

(2)因为4n5={9},所以9£4,

所以a2=9或2a~1=9,解得a—±3或q=5.

当a=3时，A={—4,5,9},B={-2,—2,9),3中元素不满足集合元素的互异性，舍

去.

当a=—3时，/={—4,-7,9},B={—8,4,9},/AB={9}满足题意，故/U8={—

4,-7,-8,4,9).

当q=5时，4={—4,9,25},B=［0,—4,9),此时4G5={-4,9},与405={9}

矛盾，故舍去.

综上所述，a=—3,NU3={—7,-4,-8,4,9}.

I方法总结I

利用集合的运算求参数的方法

1.与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值的取舍.

2.若集合中的元素能一一列举，则一般先用观察法得到集合中元素之间的关系，再列方程

（组）求解.

注意：在求出参数后，注意结果的验证（满足集合中元素的互异性

国跟踪训练

6.（2022•新高考II卷）6知集合1,2,4},B={x\\x-l\W1},则/03=

（）

A.{-1,2}B.{1,2}

C.{1,4}D.{-1,4}

答案：B

解析：由Ix—1|得0WxW2,则8={x|0WxW2},

：.A^B={1,2}.

7.（2024•河南焦作模拟）若集合/={xI2N—9x>0},B={x\x>2},则（CR/）U5=

（）

A[2,f]B.0

C.[0,+8）D.（0,+8）

答案：c

解析：因为Z={x|2%2—9x>0}=卜卜>[,或％<0}，

所以CR/=1%[O<%<3.又8={xIx22},所以（CR/）UB=[O,+°°）.

8.(多选)已知集合4={x|x+lWO},3={x|X2Q}.若ZU8=R,则实数a的值可以为

()

A.2B.-l

C.OD.-2

答案:BD

解析：•・,/={x|xW—l},B=[x|x^a},且/U5=R,"W—l,.•,实数Q的值可以为一

1,—2.

考点四与集合有关的新定义问题

[例5](1)(2024•云南保山模拟)定义集合运算：4+5={z|z=%+y,xEAfyeB},

设Z={1,2},5={1,2,3},则集合Z+5的所有元素之和为()

A.14B.15

C.16D.18

(2)(多选)(2024•湖南邵阳模拟)若对任意xe/,则称/为“影子关系”集

合，下列集合为“影子关系”集合的是()

A.{—1,1}B.g,2)

C.[x|x2>1}D.{x|x>0]

[答案](1)A(2)ABD

[解析](1)由题设知/+8={2,3,45),

.•.所有元素之和为2+3+4+5=14.

(2)根据“影子关系”集合的定义，

可知{—1,1},2),{x|x>0}为“影子关系”集合，

由>1},得{%,<_1或X>1},当X=2时，>1],故不是"影子关系"集合.

学生用书1第4页

I方法总结I

解“新定义”题的方法

“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后

根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定

义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”

不一定是“难题”，掌握好基础，以不变应万变才是制胜法宝.对于新定义问题，可恰当

选用特例法、筛选法、一般逻辑推理等方法，并结合集合的相关性质求解.

自跟踪训统

9.(2024・湖南长沙模拟)定义集合/+3=印=亲xeX”时.己知集合/={4,8),B

={1,2；4),则4+8的元素的个数为()

A.3B.4

C.5D.6

答案：B

解析：因为/={4,8),3={1,2,4),

所以/+8={1,2,4,8},故N4-8的元素的个数为4.

10.(2024•安徽蚌埠模拟)对于数集/,B,定义N+5={x|x=a+'a6力，beB),

A^B={x^x=l，a^A,beg}.若集合/={1,2),则集合(4+4)+/中所有元素之和为

()

1015

A-TBT

2123

C.-YD.^~

答案：D

解析：根据新定义，数集4,B,定义4+5={%]%=a+b,aEZ,beB},A-i-B={x

卜=石，a^A,bGB},集合/={1,2},4+4={2,3,4},+/)4~4={1,2,3,4,,

23

,则可知所有元素的和为彳.

［例］(1)(多选)图中阴影部分所表示的集合是()

A.MDQJN

B.NGCW

C.MGQ/(NnM)

D.&MW&N)

(2)(2024・湖北黄冈模拟)已知全集为U,集合M,N满足则下列运算结果

为。的是(

A.MUNB.(C^)U(CyM)

C.MU©N)D.NU(C„M)

［答案］(1)AC(2)D

［解析］(1)如图，

对于A,④,则A/nc〃V=④，故A正确;

对于B,(:的二①十②，则NCCW=②，故B错误;

对于C,③，Cu（MnN）=①+②+④，故MnCu（NnM）=④，故C正确;

对于D,（（:/加（（：m）=①，故D错误.

（2）全集U,集合M,N漏RMJN三U,绘制Venn图，如图所示.

对于A:MUN=N,A错误;

对于B：(CUN)U(CUM=C",B错误;

对于C:MU（Cy/V）cu,C错误；

对于D:NU&M）=U,D正确.

I方法总结I

利用Venn图可以迅速地解决多个集合之间的关系及运算问题，需要引起重视.

门跟踪训练

1.（2024•江西南昌模拟）已知全集。=11,集合/={1,2,3},集合8={0,2,3,4）,

则图中的阴影部分表示的集合为（）

A.{2,3}B.{0}

C.{4}D.{0,4}

答案：D

解析：根据交集和补集的定义，图中的阴影部分表示的集合为8n（C牌），即8c（ca）=

{o,2,3,4}n{x|x^15X丰2,x13}={o,4）.

2.调查了100名携带药品出国的旅游者，其中75人带有感冒药，80人带有胃药，那么对于

既带感冒药又带胃药的人数统计中，下列说法正确的是（）

A.最多人数是55B.最少人数是55

C.最少人数是75D.最多人数是80

答案：B

解析：设100名携带药品出国的旅游者组成全集/,其中带感冒药的人组成集合带胃药

的人组成集合A

又设所携带药品既非感冒药又非胃药的人数为x,则xd[0,20],以上两种药都带的人数

为y.

根据题意画出Venn图，如图所示，由图可知，》+75+80—>=100,

•,少=55+x.：0W无W20,

；.55WyW75,故最少人数是55.

学生用书1第269页

用课时作业面匕

[A组基础保分练]

1.设集合4={0},B={2,加},且4UB={—1,0,2},则实数加=()

A.-lB.1

C.OD.2

答案:A

解析：以=⑻，B={2,m],且4U5={-1,0,2),

—1e5,：.m=­l.

2.(2022•全国甲卷)设集合/={-2,-1,0,1,2),5=(%|0<%<|},则/ng=

()

A.{0,1,2}B.{-2,-1,0}

C.{0,1}D.{1,2}

答案：A

解析：集合/中的元素只有0,1,2属于集合8,

所以/C8={0,1,2}.

3.(2022•北京卷)已知全集。=氏|-3<x<3},集合/={无|一2<启耳,则C〃=

()

A.(-2,1]B.(-3,-2)U[1,3)

C.[-2,1)D.(-3,-2]U(1,3)

答案：D

解析：法一：因为全集U=(—3,3),A=(-2,1],

所以CV=（—3,-2]U(1,3).

法二：因为1G/,所以1生C4，可排除A选项和B选项；0GN,所以0缸以，可排除C

选项.

4.(2023•北京卷)已知集合〃=仕Ix+220},N={x|x-l<0},则()

A.{x|—2Wx<1)B.{x|—2<xWl}

C.{x|龙》一2}D.{x|x<1}

答案：A

解析：由题意,M={x|x+2^0]=[x|x^—2],N={x|x—1<0}={x\x<l},

根据交集的运算可知，M^N={x|—2Wx<l}.

5.已知集合/={xdN*|N—3x—4<0},则集合力的真子集有（）

A.7个B.8个

C.15个D.16个

答案：A

解析：,•,集合/={xGN*|.d一3x—4<0}={xGN*|—l<x<4}={1,2,3},

集合力中共有3个元素，

.,.真子集有23—1=7（个）.

6.（2023•天津卷）已知集合。={1,2,3,4,5},/={1,3},8={1,2,4）,则

（S）UN=（）

A.{1,3,5}B.{1,3}

C.{1,2,4}D.{1,2,4,5}

答案：A

解析：由题意知C#={3,5},二/U（CuB）={1,3,5}.

7.（多选）满足{1,3}U4={1,3,5}的集合N可能是（）

A.{5}B.{1,5}

C.{3}D.{1,3}

答案：AB

解析：由{1,3}U/={1,3,5}知，AQ[1,3,5],且/中至少有1个元素5.

8.（多选）已知集合/={x|x>—l,x£R},8={x|x2-x-220,xGR},则下列关系

中错误的是（）

A.A^BB.CR/UCRB

C./n2=0D./U5=R

答案：ABC

解析：•；/=（—1,+°°）,B=（——1]U[2,+°°）,

.•./U8=R,D正确，其余选项均错误.

9.(2024•浙江台州模拟)若全集。={1,2,3,4},集合M={1,2},N={2,3},则Cu

(MUN)=.

答案：{4}

解析：•.•全集U={1,2,3,4},集合M={1,2},N={2,3},2,3),

：.Qu(MUN)={4}.

10.已知集合{1,a,§={0，a2,a+b],则.2023+62024=,

答案：一1

b

角星析：易知Q#0,-=0,即6=0,

所以。2=1,即。=±1.

又由集合中元素的互异性，知QWI,所以。=一1,

故。2。23+炉024=(-1)2023+02024=-le

1L已知集合4={X|N+2办+2a〈o},若4中只有一个元素，则实数。的值为.

答案：0或2

解析：•・•集合4={x|N+2qx+2qW0},4中只有一个元素，.必=442—8Q=0,解得Q=0

或q=2,.•.实数q的值为0或2.

12.已知集合/={%|x—aWO},B={1,2,3}.若4G5W。，则a的取值范围为.

答案:[1,+8)

解析：集合Z={X|XWQ},集合B={1,2,3},若则1,2,3这三个元素至

少有一个在集合力中，若2或3在集合4中，则1一定在集合4中，因此只要保证

即可，所以QEL

13.(2024•河南郑州模拟)已知集合4={%EN1%=?,1<m<105m,nEN}有15个

真子集，则m的一个值为.

答案：6(或8,或10,填其中一个即可)

解析：由集合4={%EN1%=?,1<m<10?m,nEN}

有15个真子集，

得集合4中含有4个元素，则加有4个因数，则除1和它本身加外，还有2个因数，

所以冽的值可以为6,8,10,故机的一个值为6(或8,或10).

14.已知集合Z={x|N=4,x£R},B={x\kx=4,x£R}.若B&Z,则实数左=.

答案：0,2,—2

解析：4={x|N=4,x£R}={-2,2}.因为所以5=0,或5={2},或5={—

2],或5={—2,2).

因为方程Ax=4最多有一个实数根或无实数根，因此分类讨论如下：当5=0时，方程b=

4无实根，所以左=0;

当5=⑵时，2是方程6=4的实根，故2左=40左=2;

当5={—2}时，一2是方程h=4的实根，故一2左=4=左=一2.综上可知，实数左=0,2,

-2.

[B组能力提升练]

15.已知集合〃={(x,歹)|y=3x2},N={(x,y)\y=5x},则AfGN中的元素个数为

()

A.OB.1

C.2D.3

答案：C

=3x'x=0,

解析：由因此MGN中的元素个数为2.

=5%

16.已知集合/=£,1；2,3),则具有性质“若xe/,贝叶e/”的/的所有非空子集

的个数为()

C.15D.31

答案：B

1

解析：满足且或£4”的力的非空子集为{1},

（I,4（I,3},L1.2},1,3},12,3},L1.2,3）,共7个.

17.已知全集。=/U3中有加个元素，（QuA）U（C〃）中有〃个元素.若/C2是非空集

合，则NC8的元素个数为（）

K.mnB."z+"

C.n—mD.加一〃

答案：D

解析：因为（Cu4）U（CuB）中有〃个元素，如图中阴影部分所示，又。=

4U5中有冽个元素，故4r15中有（冽一〃）个元素.

18.（多选）某单位周一、周二、周三开车上班的职工人数分别是14,10,8.若这三天中至

少有一天开车上班的职工人数是20,则这三天都开车上班的职工人数可能是（）

A.5B.6

C.7D.8

答案：AB

解析：如图所示，（Q+6+C+X）表示周一开车上班的职工人数，（b+d+e+x）表示周

二开车上班的职工人数，（c+e+f+x）表示周三开车上班的职工人数，x表示这三天都开

车上班的职工人数.

周三

。+5+。+%=14

b_|_d+e_|_x=10,

则c+e+f+%=8,

a+b+c+d+e+/+%=20

।，

(a+2b+2。+d+2e+/+3%=32

得|a+b+c+d+e+f+x=20,'得6+c+e+2x=12,当b=c=e=0时，x取得最

大值6,则这三天都开车上班的职工人数至多是6.

19.设集合U={(x,y)|xGR,yGR},A={(x,y)\2x~y+m^0},B={(x,

y)|x+y—">0}.若点P(2,3)GNC(C〃)，则机+〃的最小值为.

答案：4

解析：A={(x,y)|2x~y+m^Q],QuB={(x,y)|x+y—〃W0},

由于P(2,3)G/C(CuB),所以

[2x2_3+m>0(m>-1

[2+3_n<0；解得[nN5,'

所以加+〃24,即加+〃的最小值为4・

20.定义尸OQ={z|z=必+1xEP,已知尸={0,-2},0={L2},则尸00

答案：［1,-1,-1}

解析：X,y取不同值时z的值如下表所示.

学生用书1第5页

第二节常用逻辑用语

［学习要求］1.通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件、必要条件、充要条件的意

义，理解性质定理与必要条件、判定定理与充分条件、数学定义与充要条件的关系.2.通

过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义.3.能正确使用全称量词命题、存在

量词命题进行否定.

国必备知识■望不寿普

［加铜梳理］

知识点一充分条件、必要条件与充要条件

t己p：xGN,q-.xGB,贝!J

p是q的充分条件PMA£B

p是q的必要条件qnpA=B

p是q的充要条件p=>q且q0PA=B

p是q的充分不必要条件p=q且q=>/pA^B

p是q的必要不充分条件p=>/q且q0PA吆B

p是q的既不充分也不必要条件p=>/q且/p

q=/不包含于3且4不包含B

知识点二全称量词与存在量词

1.全称量词与存在量词

量词名称常见量词表示符号

全称量词所有、一切、任给、全部、每一个等V

存在量词存在一个、至少有一个、有一个、某个、有些、对某些、有的等3

2.全称量词命题、存在量词命题及含一个量词的命题的否定

命题

语言表示符号表示命题的否定

名称

全称

对Af中任意一个％,p

量词YxGM,p(x)3x£(x)

（X）成立M,

命题

续表

命题

语言表示符号表示命题的否定

名称

存在

存在”中的某个元素

(x)

量词pVx£M,(x)

X,p（X）成立

命题

[a强珍斯]

1.命题“VaGR,一元二次方程x2—ax—1=0有实根”的否定是（）

A.Wa生R,一元二次方程N—ax—1=0没有实根

B.3aeR,一元二次方程x2—ax—1=0没有实根

C.3a£R,一元二次方程x2—ax—1=0没有实根

D.maGR,一元二次方程炉一办一1W0没有实根

答案：C

解析：根据全称量词命题的否定形式可知，命题“V°eR,一■元二次方程无2一办一1=0有

实根”的否定是'勺aGR,一元二次方程/一⑪一1=0没有实根”.

2.已知条件p：x>l,条件q：x22,则/是1的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C,充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案：B

解析：■{尤Ix22}5{x|x>l},卬是q的必要不充分条件.

3.（2024•天津模拟）命题px<-l,则命题〃的一个充分不必要条件为（）

A.x<—1

B.x<2

C.-8<x<2

D.-10<x<-3

答案：D

解析：由于一3=x<—1,反之不成立，所以命题。的一■个充分不必要条件为一

10<x<-3,其他选项均不符合.

学生用书1第6页

，关键能力鼎相融1

考点一充分条件、必要条件及充要条件的判断

⑥角度（一）定义法判断充分、必要条件

[例1]（1）（2023・天津卷）“层=〃”是。2+62=2"”的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分又不必要条件

(2)(2021•全国甲卷)等比数列｛四｝的公比为q,前〃项和为S,”设甲：q>0,乙：｛S,,｝

是递增数列，则()

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

［答案］(1)B(2)B

［解析］(1)由。2=〃，得|°|=|6|；

由a2+b2—2ab,得(a-b)2—0,••a—b.

a=bn\a\=\b\,而由|a|=|6|不能推出a=b,

二"&2=按”是".2+62=2"”的必要不充分条件.

(2)当g=l,的<0时，等比数列｛斯｝的前"项和S“=〃ai<0,可知｛S”｝是单调递减数

列，因此甲不是乙的充分条件；

若｛&｝是递增数列，则当"22时，a“=S"—S〃—1>0,即0口”-1>0恒成立，而只有当白>

0,«>0时，°口"-1>0恒成立，所以可得4>0,因此甲是乙的必要条件.综上，甲是乙的

必要条件但不是充分条件.

⑥角度(二)集合法判断充分、必要条件

［例2］设XGR,则“无2—5x<0”是“lx—1|<1"的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

［答案］B

［解析］由N一5x<0可得0cx<5.由|x—1|<1可得0<x<2.由于区间(0,2)是

(0,5)的真子集，故“N—5》<0”是“|x—1|<1"的必要不充分条件.

I方法总结I

1.充分、必要条件的判断方法

直接判断“若P，则q”“若q,则力”的真假.在时，确定条件是

利用定义判断

什么、结论判断是什么

从集合的角度判断利用集合中包含关系判定，即可解决充分、必要性的问题

2.不能将“若p,贝Uq”与“p-q"混为一谈，只有“若力，则为真命题时，才有“力

一q"，即“。一一“若力，则为真命题.

日跟踪训练

1.若集合/={》|N—5x+4<0},B={x\|x-a\<1},则（2,3）”是“BIN”

的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案：A

解析：A=[x|l<x<4},B={x|a-\<x<a+\].

fa_1>1

■■BQA,.-.L+x<4即2WaW3.

（2,3）72,3],

:“aG（2,3）”是“BEA”的充分不必要条件.

2.如果x,y是实数，那么"xWy"是"cosxWcosy”的（）

A.充要条件

B.充分不必要条件

C.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

答案：C

解析：设集合/={(x,y)|x壬y},B—{(x,y)IcosxWcosy},则/的补集C=

{(x,y)|x—y］,2的补集。={(x,>)|cosx=cosy},显然C£D,所以.于是

"x壬y"是''cosxWcosy”的必要不充分条件.

3.(