人教版八年级数学上册全等三角形《角平分线的性质》示范教学课件

12.3角的平分线的性质12.3.1角的平分线的性质

人教版数学八年级上册第十二章

全等三角形

小明家刚好位于两条公路所成角的平分线上，现在小明要步行到公路上坐车去两条公路交汇处的超市。问题1：他该怎样走到公路1最节省时间呢？到公路2呢？助人为乐公路2公路1问题2：你知道走哪条路最

近吗？超市

用纸剪一个角，把纸片对折，使角的两边叠合在一起，把对折后的纸片继续折一次，折出一个直三角形（使第一次的折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕.动手与操作趣味折纸公路2公路1超市=数据收集PDPE第一位同学第二位同学第三位同学…观察表格中的数据说说你有什么发现？重大发现角的平分线上的点到角的两边的距离相等。

当真如此吗？公路2公路1超市验证猜想几何模型21OABP你能用所学过的方法证明PA=PB吗？证明：∵

OP是∠AOB的平分线∴∠1=∠2在△OAP和△OBP中∠1=∠2（已证）∴△OAP≌△OBP（AAS）∴PA=PB（全等三角形对应边相等）∵

PA⊥OA于A，PB⊥OB于B∴∠OAP=∠OBP=90°∠OAP=∠OBP（已证）OP=OP（公共边）探究结果角的平分线上的点到角的两边的距离相等.角平分线的性质PD⊥OA于D，PE⊥OB于E∵OP平分∠AOB∴PD=PE.几何语言：

一平分两垂直得相等（角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等）AOBPED例1已知:如图,在△ABC中,AD是它的角平分线,且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F.求证:EB=FC.BAEDCF【解析】根据角平分线的性质得到DE=DF，再根据HL证△BED≌△CFD,从而得到EB=FC.证明：∵AD是∠BAC的平分线，

DE⊥AB,DF⊥AC，∴

DE=DF,∠DEB=∠DFC=90°.在Rt△BDE

和Rt△CDF中，DE=DF，BD=CD，∴Rt△BDE

≌Rt△CDF(HL).∴EB=FC.BAEDCF直线表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有()

A.一处B.两处

C.三处D.四处【解析】由于没有限制在何处选址,根据题目要求到三条公路的距离相等，中转站需在内、外角的平分线的交点处，即A、B、C、D处各有一个.ADCB例2DABCP如图，在Rt△ABC中，AC=BC,∠C＝90°，AP平分∠BAC交BC于点P，若PC＝4，AB=14.（1）求△APB的面积；D（2）求∆PDB的周长.·AB·PD=28.解：（1）如图，过点P作PD

⊥AB,由角平分线的性质，可知，PD=PC=4，.例3（2）在Rt△APC和Rt△APD中，

PC=PD，AP=AP，∴Rt△APC≌Rt△APD(HL)，∴AC＝

AD=

BC.随堂训练1.

用尺规作图作一个已知角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC=∠BOC的依据是（）A.SSSB.ASAC.AASD.角平分线上的点到角两边的距离相等AABONMC2.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是()A．6B．5C．4D．3DBCEAD解析：过点D作DF⊥AC于点F.

∵AD是△ABC的角平分线，

DE⊥AB，∴DF＝DE＝2，

解得AC＝3.F3.如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P.求证：点P到三角形三边的距离均相等.ABCPEFGMN证明：过点P作PF、PE、PG分别垂直于AB、

BC、CA，垂足分别为F、E、G,∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，

∴PF=PE.（在角平分线上的点到角的两边的距离相等）同理PE=PG.∴PF=PE=PG.

即点P到边AB、BC、CA的距离相等.变式：如图，△ＡＢＣ的∠Ｂ的外角的平分线ＢＤ与∠Ｃ的外角的平分线ＣＥ相交于点Ｐ．求证：点Ｐ到三边ＡＢ，ＢＣ，ＣＡ所在直线的距离相等．ＡＢＣＤＥＰFGHＢＰ4.如图，已知AD∥BC，P是∠BAD与∠ABC的平分线的交点，PE⊥AB于E，且PE=3，求AD与BC之间的距离.解：过点P作MN⊥AD于点M，交BC于点N.∵AD∥BC，∴MN⊥BC，MN的长即为AD与BC之间的距离.∵AP平分∠BAD,PM⊥AD,PE⊥AB，∴PM=PE.同理，PN=PE.∴