2023学年石家庄二中高一数学上学期期末考试卷附答案解析

学年石家庄二中高一数学上学期期末考试卷（时间120分钟，分值150分）一、单选题：本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）．A. B. C. D.2.若命题“，”是假命题，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.3.已知，且，则的值是A. B. C. D.4.已知，则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.已知函数，若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.6.设，则（）A. B.C D.7.定义：如果函数y＝f（x）在定义域内给定区间[a，b]上存在x0（a＜x0＜b），满足，则称函数y＝f（x）是[a，b]上的“平均值函数”，x0是它的一个均值点，如y＝x2是[﹣1，1]上的平均值函数，0就是它的均值点，现有函数f（x）＝x3+tx是[﹣1，1]上的平均值函数，则实数t的取值范围是（）A. B. C. D.8.已知函数，若的最小值为0，则（）A. B. C. D.二、多选题：本题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是（）A.若，则 B.C.的最小值是2 D.10.设函数的定义域为为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论正确的是（）A. B.点是函数的一个对称中心C.在上为增函数 D.方程仅有6个实数根11.已知函数，下列四个命题正确的是（）A.函数的单调递增区间是B.若，其中，则C.若值域为R，则D.若，则12.已知函数将的图象上所有点向右平移个单位长度，然后横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象．若为偶函数，且最小正周期为，则下列说法正确的是（）A.的图象关于对称B.在上单调递减C.的解集为D.方程上有且只有两个相异实根三、填空题：本题4个小题，每小题5分（16第一空2分，第二空3分），共20分．13.函数（，且）的图象过定点A，则点A的坐标是________．14.函数的最小正周期是______．15.已知，若存在实数，使函数有两个零点，则取值范围是________．16.已知函数在区间上单调，且满足______；函数在区间上恰有5个零点，则取值范围为______．四、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.已知关于的不等式.（1）该不等式的解集为，求；（2）若，求此不等式的解集.18.（1）计算：：（2）已知是第三象限角，且①求的值；②求的值．（3）化简：．19.已知函数．（1）求的图象的对称中心、对称轴、单调递增区间；（2）当时，求的最值．（3）当时，关于的不等式有解，求实数的取值范围．20.某创业团队拟生产A、B两种产品，根据市场预测，A产品的利润与投资额成正比（如图1），B产品的利润与投资额的算术平方根成正比（如图2），（注：利润与投资额的单位均为万元）（1）分别将A、B两种产品的利润、表示为投资额x的函数；（2）该团队已筹集到10万元资金，并打算全部投入A、B两种产品的生产，问：当B产品的投资额为多少万元时，生产A、B两种产品能获得最大利润，最大利润为多少？21.已知定义域为的函数满足对任意，都有.（1）求证：是奇函数；（2）设，且时，，①求证：在上是减函数；②求不等式的解集.22.已知函数（k为常数，），且是偶函数.（1）求k的值；（2）设函数，若方程只有一个解，求a的取值范围.试卷答案解析（时间120分钟，分值150分）一、单选题：本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）．A. B. C. D.【答案】C【分析】先化简集合元素再求.【详解】由，所以故选：C【点睛】易错点点晴：要注意集合中的条件.2.若命题“，”是假命题，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【分析】由原命题为假命题可知其否定，使得成立是真命题，转化为对于有解，分离可得，即可求解.【详解】若命题“，”是假命题，所以，使得成立是真命题，即对于有解，所以，所以，因为，所以，，所以，所以，所以实数的取值范围是，故选：D【点睛】方法点睛：若不等式（是实参数）有解，将转化为或有解，进而转化为或，求的最值即可.3.已知，且，则的值是A. B. C. D.【答案】D【分析】先求出，再利用变角求出的值.【详解】由，得，由，得，所以故选：D4.已知，则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【分析】利用基本不等式“1”的妙用求出，充分性成立，举出反例，得到必要性不成立，选出正确答案.【详解】当时，因为，所以，当且仅当，即时，等号成立，故充分性成立，当时，满足，但不满足，故必要性不成立，故“”是“”的充分不必要条件.故选：A5.已知函数，若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【分析】由幂函数的奇偶性及单调性即可解得.【详解】易知是奇函数且单调递增，故原不等式等价于即所以，所以在任意的上恒成立，故.故选：D6.设，则（）A. B.C. D.【答案】D【分析】由诱导公式化简，结合，判断，结合指数函数以及对数函数的单调性，即可判断的范围，即可得答案.【详解】由题意得，而，由于在上单调递增，故，即，由在R上单调递增，则，即有；由在上单调递增，且，故，即，故，故选：D7.定义：如果函数y＝f（x）在定义域内给定区间[a，b]上存在x0（a＜x0＜b），满足，则称函数y＝f（x）是[a，b]上的“平均值函数”，x0是它的一个均值点，如y＝x2是[﹣1，1]上的平均值函数，0就是它的均值点，现有函数f（x）＝x3+tx是[﹣1，1]上的平均值函数，则实数t的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【分析】函数是区间[﹣1，1]上的平均值函数，故有在（﹣1，1）内有实数根，进而可得方程在（﹣1，1）上有根，即可求出t的取值范围．【详解】∵函数是区间[﹣1，1]上的平均值函数，故有即在（﹣1，1）内有实数根，则有根，所以x＝1或.又1∉（﹣1，1）∴方程在（﹣1，1）上有根，因为，而当时，，于.故选：A．8.已知函数，若的最小值为0，则（）A. B. C. D.【答案】D【分析】首先变形不等式，整理为，且存在，使得，换元后讨论对称轴和定义域的关系，列式求解.【详解】由题意可知，当时，恒成立，且存在，使得，同除，可得，整理得因为，所以，当且仅当时，等号成立，当，即时，，不符题意；当，即时，由，解得.综上，.故选：D二、多选题：本题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是（）A.若，则 B.C.的最小值是2 D.【答案】ABD【分析】对于A，利用不等式性质即得；对于B，利用平方差公式分解因式，再逆用二倍角的余弦公式计算即得；对于C，利用基本不等式时，因等号取不到，故函数取不到最小值2；对于D，依次运用切化弦通分，辅助角公式化简分子，再运用诱导公式和二倍角公式即可求得.【详解】对于A项，因，利用不等式的性质可得：.故A项正确；对于B项，，故B项正确；对于C项，因，由，当且仅当时等号成立，但由可得：，显然此方程无实数解，即取不到最小值2，故C项错误；对于D项，，故D项正确.故选：ABD.10.设函数的定义域为为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论正确的是（）A. B.点是函数一个对称中心C.在上为增函数 D.方程仅有6个实数根【答案】BCD【分析】根据和的奇偶性可推导得到，，由可判断A；推导可得，即可判断B；作出图象，结合图象即可判断C；将解的个数转化为与的交点个数，结合图象即可判断D.【详解】为奇函数，，即，关于点对称，为偶函数，，即，关于对称，由，得：，，即是周期为的周期函数，对于A，，A错误；对于B，，即，关于点成中心对称，B正确；对于CD，由周期性和对称性可得图象如下图所示，

由图象可知：在上单调递增，C错误；方程的解的个数，等价于与的交点个数，，，结合图象可知：与共有个交点，即有个实数解，D正确.故选：BCD.11.已知函数，下列四个命题正确的是（）A.函数的单调递增区间是B.若，其中，则C.若的值域为R，则D.若，则【答案】ABD【分析】对于A，利用复合函数的“同增异减原则”即可求得；对于B，判断的符号，去掉绝对值，代入化简即得；对于C，要结合对数函数的图象理解，要使对数型函数的值域为R，须使真数能取遍一切正数，列出不等式组求解即得；对于D，分别判断绝对值内的对数式的符号，去绝对值，再结合的范围，利用对数函数单调性即可比较大小.【详解】对于A项，由可得，取，因在定义域内为减函数，而在区间上递增，在区间上递减，根据同增异减原则可知：函数的单调递增区间是，故A项正确；对于B项，因，，故由可得：，即得，则，故B项正确；对于C项，要使的值域为R，须使能取遍一切正数.①当时，可以取遍一切正数，符合题意；②当时，依题意，须使，解得：.综上可知，故C项正确；对于D项，当时，，，则，，故，，由可得：，则，即得：，故D项正确.故选：ABD.12.已知函数将的图象上所有点向右平移个单位长度，然后横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象．若为偶函数，且最小正周期为，则下列说法正确的是（）A.的图象关于对称B.在上单调递减C.的解集为D.方程在上有且只有两个相异实根【答案】AC【分析】根据三角函数的图象变换及三角函数的性质，求出函数的解析式，再利用三角函数的性质即可求解.【详解】将函数的图象上所有点向右平移个单位长度，可得，然后横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），可得，因为的最小正周期为，所以，解得，即，因为为偶函数，所以，解得，又因为，当时，可得，所以，.对于A，当时，，所以的图象关于对称，故A正确；对于B，因为，所以，所以在上先单调递减后单调递增，故B错误；对于C，由，得，即，解得，所以的解集为，故C正确；对于D，由，得，即，所以即所以，解得，又因为，所以，所以方程在上有3个相异实根，故D错误.故选：AC.三、填空题：本题4个小题，每小题5分（16第一空2分，第二空3分），共20分．13.函数（，且）的图象过定点A，则点A的坐标是________．【答案】【分析】利用指数函数的性质即可得解.【详解】因为（，且）的图象过定点A，令，则，，所以点A的坐标为.故答案为：.14.函数的最小正周期是______．【答案】6【解析】【分析】利用正弦型函数的周期，结合图形求解即可.【详解】函数的最小正周期为，显然，即是函数的周期，在同一坐标系内作出函数的图象，如图，观察图象知，函数的周期相同，所以函数的最小正周期是6.故答案为：615.已知，若存在实数，使函数有两个零点，则的取值范围是________．【答案】【分析】由有两个零点可得有两个零点，即与的图象有两个交点，则函数在定义域内不能是单调函数，结合函数图象可求的范围【详解】有两个零点，有两个零点，即与的图象有两个交点，由可得，或①当时，函数的图象如图所示，此时存在，满足题意，故满足题意②当时，由于函数在定义域上单调递增，故不符合题意③当时，函数单调递增，故不符合题意④时，单调递增，故不符合题意⑤当时，函数的图象如图所示，此时存在使得，与有两个交点综上可得，或故答案为：【点睛】本题考查了函数的零点问题，渗透了转化思想，数形结合、分类讨论的数学思想．已知函数在区间上单调，且满足______；函数在区间上恰有5个零点，则的取值范围为______．【答案】①.0②.【分析】由结合函数单调性，即可确定的一个对称中心为，即可求得；利用函数的对称中心和单调区间，结合周期可得，求出，再结合函数零点个数，列出不等式求得，综合，即可求得的取值范围.【详解】因为函数在区间上单调，且满足，而，,即的一个对称中心为，故；而，故在区间上单调，设函数的最小正周期为T，则；函数在区间上恰有5个零点，则恰好为第一个零点，相邻两个零点之间相距半个周期，故，即，解得，结合，可得的取值范围为，故答案为：【点睛】关键点睛：本题综合考查了三角函数单调性、周期以及对称性的应用，解答的关键在于第二空的求解时，要根据零点的个数，结合正弦函数的性质，列出关于参数的不等式，从而求解答案.四、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.已知关于的不等式.（1）该不等式的解集为，求；（2）若，求此不等式解集.【答案】（1）；（2）见解析.【详解】分析：⑴根据不等式解集，则方程有两根，故计算出的值⑵分类讨论无解和有解时根的大小详解：（1）由韦达定理有：；（2）.①，即时：解集为；②，即时：解集为；③，即时：解集为.点睛：本题主要考查了一元二次不等式，在含有参量的不等式中注意分类讨论，得出不同情况的结果．本题较为基础．18.（1）计算：：（2）已知是第三象限角，且①求的值；②求的值．（3）化简：．【答案】（1）；（2）①；②；（3）．【分析】（1）运用对数换底公式、对数的运算性质、指数幂的运算性质化简计算即得；（2）①利用三角诱导公式和同角的基本关系式化简已知式求得，再根据角的象限确定值；②将所求的弦的二次齐次式通过构造分母化弦为切即得；（3）利用二倍角公式化单角为半角，再逆用二倍角公式，最后根据角的范围去掉根号，化简即得.【详解】（1）．（2）由题意可得：①，即是第三象限角，．②是第三象限角，，（3）由，原式．19已知函数．（1）求的图象的对称中心、对称轴、单调递增区间；（2）当时，求的最值．（3）当时，关于的不等式有解，求实数的取值范围．【答案】（1）对称中心为，对称轴方程为，单调递增区间为（2）最小值为；最大值为2（3）【分析】（1）根据三角恒等变换化简的表达式，结合正弦函数的性质，即可求得答案；（2）由，确定，结合正弦函数的最值，即可求得答案；（3）化简，参变分离，可得，换元，即令，则求在上的最小值，即可求得答案.【小问1详解】由题意，得函数，令，解得，所以函数的对称中心为；令，解得，所以函数的对称轴方程为；由，得，所以的单调递增区间为.【小问2详解】当时，，所以，当即时，函数取得最小值为；当即时，函数取得最大值为2；【小问3详解】由题意得时，有解，而此时，即有解，只需要即可，，，令，则在上单调递减，所以当时，，即，所以.【点睛】方法点睛：（1）本题第三问考查恒成立或有解问题，一般方法是转化为函数的最值问题解决；（2）参变分离，当参数的系数的正负确定时，一般可采用分离参数的方法，然后可构造函数，解决问题.20.某创业团队拟生产A、B两种产品，根据市场预测，A产品的利润与投资额成正比（如图1），B产品的利润与投资额的算术平方根成正比（如图2），（注：利润与投资额的单位均为万元）（1）分别将A、B两种产品的利润、表示为投资额x的函数；（2）该团队已筹集到10万元资金，并打算全部投入A、B两种产品的生产，问：当B产品的投资额为多少万元时，生产A、B两种产品能获得最大利润，最大利润为多少？【答案】（1），（2）6.25万元，4.0625万元【分析】（1）设，，代入点的坐标，求出解析式；（2）设B产品的投资额为x万元，创业团队获得的利润为y万元，列出，换元后，配方得到时，y取得最大值4.0625.【小问1详解】因为A产品的利润与投资额成正比，故设，将代入，解得：，故，因为B产品的利润与投资额的算术平方根成正比，故设，