高二数学高效课堂资料平面的法向量(用)

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市实验中学数学组3.2.2平面的法向量与平面的向量表示高中数学选修2－1沈阳二中1.直线与平面垂直的定义

2.平面的法向量：

如果向量

的基线与平面垂直，则向量叫平面

的法向量。几点注意：1.法向量一定是非零向量;2.一个平面的所有法向量都互相平行;3.向量是平面的法向量，向量与平面平行或在平面内，则有A给定一点A和一个向量,那么过点A,以向量为法向量的平面是完全确定的.l3.平面的向量表示：

练：已知平面α内有一个点M(1,－1,2)，平面α的一个法向量是

＝(6,－3,6)，则下列点P中在平面α内的是(

)A．P(2,3,3)B．P(－2,0,1)C．P(－4,4,0)D．P(3,－3,4)A4.两平面平行或重合、垂直的充要条件

例1、设平面α的法向量为(1,2,－2),平面β的法向量为(－2,－4,k),

若α//β，则k=

；若α⊥β,则k=

。4－51、已知l//α，且l的方向向量为(2,m,1)，平面α的法向量为(1,,2),则m=

.－82、已知l⊥α，且l的方向向量为(2,1,m),平面α的法向量为(1,,2),则m=

.4练习待定系数法例2．已知点A(a，0，0)，B(0，b，0)，C(0，0，c)，其中abc≠0，如图，求平面ABC的一个法向量。=(bc，ac，ab)6.有关平面的斜线概念，三垂线定理及其逆定理P104什么叫平面的斜线、垂线、射影？

如果aα,a⊥AO，思考a与PO的位置关系如何？∪aAPoαPO是平面α的斜线,O为斜足;PA是平面α的垂线,A为垂足;AO是PO在平面α内的射影.

三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。证明：如图,已知:求证：在直线l上取向量,只要证为三垂线定理

在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。三垂线定理的逆定理：

三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。PaAoα1、三垂线定理描述的是PO(斜线)、AO(射影)、a(直线)之间的垂直关系。2、a与PO可以相交，也可以异面。3、三垂线定理的实质是平面的一条斜线和平面内的一条直线垂直的判定定理。对三垂线定理的说明：三垂线定理4、三垂线定理的图形是由“四线一面”五个部件组成——垂线、斜线、射影、面内一线、平面

关于三垂线定的应用：关键是找出平面(基准面)及垂线。至于射影则是由垂足、斜足来确定的，因而是第二位的。第一、定平面(基准面)第二、找平面垂线（电线杆）

第三、看斜线，射影可见第四、证明直线a垂直于射影线，从而得出a与b垂直。

强调：1°四线是相对同一个平面而言。2°定理的关键是找“基准面”和“电线杆”。三垂线定的作用：用来证线线垂直（例：课后巩固1）变式：求证：A1D1C1B1ACBDFE证明:设正方体的棱长为1,建立如图的空间直角坐标系xyzA1D1C1B1ACBDFE小结1.直线与平面垂直的定义

2.平面的法向量：

3.平面的向量表示：

4.两平面平行或重合、垂直的充要条件

6.有关平面的斜线概念，三垂线定理及其逆定理P104巩固性训练11.设分别是直线l1,l2的方向向量,根据下列条件,判断l1,l2的位置关系.平行垂直平行巩固性训练21.设分别是平面α,β的法向量,根据下列条件,判断α,β的位置关系.垂直平行相交1、设平面的法向量为(1,2,-2),平面的法向量为(-2,-4,k),若，则k=

；若则k=

。2、已知，且的方向向量为(2,m,1)，平面的法向量为(1,1/2,2),则m=

.3、若的方向向量为(2,1,m),平面的法向量为(1,1/2,2),且，则m=

.巩固性训练31．如图，正方体中，

E为的中点，证明：//平面AEC练习:用空间向量来解决下列题目2、在正方体AC

中，E、F、G、P、

Q、R分别是所在棱AB、BC、BB

A

D

、D

C

、DD的中点，求证：⑴平面PQR∥平面EFG。

⑵BD

⊥平面EFGABCDA

B