人教版高中数学选修2-1第一章《充要条件》教材梳理

疱丁巧解牛知识·巧学1.如果A成立，那么B成立，即AB，就称条件A是B成立的充分条件.也就是说，为使B成立，具备条件A就足够了.2.如果B成立，那么A成立，即BA，就称条件A是B成立的必要条件.也就是说，要使B成立，就必须A成立.3.如果既有AB，又有BA，即如果有AB，那么从AB可知A是B成立的充分条件，又从BA可知A是B成立的必要条件，就称A是B成立的充分而且必要条件，简称充要条件.关键词分析若AB，则A是B成立的充要条件，显然B也是A成立的充要条件.“充要条件”与“原命题、逆命题、否命题、逆否命题”紧密相关.为此，只要“原命题、逆命题”皆成立，即证明了充要条件.要点提示充要条件反应了条件和结论间的因果关系，在结合具体问题判断时，要注意以下几点：①确定命题的条件和结论分别是什么；②确定条件是结论的什么条件；③要证明命题的条件是充要的，就是既要证明原命题成立，又要证明它的逆命题成立.证明原命题即证明条件的充分性，证明逆命题即证明条件的必要性.问题·探究问题生活中的一些名言名句与充要条件的关系.（1）骄兵必败;（2）有志者事竟成;（3）明师出高徒;（4）春回大地，万物复苏;（5）玉不琢不成器;（6）蜡炬成灰泪始干探究:充要条件这个数学概念与人们日常生活中的推理判断密切相关，从数学的角度重新审视生活中的名言名句，体现了数学知识源自生产生活实际，是人类文化的结晶这一特点.当然，生活语言不可能像数学命题一样准确，只要推断能在某种前提或某个角度下合乎情理，就应该肯定，答案应该是开放的，关键是要“学会数学地思维”.逻辑学不同于通常的数学习题和数学问题，具有浓郁的文化气息.逻辑学可以教会人们从正反两个方面来看待一句话或一个问题.数学无处不在，学习数学可以养成严谨、求实的思维习惯.典题·热题例1已知h>0,设命题甲为:两个实数a、b满足|a-b|<2h,命题乙为:两个实数a、b满足|a-1|<h且|b-1|<h,那么（）A.甲是乙的充分条件,但不是乙的必要条件B.甲是乙的必要条件,但不是乙的充分条件C.甲是乙的充分必要条件D.甲不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件思路分析：在判定充要条件时,应利用充要条件的定义.另外要结合绝对值不等式的性质|a|-|b|<|a-b|<|a|+|b|.因|a-1|<h且|b-1|<h,所以得到由①-②,得-2h<a-b<2h|a-b|<2h,即由命题乙成立可推出命题甲成立.所以甲是乙的必要条件.由于|a-2|<h且|b-2|<h,同理也可得|a-b|<2h,因此,命题甲成立不能确定命题乙一定成立,所以甲不是乙的充分条件.答案：B方法归纳①证明否定结论时可以举一个反例即可.②由命题乙成立推出命题甲成立时还可证明如下:由性质|a-b|<|a|+|b|，则|a-b|=|（a-1）-（b-1）|<|a-1|+|b-1|<h+h=2h.例2是的什么条件？并说明理由.思路分析：需要考虑两个方面，即由条件是否能推出结论，由结论是否能推出条件，推不出的举反例即可.解：由得但反之不成立.不妨取α=1,β=5,显然满足但不满足,即由定义（即箭头方向）可知，是的必要但不充分条件.方法归纳证明否定结论时可以举一个反例即可.例3求关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件.思路分析：求充要条件一般从必要性入手找条件，即从已知方程ax2+2x+1=0至少有一个负实根入手，此题是二次方程根的分布讨论问题.解：（1）a=0时适合.（2）当a≠0时,显然方程没有零根,若方程有两异号的实根,则a<0；若方程有两个负的实根,则必须满足解得0<a≤1.综上,若方程至少有一个负的实根,则a≤1；反之,若a≤1,则方程至少有一个负的实根.因此,关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件是a≤1.方法归纳①a=0的情况不要忽视;②若令f（x）=ax2+2x+1,由于f（0）=1≠0,从而排除了方程有一个负根,另一个根为零的情形.变式方法本题还可从问题的反面考虑，即方程无负根的a的取值范围，然后求其补集.例4设x,y∈R，求证：|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy≥0.思路分析：证明充要条件要证明两个方面即有充分性和必要性.证明:充分性：如果xy=0,那么，①x=0,y≠0;②x≠0,y=0;③x=0,y=0.于是|x+y|=|x|+|y|.如果xy>0,即x>0,y>0或x<0,y<0,当x>0,y>0时，|x+y|=x+y=|x|+|y|;当x<0,y<0时，|x+y|=-x-y=（-x）+（-y）=|x|+|y|.总之，当xy≥0时，|x+y|=|x|+|y|.必要性：由|x+y|=|x|+|y|及x,y∈R,得（x+y）2=（|x|+|y|）2,即x2+2xy+y2=x2+2|xy|+y2.