山东专用2025版高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用第九讲函数与方程学案含解析

PAGE13-第九讲函数与方程ZHISHISHULISHUANGJIZICE学问梳理·双基自测eq\x(知)eq\x(识)eq\x(梳)eq\x(理)学问点一函数的零点1．函数零点的定义对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．注：函数的零点不是点．是函数f(x)与x轴交点的横坐标，而不是y＝f(x)与x轴的交点．2．几个等价关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点.3．函数零点的判定(零点存在性定理)假如函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连绵不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)＜0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．学问点二二分法1．对于在区间[a，b]上连绵不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步靠近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．2．给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：(1)确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0，给定精确度ε；(2)求区间(a，b)的中点c；(3)计算f(c)；①若f(c)＝0，则c就是函数的零点；②若f(a)·f(c)<0，则令b＝c(此时零点x0∈(a，c))；③若f(c)·f(b)<0，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b))．(4)推断是否达到精确度ε，即：若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复(2)(3)(4)．eq\x(重)eq\x(要)eq\x(结)eq\x(论)1．有关函数零点的结论(1)若连绵不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．(2)连绵不断的函数，其相邻两个零点之间的全部函数值保持同号．(3)连绵不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．(4)由函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点不肯定能推出f(a)·f(b)<0，如图所示．所以f(a)·f(b)<0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件．事实上，只有当函数图象通过零点(不是偶个零点)时，函数值才变号，即相邻两个零点之间的函数值同号．(5)若函数f(x)在[a，b]上单调，且f(x)的图象是连绵不断的一条曲线，则f(a)·f(b)<0⇒函数f(x)在[a，b]上只有一个零点．2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系Δ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与x轴的交点(x1,0)，(x2,0)(x1,0)无交点零点个数两个零点一个零点无零点eq\x(双)eq\x(基)eq\x(自)eq\x(测)题组一走出误区1．(多选题)下列结论不正确的是(ABCD)A．函数的零点就是函数的图象与x轴的交点B．函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连绵不断)，则f(a)·f(b)<0C．若f(x)在区间[a，b]上连绵不断，且f(a)·f(b)>0，则f(x)在(a，b)内没有零点D．函数y＝2x与y＝x2只有两个交点[解析]A．函数的零点是函数图象与x轴交点的横坐标．B．函数图象若没有穿过x轴，则f(a)·f(b)>0.C．若在区间[a，b]内有多个零点，f(a)·f(b)>0也可以．D．y＝x2与y＝2x在y轴左侧一个交点y轴右侧两个交点，如在x＝2和x＝4处都有交点．故选A、B、C、D．题组二走进教材2．(必修1P92AT2改编)已知函数f(x)的图象是连绵不断的，且有如下对应值表：x12345f(x)－4－2147在下列区间中，函数f(x)必有零点的区间为(B)A．(1,2) B．(2,3)C．(3,4) D．(4,5)[解析]由所给的函数值的表格可以看出，x＝2与x＝3这两个数字对应的函数值的符号不同，即f(2)·f(3)<0，所以函数在(2,3)内有零点，故选B．3．(必修1P92AT1改编)下列函数图象与x轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是(C)[解析]A，B图中零点两侧不异号，D图不连续．故选C．4．(必修1P92AT4改编)为了求函数f(x)＝2x＋3x－7的一个零点，某同学利用计算器得到自变量x和函数f(x)的部分对应值(精确度0.1)如下表所示：x1.251.31251.3751.43751.51.5625f(x)－0.8716－0.5788－0.28130.21010.328430.64115则方程2x＋3x＝7的近似解(精确到0.1)可取为(C)A．1.32 B．1.39C．1.4 D．1.3[解析]通过上述表格得知函数唯一的零点x0在区间(1.375,1.4375)内，故选C．题组三考题再现5．(2024·安徽，5分)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是(A)A．y＝cosx B．y＝sinxC．y＝lnx D．y＝x2＋1[解析]y＝cosx是偶函数且有多数多个零点，y＝sinx为奇函数，y＝lnx既不是奇函数也不是偶函数，y＝x2＋1是偶函数但没有零点，故选A．6．(2024·全国卷Ⅲ，5分)函数f(x)＝2sinx－sin2x在[0,2π]的零点个数为(B)A．2 B．3C．4 D．5[解析]f(x)＝2sinx－2sinxcosx＝2sinx(1－cosx)，令f(x)＝0，则sinx＝0或cosx＝1，所以x＝kπ(k∈Z)，又x∈[0,2π]，所以x＝0或x＝π或x＝2π.故选B．KAODIANTUPOHUDONGTANJIU考点突破·互动探究考点一函数的零点考向1确定函数零点所在区间——自主练透例1(1)若函数f(x)的图象是连绵不断的，且f(0)>0，f(1)·f(2)·f(4)<0，则下列命题正确的是(D)A．函数f(x)在区间(0,1)内有零点B．函数f(x)在区间(1,2)内有零点C．函数f(x)在区间(0,2)内有零点D．函数f(x)在区间(0,4)内有零点(2)(多选题)若a<b<c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)·(x－c)＋(x－c)(x－a)的零点位于区间可能为(BC)A．(－∞，a) B．(a，b)C．(b，c) D．(c，＋∞)[解析](1)因为f(1)·f(2)·f(4)<0，所以f(1)、f(2)、f(4)中至少有一个小于0.若f(1)<0，则在(0,1)内有零点，在(0,4)内必有零点；若f(2)<0，则在(0,2)内有零点，在(0,4)内必有零点；若f(4)<0，则在(0,4)内有零点．故选D．(2)易知f(a)＝(a－b)(a－c)，f(b)＝(b－c)(b－a)，f(c)＝(c－a)(c－b)．又a<b<c，则f(a)>0，f(b)<0，f(c)>0，又该函数是二次函数，且图象开口向上，可知两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内，故选B、C．名师点拨☞确定函数零点所在区间的方法(1)解方程法：当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，然后再看求得的根是否落在给定区间上．(2)利用函数零点的存在性定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．(3)数形结合法：通过画函数图象，视察图象与x轴在给定区间上是否有交点来推断．考向2函数零点个数的确定——师生共研例2(1)(2024·课标Ⅲ，15)函数f(x)＝cos(3x＋eq\f(π,6))在[0，π]的零点个数为3.(2)(2024·云南昆明一中摸底)若函数f(x)＝|x|，则函数y＝f(x)－eqlog\s\do8(\f(1,2))|x|的零点个数是(D)A．5个 B．4个C．3个 D．2个(3)(2024·江淮十校联考)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5|x－1|－1，x≥0,x2＋4x＋4，x<0))，则关于x的方程f2(x)－5f(x)＋4＝0的实数根的个数为(D)A．2 B．3C．6 D．7[分析] 画出函数图象，结合图象确定零点的个数，若方程f(x)＝0可解，也可干脆解方程求解．[解析](1)本题考查函数与方程．令f(x)＝0，得cos(3x＋eq\f(π,6))＝0，解得x＝eq\f(kπ,3)＋eq\f(π,9)(k∈Z)．当k＝0时，x＝eq\f(π,9)；当k＝1时，x＝eq\f(4π,9)；当k＝2时，x＝eq\f(7π,9)，又x∈[0，π]，所以满意要求的零点有3个．(2)在同一坐标系中作出f(x)＝|x|、g(x)＝eqlog\s\do8(\f(1,2))|x|的图象，由图可知选D．(3)解法一：由f2(x)－5f(x)＋4＝0得f(x)＝1或4.若f(x)＝1，当x≥0时，即5|x－1|－1＝1，5|x－1|＝2解得x＝1±log52，当x<0时，即x2＋4x＋3＝0，解得x＝－1或－3.若f(x)＝4，当x≥0时，5|x－1|－1＝4，|x－1|＝1解得x＝0或2，当x<0时即x2＋4x＝0，解得x＝－4.故所求实根个数共有7个．解法二：由f2(x)－5f(x)＋4＝0得f(x)＝1或4.由f(x)图象可知：f(x)＝1有4个根，f(x)＝4有3个根．∴方程f2(x)－5f(x)＋4＝0有7个根．名师点拨☞函数零点个数的判定有下列几种方法(1)干脆求零点：令f(x)＝0，假如能求出解，那么有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用该定理不仅要求函数在[a，b]上是连续的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必需结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点．(3)数形结合法：利用函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的个数，从而判定零点的个数，或转化为两个函数图象交点个数问题．画两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．〔变式训练1〕(1)函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－2，x≤0，,2x－6＋lnx，x>0))的零点个数是2.(2)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝ex＋x－3，则f(x)的零点个数为(C)A．1 B．2C．3 D．4[解析](1)x2－2＝0，解得x＝±eq\r(2)，∵x<0，∴x＝－eq\r(2)，2x－6＋lnx＝0，设y＝lnx，y＝6－2x，分别画函数图象(图略)可得一个交点，故原函数有两个零点．(2)f(x)＝ex＋x－3在(0，＋∞)上为增函数，f(eq\f(1,2))＝eeq\s\up7(\f(1,2))－eq\f(5,2)<0，f(1)＝e－2>0，∴f(x)在(0，＋∞)上只有一个零点，由奇函数性质得f(x)在(－∞，0)上也有一个零点，又f(0)＝0，所以f(x)有三个零点，故选C．考向3函数零点的应用——多维探究角度1与零点有关的比较大小例3已知函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝x－eqlog\s\do8(\f(1,2))x，h(x)＝log2x－eq\r(x)的零点分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系为(D)A．x1>x2>x3 B．x2>x1>x3C．x1>x3>x2 D．x3>x2>x1[解析]由f(x)＝2x＋x＝0，g(x)＝x－eqlog\s\do8(\f(1,2))x＝0，h(x)＝log2x－eq\r(x)＝0，得2x＝－x，x＝eqlog\s\do8(\f(1,2))x，log2x＝eq\r(x)，在平面直角坐标系中分别作出y＝2x与y＝－x的图象；y＝x与y＝eqlog\s\do8(\f(1,2))x的图象；y＝log2x与y＝eq\r(x)的图象，由图可知：－1<x1<0,0<x2<1，x3>1.所以x3>x2>x1.角度2已知函数的零点或方程的根求参数例4(2024·天津，5分)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2\r(x)，0≤x≤1，,\f(1,x)，x>1.))若关于x的方程f(x)＝－eq\f(1,4)x＋a(a∈R)恰有两个互异的实数解，则a的取值范围为(D)A．[eq\f(5,4)，eq\f(9,4)] B．(eq\f(5,4)，eq\f(9,4)]C．(eq\f(5,4)，eq\f(9,4)]∪{1} D．[eq\f(5,4)，eq\f(9,4)]∪{1}[解析]由题意画出f(x)的图象，如图所示，当直线y＝－eq\f(1,4)x＋a与曲线y＝eq\f(1,x)(x>1)相切时，方程eq\f(1,x)＝－eq\f(1,4)x＋a有一个解，x2－4ax＋4＝0，Δ＝(－4a)2－4×4＝0，得a＝1，此时f(x)＝－eq\f(1,4)x＋a有两个互异的实数解．当直线y＝－eq\f(1,4)x＋a经过点(1,2)时，即2＝－eq\f(1,4)×1＋a，所以a＝eq\f(9,4)，当直线y＝－eq\f(1,4)x＋a经过点(1,1)时，1＝－eq\f(1,4)×1＋a，得a＝eq\f(5,4)，从图象可以看出当a∈[eq\f(5,4)，eq\f(9,4)]时，函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2\r(x)，0≤x≤1，,\f(1,x)，x>1))的图象与直线y＝－eq\f(1,4)x＋a有两个交点，即方程f(x)＝－eq\f(1,4)x＋a有两个互异的实数解．故选D．名师点拨☞1．比较零点大小常用方法：(1)确定零点取值范围，进而比较大小；(2)数形结合法．2．已知函数有零点(方程有根)求参数值常用的方法和思路：(1)干脆法：干脆求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；(2)分别参数法：先将参数分别，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后视察求解．〔变式训练2〕(1)(角度1)(2024·安徽蚌埠月考)已知函数f(x)＝3x＋x，g(x)＝log3x＋x，h(x)＝x3＋x的零点依次为a，b，c，则a，b，c的大小关系为(B)A．a<b<c B．a<c<bC．a>b>c D．c>a>b(2)(角度2)(2024·课标Ⅰ，9)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ex，x≤0，,lnx，x>0，))g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则实数a的取值范围是(C)A．[－1,0) B．[0，＋∞)C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞)[分析](1)解法一：依据零点存在定理，确定a，b，c所在区间，进而比较大小；解法二：分别作出y＝3x、y＝log3x、y＝x3与y＝－x的图象，比较其交点横坐标的大小即可．[解析](1)解法一：∵f(－1)＝3－1－1＝－eq\f(2,3)，f(0)＝1，∴a∈(－eq\f(2,3)，0)，又g(eq\f(1,3))＝log3eq\f(1,3)＋eq\f(1,3)＝－eq\f(2,3)，g(1)＝1，∴b∈(eq\f(1,3)，1)，明显c＝0，∴a<c<b，故选B．解法二：数形结合法，在同一坐标系中分别作出y＝3x、y＝log3x、y＝－x的图象，结合图象及c＝0可知a<c<b，故选B．(2)本题主要考查函数的零点及函数的图象．g(x)＝f(x)＋x＋a存在2个零点等价于函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ex，x≤0，,lnx，x>0))与h(x)＝－x－a的图象存在2个交点，当x＝0时，h(0)＝－a，由图可知要满意y＝f(x)与y＝h(x)的图象存在2个交点，须要－a≤1，即a≥－1.故选C．考点二二分法及其应用——自主练透例5(1)用二分法探讨函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经计算f(0)<0，f(0.5)>0，可得其中一个零点x0∈(0,0.5)，其次次应计算f(0.25).(2)在用二分法求方程x3－2x－1＝0的一个近似解时，现在已经将根锁定在区间(1,2)内，则下一步可判定该根所在的区间为(eq\f(3,2)，2).(3)在用二分法求方程x2＝2的正实数根的近似解(精确度0.001)时，若我们选取初始区间是[1.4,1.5]，则要达到精确度要求至少须要计算的次数是7.[解析](1)因为f(0)<0，f(0.5)>0，由二分法原理得一个零点x0∈(0,0.5)；其次次应计算f(eq\f(0＋0.5,2))＝f(0.25)．(2)区间(1,2)的中点x0＝eq\f(3,2)，令f(x)＝x3－2x－1，f(eq\f(3,2))＝eq\f(27,8)－4<0，f(2)＝8－4－1>0，则根所在区间为(eq\f(3,2)，2)．(3)设至少须要计算n次，由题意知eq\f(1.5－1.4,2n)<0.001，即2n>100.由26＝64,27＝128，知n＝7.名师点拨☞1．用二分法求函数零点的方法：定区间，找中点，中值计算两边看，同号去，异号算，零点落在异号间．周而复始怎么办？精确度上来推断．2．利用二分法求近似解需留意的问题(1)在第一步中：①区间长度尽量小；②f(a)，f(b)的值比较简单计算且f(a)·f(b)<0；(2)依据函数的零点与相应方程根的关系，求函数的零点与相应方程的根是等价的．(3)虽然二分法未单独考过，但有可能像算法中的“更相减损术”一样，嵌入到程序框图中去考查．

MINGSHIJIANGTANSUYANGTISHENG名师讲坛·素养提升函数零点的综合问题例6(2024·安徽淮南第一次模拟)已知函数f(x)的图象，若函数g(x)＝[f(x)]2－kf(x)＋1恰有4个零点，则实数k的取值范围是(B)A．(－∞，－2)∪(2，＋∞) B．(eq\f(4,e2)＋eq\f(e2,4)，＋∞)C．(eq\f(8,e2)，2) D．(2，eq\f(4,e2)＋eq\f(e2,4))(2)(2024·山西五校联考)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2x，x≤0,－x2＋x，x>0))，若函数g(x)＝f(x)－a恰有三个互不相同的零点x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是(A)A．(－eq\f(1,32)，0) B．(－eq\f(1,16)，0)C．(0，eq\f(1,32)) D．(0，eq\f(1,16))[解析](1)∵g(x)＝[f(x)]2－kf(x)＋1恰有4个零点，∴关于t的方程t2－kt＋1＝0在(0，eq\f(4,e2))上有1个解，在(eq\f(4,e2)，＋∞)∪{0}上有1解，明显t＝0不是方程t2－kt＋1＝0的解，∴关于t的方程t2－kt＋1＝0在(0，eq\f(4,e2))和(eq\f(4,e2)，＋∞)上各有1个解，∴eq\f(16,e4)－eq\f(4k,e2)＋1<0，解得k>eq\f(4,e2)＋eq\f(e2,4).故选B．(2)解法一：明显x≤0时，－2x＝a，有一根不妨记为x1，则x1＝－eq\f(a,2)(a≥0)，当x>0时－x2＋x＝a即x2－x＋a＝0有两个不等正根，不妨记为x2，x3，则Δ＝1－4a>0，即a<eq\f(1,4)，从而－a2∈(－eq\f(1,16)，0)且x2x3＝a.∴x1x