山东专用2025版高考数学一轮复习练案62第九章计数原理概率随机变量及其分布第一讲分类加法计数原理与分步乘法计数原理含解析

PAGE5-[练案62]第九章计数原理、概率、随机变量及其分布第一讲分类加法计数原理与分步乘法计数原理A组基础巩固一、单选题1．小王有70元钱，现有面值分别为20元和30元的两种IC电话卡．若他至少买一张，则不同的买法共有(A)A．7种 B．8种C．6种 D．9种[解析]要完成的“一件事”是“至少买一张IC电话卡”，分3类完成：买1张IC卡、买2张IC卡、买3张IC卡，而每一类都能独立完成“至少买一张IC电话卡”这件事．买1张IC卡有2种方法，买2张IC卡有3种方法，买3张IC卡有2种方法．不同的买法共有2＋3＋2＝7种．2．(2024·四川广安、眉山、内江、遂宁诊断)某地环保部门召集6家企业的负责人座谈，其中甲企业有2人到会，其余5家企业各有1人到会，会上有3人发言，则发言的3人来自3家不同企业的可能状况的种数为(B)A．15 B．30C．35 D．42[解析]发言的3人来自3家不同企业且含甲企业的人的状况有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,5)＝20(种)；发言的3人来自3家不同企业且不含甲企业的人的状况有Ceq\o\al(3,5)＝10(种)．所以发言的3人来自3家不同企业的可能状况共有20＋10＝30(种)，故选B.3．(2024·辽宁省大连市模拟)把标号为1,2,3,4的四个小球分别放入标号为1,2,3,4的四个盒子中，每个盒子只放一个小球，则1号球不放入1号盒子的方法共有(A)A．18种 B．9种C．6种 D．3种[解析]第一步：放1号球，有Ceq\o\al(1,3)＝3种方法；其次步：将剩余三个球分别放入剩余的三个盒子，有Aeq\o\al(3,3)＝6种方法；故符合题意的放法共有3×6＝18种．故选A.4．(2024·河南南阳二模)如图所示2×2方格，在每一个方格中填入一个数字，数字可以是1,2,3,4中的任何一个，允许重复．若填入A方格的数字大于B方格的数字，则不同的填法共有(C)ABCDA.192种 B．128种C．96种 D．12种[解析]依据题意，对于A，B两个方格，可在1,2,3,4中任选2个，大的放进A方格，小的放进B方格，有Ceq\o\al(2,4)＝6(种)状况，对于C，D两个方格，每个方格有4种填法，则共有4×4＝16(种)状况，则不同的填法共有16×6＝96(种)，故选C.5．(2024·金华模拟)将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有(A)A．12种 B．18种C．24种 D．36种[解析]由分步乘法计数原理，先排第一列，有Aeq\o\al(3,3)种方法，再排其次列，有2种方法，故共有Aeq\o\al(3,3)×2＝12种排列方法，选A.6．(2024·四川模拟)从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lga－lgb的不同值的个数是(C)A．9 B．10C．18 D．20[解析]lga－lgb＝lgeq\f(a,b)，从1,3,5,7,9中任取两个数分别记为a，b，共有Aeq\o\al(2,5)＝20种结果，其中lgeq\f(1,3)＝lgeq\f(3,9)，lgeq\f(3,1)＝lgeq\f(9,3)，故共可得到不同值的个数为20－2＝18.故选C.7．(2024·合肥模拟)在某校实行的羽毛球两人决赛中，采纳5局3胜制的竞赛规则，先赢3局者获胜，直到决出输赢为止．若甲、乙两名同学参与竞赛，则全部可能出现的情形(个人输赢局次的不同视为不怜悯形)共有(D)A．6种 B．12种C．18种 D．20种[解析]分三种状况：恰好打3局(一人赢3局)，有2种情形；恰好打4局(一人前3局中赢2局，输1局，第4局赢)，共有2×3＝6种情形；恰好打5局(一个前4局中赢2局，输2局，第5局赢)，共有2×eq\f(4×3,2)＝12种情形．全部可能出现的情形共有2＋6＋12＝20种．故选D.8．(2024·定州期末)将“福”“禄”“寿”填入到如图所示的4×4小方格中，每格内只填入一个汉字，且随意的两个汉字即不同行也不同列，则不同的填写方法有(C)A.288种 B．144种C．576种 D．96种[解析]依题意可分为以下3步：(1)先从16个格子中任选一格放入第一个汉字，有16种方法；(2)随意的两个汉字即不同行也不同列，其次个汉字只有9个格子可以放，有9种方法；(3)第三个汉字只有4个格子可以放，有4种方法．依据分步乘法计数原理可得不同的填写方法有16×9×4＝576(种)．9．(2024·河北省唐山市一中冲刺)某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4为挚友，每位挚友1本，则不同的赠送方法共有(B)A．4种 B．10种C．18种 D．20种[解析]分两种状况：①选2本画册，2本集邮册送给4位挚友，有Ceq\o\al(2,4)＝6种方法；②选1本画册，3本集邮册送给4位挚友，有Ceq\o\al(1,4)＝4种方法，所以不同的赠送方法共有6＋4＝10(种)．10．现支配一份5天的工作值班表，每天有一个人值日，共有5个人，每个人都可以值多天或不值班，但相邻两天不能同一个人值班，则此值日表共有多少种不同的排法．(B)A．1080 B．1280C．1440 D．2560[解析]完成一件事是支配值日表，因而需一天一天地排，用分步计数原理，分步进行：第一天有5种不同排法，其次天不能与第一天已排的人相同，所以有4种不同排法，依次类推，第三、四、五天都有4种不同排法，所以共有5×4×4×4×4＝1280种不同的排法．二、多选题11．(原创)下列说法正确的是(BCD)A．将4封信投入到3个信箱中，共有64种不同的投法B．4只相同的小球放入3个不同的盒子，共有12种不同放法C．五名学生争夺四项竞赛的冠军(冠军不并列)，则获得冠军的可能性有54种D．用0,1，……，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为252[解析]第1封信可以投入3个信箱中的随意一个，有3种投法；同理，第2,3,4封信各有3种投法．依据分步乘法计数原理，共有3×3×3×3＝34＝81种投法．故A错；将4个小球放入一个盒子有3种方法，将3个小球放入一个盒子，另1小球放另一只盒子有3×2＝6种放法，将2个小球放入一个盒子，另2小球放另一只盒子有3种放法，故共有12种放法，B正确；五名学生争夺四项竞赛的冠军，可对4个冠军逐一落实，每个冠军有5种获得的可能性，共有54种获得冠军的可能性．故C正确．用0,1,2，…，9共能组成9×10×10＝900(个)三位数，其中无重复数字的三位数有9×9×8＝648(个)，∴有重复数字的三位数有900－648＝252(个)．故D正确．三、填空题12．(2024·山东模拟)某元宵灯谜竞猜节目，有6名守擂选手和6名复活选手，从复活选手中选择一名选手为攻擂者，从守擂选手中选择1名选手为守擂者，则攻擂者、守擂者的不同构成方式共有__36__种．[解析]从6名守擂选手中选1名，选法有Ceq\o\al(1,6)＝6种；复活选手中选择1名选手，选法有Ceq\o\al(1,6)种．由分步乘法计数原理，不同的构成方式共有6×6＝36种．13．从正方体的6个表面中取3个面，使其中两个面没有公共点，则共有__12__种不同的取法．[解析]分两步完成这件事，第一步取两个平行平面，有3种取法；其次步再取另外一个平面，有4种取法，由分步计数原理共有3×4＝12种取法．14．(2024·柳州模拟)4张卡片的正、反面分别写有0与1,2与3,4与5,6与7，将其中3张卡片排放在一起，可组成__168__个不同的三位数．[解析]要组成三位数，依据首位、十位、个位应分三步：第一步：首位可放8－1＝7个数；其次步：十位可放6个数；第三步：个位可放4个数．故由分步计数原理，得共可组成7×6×4＝168个不同的三位数．15．(2024·辽宁省大连市模拟)甲、乙等五名志愿者被安排到上海世博会中国馆、英国馆、澳大利亚馆、俄罗斯馆四个不同的岗位服务，每个岗位至少一名志愿者，则甲、乙两人各自独立担当一个岗位工作的分法共有__72__种．(用数字作答)[解析]由题意知本题是一个分步计数问题，设5个志愿者为甲、乙、丙、丁、戊．甲在中国馆、英国馆、澳大利亚馆、俄罗斯馆四个地方选一个，有4种选择，乙在剩下的3个地方选一个，有3种选择，丙、丁、戊三人只能选择剩下的两个地方，每人有2个选择，总共有2×2×2＝8种，这8种里要去掉3个人都选择同一个地方的状况，即8－2＝6，∴方法数为4×3×6＝72种．B组实力提升1．(2024·贵阳模拟)现有2门不同的考试要支配在5天之内进行，每天最多进行一门考试，且不能连续两天有考试，那么不同的考试支配方案种数是(A)A．12 B．6C．8 D．16[解析]不同的考试支配方案共有Aeq\o\al(2,4)＝12(种)．2.(2024·江西省萍乡市模拟)如图，给7条线段的5个端点染色，要求同一条线段的两个端点不能同色，现有4种不同的颜色可供选择，则不同的染色方法种数有(C)A．24 B．48C．96 D．120[解析]由表知不同的涂色方法共有4×3×2×1×(2＋2)＝96(种)，故选C.端点ABECD涂法432与A同色12与A不同色123．(2024·滨州模拟)2024年部分省市起先实行“3＋1＋2”高考模式，现有甲、乙两人从4门课程中选考2门，则甲、乙所选考的课程中恰有1门相同的选法有__24__种．[解析]分步完成：第一步，甲、乙选考同一门课程有4种方法；其次步，甲从剩余的3门课程选考一门有3种方法；第三步，乙从剩余的2门中选考一门课程有2种方法；所以甲、乙两人恰好选考同一门课程的选法有4×3×2＝24(种)．4．(2024·辽阳模拟)编号为A，B，C，D，E的五个小球放在如图所示的五个盒子里，要求每个盒子只能放一个小球，且A球不能放在4号，5号，B球必需放在与A球相邻的盒子中，则不同的放法的种数为__30__.[解析]依据A球所在的位置可分三类：(1)若A球放在1号盒子内，则B球只能放在2号盒子内，余下的三个盒子放C，D，E球，有3×2×1＝6种不同的放法．(2)若A球放在3号盒内时，