2025年高考数学复习热搜题速递之平面向量及其应用（2024年7月）

第1页（共1页）2025年高考数学复习热搜题速递之平面向量及其应用（2024年7月）一．选择题（共10小题）1．在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB→A．34AB→-14AC→ B．12．已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则PA→•（PBA．﹣2 B．-32 C．-433．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinB+sinA（sinC﹣cosC）＝0，a＝2，c=2，则CA．π12 B．π6 C．π4 4．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC的面积为a2+bA．π2 B．π3 C．π4 5．已知非零向量a→，b→满足|a→|＝2|b→|，且（a→-bA．π6 B．π3 C．2π36．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知a=5，c＝2，cosA=23A．2 B．3 C．2 D．37．在△ABC中，cosC2=55，BC＝1，AC＝A．42 B．30 C．29 D．258．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知asinA﹣bsinB＝4csinC，cosA=-14A．6 B．5 C．4 D．39．设非零向量a→，b→满足|a→+b→A．a→⊥b→ B．|a→|＝|b→| C．a→∥b→ D．|10．已知向量a→=（1，m），b→=（3，﹣2），且（a→A．﹣8 B．﹣6 C．6 D．8二．填空题（共5小题）11．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知bsinC+csinB＝4asinBsinC，b2+c2﹣a2＝8，则△ABC的面积为．12．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcosB＝acosC+ccosA，则B＝．13．已知向量a→，b→的夹角为60°，|a→|＝2，|b→|＝1，则|a→+2b14．已知向量a→=（1，2），b→=（2，﹣2），c→=（1，λ）．若c→∥（2a15．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA=45，cosC=513，a＝1，则b＝三．解答题（共5小题）16．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin（A+C）＝8sin2B2（1）求cosB；（2）若a+c＝6，△ABC的面积为2，求b．17．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为a2（1）求sinBsinC；（2）若6cosBcosC＝1，a＝3，求△ABC的周长．18．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）＝c．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c=7，△ABC的面积为33219．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c．已知asinA+C2=（1）求B；（2）若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围．20．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．设（sinB﹣sinC）2＝sin2A﹣sinBsinC．（1）求A；（2）若2a+b＝2c，求sinC．

2025年高考数学复习热搜题速递之平面向量及其应用（2024年7月）参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB→A．34AB→-14AC→ B．1【考点】平面向量的基本定理．【专题】方程思想；向量法；平面向量及应用．【答案】A【分析】运用向量的加减运算和向量中点的表示，计算可得所求向量．【解答】解：在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，EB→=AB→-=3故选：A．【点评】本题考查向量的加减运算和向量中点表示，考查运算能力，属于基础题．2．已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则PA→•（PBA．﹣2 B．-32 C．-43【考点】平面向量数量积的性质及其运算．【专题】数形结合；转化法；平面向量及应用．【答案】B【分析】根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法结合向量数量积的公式进行计算即可．【解答】解：建立如图所示的坐标系，以BC中点为坐标原点，则A（0，3），B（﹣1，0），C（1，0），设P（x，y），则PA→=（﹣x，3-y），PB→=（﹣1﹣x，﹣y），PC→=则PA→•（PB→+PC→）＝2x2﹣23y+2y2＝2[x2+（y∴当x＝0，y=32时，取得最小值2×（-3方法2：取BC的中点M，AM的中点N，则，PA→⋅(PB→+PC→)=当且仅当P与N重合时，取得等号．故选：B．【点评】本题主要考查平面向量数量积的应用，根据条件建立坐标系，利用坐标法是解决本题的关键．3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinB+sinA（sinC﹣cosC）＝0，a＝2，c=2，则CA．π12 B．π6 C．π4 【考点】正弦定理．【专题】计算题；转化思想；定义法；三角函数的求值；解三角形；数学运算．【答案】B【分析】根据诱导公式和两角和的正弦公式以及正弦定理计算即可【解答】解：sinB＝sin（A+C）＝sinAcosC+cosAsinC，∵sinB+sinA（sinC﹣cosC）＝0，∴sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC﹣sinAcosC＝0，∴cosAsinC+sinAsinC＝0，∵sinC≠0，∴cosA＝﹣sinA，∴tanA＝﹣1，∵π2＜A＜∴A=3由正弦定理可得csinC∴sinC=csinA∵a＝2，c=2∴sinC=csinA∵a＞c，∴C=π故选：B．【点评】本题考查了诱导公式和两角和的正弦公式以及正弦定理，属于基础题4．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC的面积为a2+bA．π2 B．π3 C．π4 【考点】余弦定理．【专题】计算题；转化思想；综合法；解三角形．【答案】C【分析】推导出S△ABC=12absinC=a2+【解答】解：∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．△ABC的面积为a2∴S△ABC=1∴sinC=a2+∵0＜C＜π，∴C=π故选：C．【点评】本题考查三角形内角的求法，考查余弦定理、三角形面积公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．5．已知非零向量a→，b→满足|a→|＝2|b→|，且（a→-bA．π6 B．π3 C．2π3【考点】数量积表示两个平面向量的夹角；平面向量数量积的性质及其运算．【专题】转化思想；向量法；平面向量及应用．【答案】B【分析】由（a→-b→）⊥b→【解答】解：∵（a→-b∴(=|∴cos=|∵＜a∴＜a故选：B．【点评】本题考查了平面向量的数量积和向量的夹角，属基础题．6．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知a=5，c＝2，cosA=23A．2 B．3 C．2 D．3【考点】余弦定理．【专题】计算题；转化思想；转化法；解三角形．【答案】D【分析】由余弦定理可得cosA=b2+c2-a22bc，利用已知整理可得3b2【解答】解：∵a=5，c＝2，cosA=∴由余弦定理可得：cosA=23=b2+c2-a22∴解得：b＝3或-1故选：D．【点评】本题主要考查了余弦定理，一元二次方程的解法在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．7．在△ABC中，cosC2=55，BC＝1，AC＝A．42 B．30 C．29 D．25【考点】余弦定理．【专题】计算题；转化思想；综合法；解三角形．【答案】A【分析】利用二倍角公式求出C的余弦函数值，利用余弦定理转化求解即可．【解答】解：在△ABC中，cosC2=55，cosCBC＝1，AC＝5，则AB=BC2故选：A．【点评】本题考查余弦定理的应用，考查三角形的解法以及计算能力．8．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知asinA﹣bsinB＝4csinC，cosA=-14A．6 B．5 C．4 D．3【考点】利用正弦定理解三角形．【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；逻辑推理．【答案】A【分析】利用正弦定理和余弦定理列出方程组，能求出结果．【解答】解：∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，asinA﹣bsinB＝4csinC，cosA=-∴由正弦定理得：a2解得3c2=1∴bc=故选：A．【点评】本题考查了正弦定理、余弦定理、三角函数性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．设非零向量a→，b→满足|a→+b→A．a→⊥b→ B．|a→|＝|b→| C．a→∥b→ D．|【考点】平面向量数量积的性质及其运算；数量积判断两个平面向量的垂直关系；平面向量的概念与平面向量的模；平面向量的相等与共线．【专题】计算题；方程思想；定义法；平面向量及应用．【答案】A【分析】由已知得(a→+b→)【解答】解：∵非零向量a→，b→满足|a→+b→∴(aa→4a解得a→⋅∴a→故选：A．【点评】本题考查两个向量的关系的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意向量的模的性质的合理运用．10．已知向量a→=（1，m），b→=（3，﹣2），且（a→A．﹣8 B．﹣6 C．6 D．8【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；平面向量数量积的性质及其运算．【专题】计算题；转化思想；转化法；平面向量及应用．【答案】D【分析】求出向量a→+b【解答】解：∵向量a→=（1，m），b→=（∴a→+b→=（4又∵（a→+b∴12﹣2（m﹣2）＝0，解得：m＝8，故选：D．【点评】本题考查的知识点是向量垂直的充要条件，难度不大，属于基础题．二．填空题（共5小题）11．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知bsinC+csinB＝4asinBsinC，b2+c2﹣a2＝8，则△ABC的面积为233【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】转化思想；三角函数的求值；解三角形．【答案】见试题解答内容【分析】直接利用正弦定理求出A的值，进一步利用余弦定理求出bc的值，最后求出三角形的面积．【解答】解：△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．bsinC+csinB＝4asinBsinC，利用正弦定理可得sinBsinC+sinCsinB＝4sinAsinBsinC，由于0＜B＜π，0＜C＜π，所以sinBsinC≠0，所以sinA=1则A=由于b2+c2﹣a2＝8，则：cosA=①当A=π6时，解得bc=8所以S△②当A=5π6解得bc=-故：S△故答案为：23【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理和余弦定理的应用及三角形面积公式的应用．12．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcosB＝acosC+ccosA，则B＝π3【考点】正弦定理；三角函数中的恒等变换应用．【专题】计算题；转化思想；定义法；三角函数的求值；解三角形．【答案】见试题解答内容【分析】根据正弦定理和两角和的正弦公式和诱导公式计算即可【解答】解：∵2bcosB＝acosC+ccosA，由正弦定理可得，2cosBsinB＝sinAcosC+sinCcosA＝sin（A+C）＝sinB，∵sinB≠0，∴cosB=1∵0＜B＜π，∴B=π故答案为：π【点评】本题考查了正弦定理和两角和的正弦公式和诱导公式，属于基础题13．已知向量a→，b→的夹角为60°，|a→|＝2，|b→|＝1，则|a→+2b→【考点】平面向量数量积的性质及其运算．【专题】数形结合；定义法；平面向量及应用．【答案】见试题解答内容【分析】根据平面向量的数量积求出模长即可．【解答】解：【解法一】向量a→，b→的夹角为60°，且|a→|＝2，|b→∴(a→+2b→)＝22+4×2×1×cos60°+4×12＝12，∴|a→+2b→|＝【解法二】根据题意画出图形，如图所示；结合图形OC→=OA在△OAC中，由余弦定理得|OC→|=22即|a→+2b→|＝故答案为：23．【点评】本题考查了平面向量的数量积的应用问题，解题时应利用数量积求出模长，是基础题．14．已知向量a→=（1，2），b→=（2，﹣2），c→=（1，λ）．若c→∥（2a【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量的相等与共线．【专题】计算题；方程思想；定义法；平面向量及应用．【答案】见试题解答内容【分析】利用向量坐标运算法则求出2a→+b→=（【解答】解：∵向量a→=（1，2），b→=（∴2a→+b→∵c→=（1，λ），c→∥（∴14解得λ=1故答案为：12【点评】本题考查实数值的求法，考查向量坐标运算法则、向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．15．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA=45，cosC=513，a＝1，则b＝【考点】解三角形．【专题】方程思想；分析法；三角函数的求值；解三角形．【答案】见试题解答内容【分析】运用同角的平方关系可得sinA，sinC，再由诱导公式和两角和的正弦公式，可得sinB，运用正弦定理可得b=asinB【解答】解：由cosA=45，cosCsinA=1-sinC=1-sinB＝sin（A+C）＝sinAcosC+cosAsinC=3由正弦定理可得b==1×故答案为：2113【点评】本题考查正弦定理的运用，同时考查两角和的正弦公式和诱导公式，以及同角的平方关系的运用，考查运算能力，属于中档题．三．解答题（共5小题）16．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin（A+C）＝8sin2B2（1）求cosB；（2）若a+c＝6，△ABC的面积为2，求b．【考点】正弦定理；二倍角的三角函数．【专题】计算题；转化思想；转化法；解三角形．【答案】见试题解答内容【分析】（1）利用三角形的内角和定理可知A+C＝π﹣B，再利用诱导公式化简sin（A+C），利用降幂公式化简8sin2B2，结合sin2B+cos2B＝1，求出cosB（2）由（1）可知sinB=817，利用三角形的面积公式求出ac，再利用余弦定理即可求出【解答】解：（1）sin（A+C）＝8sin2B2∴sinB＝4（1﹣cosB），∵sin2B+cos2B＝1，∴16（1﹣cosB）2+cos2B＝1，∴16（1﹣cosB）2+cos2B﹣1＝0，∴16（cosB﹣1）2+（cosB﹣1）（cosB+1）＝0，∴（17cosB﹣15）（cosB﹣1）＝0，∴cosB=15（2）由（1）可知sinB=8∵S△ABC=12ac•sinB＝∴ac=17∴b2＝a2+c2﹣2accosB＝a2+c2﹣2×＝a2+c2﹣15＝（a+c）2﹣2ac﹣15＝36﹣17﹣15＝4，∴b＝2．【点评】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的面积公式，二倍角公式和同角的三角函数的关系，属于中档题17．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为a2（1）求sinBsinC；（2）若6cosBcosC＝1，a＝3，求△ABC的周长．【考点】正弦定理；余弦定理．【专题】计算题；函数思想；转化法；三角函数的求值；解三角形．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据三角形面积公式和正弦定理可得答案，（2）根据两角余弦公式可得cosA=12，即可求出A=π3，再根据正弦定理可得bc＝8，根据余弦定理即可求出【解答】解：（1）由三角形的面积公式可得S△ABC=12acsinB∴3csinBsinA＝2a，由正弦定理可得3sinCsinBsinA＝2sinA，∵sinA≠0，∴sinBsinC=2（2）∵6cosBcosC＝1，∴cosBcosC=1∴cosBcosC﹣sinBsinC=1∴cos（B+C）=-∴cosA=1∵0＜A＜π，∴A=π∵asinA=bsinB=c∴sinBsinC=b2R∴bc＝8，∵a2＝b2+c2﹣2bccosA，∴b2+c2﹣bc＝9，∴（b+c）2＝9+3cb＝9+24＝33，∴b+c=∴周长a+b+c＝3+33【点评】本题考查了三角形的面积公式和两角和的余弦公式和诱导公式和正弦定理余弦定理，考查了学生的运算能力，属于中档题．18．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）＝c．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c=7，△ABC的面积为332【考点】正弦定理；余弦定理．【专题】综合题；转化思想；综合法；解三角形．【答案】见试题解答内容【分析】（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，根据sinC不为0求出cosC的值，即可确定出C的度数；（2）利用余弦定理列出关系式，利用三角形面积公式列出关系式，求出a+b的值，即可求△ABC的周长．【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC中，0＜C＜π，∴sinC≠0已知等式利用正弦定理化简得：2cosC（sinAcosB+sinBcosA）＝sinC，整理得：2cosCsin（A+B）＝sinC，即2cosCsin（π﹣（A+B））＝sinC2cosCsinC＝sinC∴cosC=1∴C=π（Ⅱ）由余弦定理得7＝a2+b2﹣2ab•12∴（a+b）2﹣3ab＝7，∵S=12absinC=3∴ab＝6，∴（a+b）2﹣18＝7，∴a+b＝5，∴△ABC的周长为5+7【点评】此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及三角函数的恒等变形，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．19．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c．已知asinA+C2=（1）求B；（2）若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围．【考点】正弦定理．【专题】方程思想；分析法；三角函数的求值；解三角形．【答案】见试题解答内容【分析】（1）运用三角函数的诱导公式和二倍角公式，以及正弦定理，计算可得所求角；（2）运用余弦定理可得b，由三角形ABC为锐角三角形，可得a2+a2﹣a+1＞1且1+a2﹣a+1＞a2，求得a的范围，由三角形的面积公式，可得所求范围．【解答】解：（1）asinA+C2=bsinA，即为asinπ-B2可得sinAcosB2=sinBsinA＝2sinB2cosB∵sinA＞0，∴cosB2=2sinB2若cosB2=0，可得B＝（2k+1）π，k∈∴sinB2由0＜B＜π，可得B=π（2）若△ABC为锐角三角形，且c＝1，由余弦定理可得b=a由三角形ABC为锐角三角形，可得a2+a2﹣a+1＞1且1+a2﹣a+1＞a2，且1+a2＞a2﹣a+1，解得12＜a＜可得△ABC面积S=12a•sinπ3=34a【点评】本题考查三角形的正弦定理和余弦定理、面积公式的运用，考查三角函数的恒等变换，以及化简运算能力，属于中档题．20．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．设（sinB﹣sinC）2＝sin2A﹣sinBsinC．（1）求A；（2）若2a+b＝2c，求sinC．【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；逻辑推理．【答案】见试题解答内容【分析】（1）由正弦定理得：b2+c2﹣a2＝bc，再由余弦定理能求出A．（2）由已知及正弦定理可得：sin（C-π6）=2【解答】解：（1）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．∵（sinB﹣sinC）2＝sin2A﹣sinBsinC．∴sin2B+sin2C﹣2sinBsinC＝sin2A﹣sinBsinC，∴由正弦定理得：b2+c2﹣a2＝bc，∴cosA=b∵0＜A＜π，∴A=π（2）∵2a+b＝2c，A=π∴由正弦定理得2sinA∴6解得sin（C-π6）∴C-π6=π∵0＜C＜2π3，∴∴sinC＝sin（π4+π6）＝sinπ4cosπ【点评】本题考查了正弦定理、余弦定理、三角函数性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

考点卡片1．二倍角的三角函数【知识点的认识】二倍角的正弦其实属于正弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：sin2α＝2sinα•cosα；其可拓展为1+sin2α＝（sinα+cosα）2．二倍角的余弦其实属于余弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α．二倍角的正切其实属于正切函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：tan2α=2【解题方法点拨】例：y＝sin2x+2sinxcosx的周期是π．解：∵y＝sin2x+2sinxcosx=1-cos＝sin2x-12cos2=52sin（2x+φ）+12，（∴其周期T=2π故答案为：π．这个简单的例题的第二个式子就是一个二倍角的转换，转换过后又使用了和差化积的相关定理，这也可以看得出三角函数的题一般都涉及到几个公式，而且公式之间具有一定的相似性，所以大家要熟记各种公式．【命题方向】本考点也是一个很重要的考点，在高考中考查的也比较多，这里面需要各位同学多加练习，熟记各种公式．2．三角函数中的恒等变换应用【知识点的认识】1．同角三角函数的基本关系（1）平方关系：sin2α+cos2α＝1．（2）商数关系：sinαcosα=tan2．诱导公式公式一：sin（α+2kπ）＝sinα，cos（α+2kπ）＝cosα，tan（α+2kπ）＝tanα，其中k∈Z．公式二：sin（π+α）＝﹣sinα，cos（π+α）＝﹣cosα，tan（π+α）＝tanα．公式三：sin（﹣α）＝﹣sinα，cos（﹣α）＝cosα，tan（﹣α）＝﹣tanα．公式四：sin（π﹣α）＝sinα，cos（π﹣α）＝﹣cosα，tan（π﹣α）＝﹣tanα．公式五：sin（π2-α）＝cosα，cos（π2-α）＝sinα，tan（π2公式六：sin（π2+α）＝cosα，cos（π2+α）＝﹣sinα，tan（π23．两角和与差的正弦、余弦、正切公式（1）C（α﹣β）：cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；（5）T（α+β）：tan（α+β）=tanα（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）=tanα4．二倍角的正弦、余弦、正切公式（1）S2α：sin2α＝2sinαcosα；（2）C2α：cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α；（3）T2α：tan2α=23．平面向量的概念与平面向量的模【知识点的认识】向量概念既有大小又有方向的量叫做向量（如物理中的矢量：速度、加速度、力），只有大小没有方向的量叫做数量（物理中的标量：身高、体重、年龄）．在数学中我们把向量的大小叫做向量的模，这是一个标量．向量的几何表示用有向线段表示向量，有向线段的长度表示有向向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向．即用表示有向线段的起点、终点的字母表示，例如AB→、BC→，…字母表示，用小写字母a→、b→，…表示．有向向量的长度为模，表示为|AB→|、|向量的模AB→的大小，也就是AB→的长度（或称模），记作|AB零向量长度为零的向量叫做零向量，记作0→，零向量的长度为0单位向量长度为一个单位长度的向量叫做单位向量AB→（与AB→共线的单位向量是相等向量长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性．4．平面向量的相等与共线【知识点的认识】相等向量的定义：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量．共线向量的定义：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，平行向量也叫做共线向量．规定：零向量与任一向量平行．注意：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等．表示共线向量的有向线段不一定在同一直线上，向量可以平移．【解题方法点拨】平行向量与相等向量的关系：（1）平行向量只要求方向相同或相反即可，用有向线段表示平行向量时，向量所在的直线重合或平行；（2）平行向量要求两个向量均为非零向量，规定：零向量与任一向量平行．相等向量则没有这个限制，零向量与零向量相等．（3）借助相等向量，可以把一组平行向量移动到同一直线上．因此，平行向量也叫做共线向量．（4）平行向量不一定是相等向量，但相等向量一定是平行向量．【命题方向】了解向量的实际背景，掌握向量、零向量、平行向量、共线向量、相等向量、单位向量等概念，理解向量的几何表示．命题形式只要以选择、填空题型出现，难度不大，有时候会与向量的坐标运算等其它知识结合考察．5．平面向量数量积的性质及其运算【知识点的认识】1、平面向量数量积的重要性质：设a→，b→都是非零向量，e→是与b→方向相同的单位向量，a→（1）a→⋅e→=（2）a→⊥b→（3）当a→，b→方向相同时，a→⋅b→=|a→||b→|；当a→特别地：a→⋅a→=|a→|2（4）cosθ=a（5）|a→⋅b→|≤|2、平面向量数量积的运算律（1）交换律：a→（2）数乘向量的结合律：（λa→）•b→=λ（a→⋅（3）分配律：（a→⋅b→）•平面向量数量积的运算平面向量数量积运算的一般定理为①（a→±b→）2=a→2±2a→•b→+b→2．②（a→-b→）（a→+b→）=【解题方法点拨】例：由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：①“mn＝nm”类比得到“a→②“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（a→+b③“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”类比得到“c→≠0，④“|m•n|＝|m|•|n|”类比得到“|a→⋅b→|＝|a→|⑤“（m•n）t＝m（n•t）”类比得到“（a→⋅b⑥“acbc=ab”类比得到a→⋅解：∵向量的数量积满足交换律，∴“mn＝nm”类比得到“a→即①正确；∵向量的数量积满足分配律，∴“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（a→+b即②正确；∵向量的数量积不满足消元律，∴“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”不能类比得到“c→≠0，即③错误；∵|a→⋅b→|≠|a→|∴“|m•n|＝|m|•|n|”不能类比得到“|a→⋅b→|＝|a→|即④错误；∵向量的数量积不满足结合律，∴“（m•n）t＝m（n•t）”不能类比得到“（a→⋅b即⑤错误；∵向量的数量积不满足消元律，∴acbc=ab即⑥错误．故答案为：①②．向量的数量积满足交换律，由“mn＝nm”类比得到“a→⋅b→=b→⋅a→”；向量的数量积满足分配律，故“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（a→+b→）•c→=a→⋅c→+b→⋅c→”；向量的数量积不满足消元律，故“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”不能类比得到“c→≠0，a→⋅c→=b→⋅c→⇒a→=c→”；|a→⋅b→|≠|a→|•【命题方向】本知识点应该所有考生都要掌握，这个知识点和三角函数联系比较多，也是一个常考点，题目相对来说也不难，所以是拿分的考点，希望大家都掌握．6．平面向量的基本定理【知识点的认识】1、平面向量基本定理内容：如果e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内任一a→，有且仅有一对实数λ1、λ2，使a2、基底：不共线的e1、e2叫做平面内表示所有向量的一组基底．3、说明：（1）基底向量肯定是非零向量，且基底并不唯一，只要不共线就行．（2）由定理可将任一向量按基底方向分解且分解形成唯一．7．平面向量共线（平行）的坐标表示【知识点的认识】平面向量共线（平行）的坐标表示：设a→=（x1，y1），b→=（x2，y2），则b→∥a→（a→≠0→）⇔x18．数量积表示两个平面向量的夹角【知识点的认识】我们知道向量是有方向的，也知道向量是可以平行的或者共线的，那么，当两条向量a→与b→不平行时，那么它们就会有一个夹角θ，并且还有这样的公式：cosθ【解题方法点拨】例：复数z=3+i与它的共轭复数z对应的两个向量的夹角为60解：zz=3+i3∴复数z=3+i与它的共轭复数z对应的两个向量的夹角为故答案为：60°．点评：这是个向量与复数相结合的题，本题其实可以换成是用向量（3，1）与向量（3，﹣1）的夹角．【命题方向】这是向量里面非常重要的一个公式，也是一个常考点，出题方式一般喜欢与其他的考点结合起来，比方说复数、三角函数等，希望大家认真掌握．9．数量积判断两个平面向量的垂直关系【知识点的认识】向量是有方向的，那么在一个空间内，不同的向量可能是平行，也可能是重合，也有可能是相交．当两条向量的方向互相垂直的时候，我们就说这两条向量垂直．假如a→=（1，0，1），b→=（2，0，﹣2），那么a→与b→垂直，有a→•b→=1×【解题方法点拨】例：与向量(-35A：（3，﹣4）B：（﹣4，3）C：（4，3）D：（4，﹣3）解：对于A：∵(-35，45)•（3，﹣4）对于B：∵(-35，45)•（﹣4，3对于C：∵(-35，45)•（4，3对于D：∵(-35，45)•（4，﹣3故选：C．点评：分别求出向量(-35，45)和A，B，C【命题方向】向量垂直是比较喜欢考的一个点，主要性质就是垂直的向量积为0，希望大家熟记这个关系并灵活运用．10．正弦定理【知识点的认识】1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容asinA=（R是△ABC外接圆半径）a2＝b2+c2﹣2bccosA，b2＝a2+c2﹣2accosB，c2＝a2+b2﹣2abcosC变形形式①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；②sinA=a2R，sinB=b2③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinAcosA=bcosB=acosC=解决三角形的问题①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝bsinAbsinA＜a＜ba≥ba＞b解的个数一解两解一解一解由上表可知，当A为锐角时，a＜bsinA，无解．当A为钝角或直角时，a≤b，无解．2、三角形常用面积公式1．S=12a•ha（ha表示边2．S=12absinC=12acsinB=3．S=12r（a+b+c）（【解题方法点拨】正余弦定理的应用1、解直角三角形的基本元素．2、判断三角形的形状．3、解决与面积有关的问题．4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．解题关键在于明确：①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．（2）测量高度问题：解题思路：①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间