2024-2025学年度苏科版八年级上期数学期末复习之一次函数新定义综合问题讲义-

20242025学年度苏科版八年级上期数学期末复习之一次函数新定义综合问题一、概念一次函数的一般式为y=kx+b（k，b为常数，k≠0），它的图象是一条直线。当b=0时，y=kx为正比例函数，是特殊的一次函数。二、新定义题型特点1.给定新规则题目会创设一个全新的概念、运算规则或者函数性质描述等，这些新定义往往是基于已有的一次函数知识但又有所拓展或改变。例如，定义一种“伴随函数”，规定对于一次函数y=kx+b，然后围绕这个新定义的伴随函数提出相关问题，像让你比较原函数与伴随函数图象的差异、根据伴随函数的某些性质求原函数中的参数等。2.整合多知识点通常会将一次函数新定义与其他数学知识相结合，比如与几何图形（直线与坐标轴围成的三角形面积、两条直线的位置关系如平行、垂直等）、方程（通过函数值相等构建方程求解自变量等）、不等式（根据函数图象位置确定自变量取值范围使不等式成立）等知识点融合在一起考查。例如，定义了一个新的一次函数关系后，要求求出该函数图象与x轴、y轴所围成三角形面积不超过某个值时参数的取值范围，这里就涉及到一次函数图象性质以及三角形面积公式的运用。3.考查思维与应用能力重点在于考查学生对新知识的理解能力、知识迁移能力以及灵活运用所学知识解决新情境问题的逻辑思维能力。由于是新定义，学生不能单纯依靠死记硬背已有的公式和常规解题套路，而是要先读懂并把握新定义的内涵，然后尝试运用类比、转化等思维方法把新问题转化为熟悉的一次函数相关问题去求解。三、常见的新定义类型1.函数变换类定义对一次函数进行某种变换后得到新函数，如上述提到的伴随函数是对系数取绝对值的变换；还有像关于x轴、y轴、原点对称的变换，给定一次函数y=kx+b，它关于x轴对称的函数为y'=kxb，关于y轴对称的函数是y'=kx+b，关于原点对称的函数为y'=kxb。然后围绕变换后的新函数考查其图象特征、性质以及与原函数的关联等内容。2.特殊性质定义类规定一次函数具备某种特殊性质，例如定义“友好函数”，当一次函数y=kx+b（k>0）的图象与直线y=x的夹角为30^{\circ}时，称其为友好函数，接着要求根据这个性质确定函数中的参数k、b的值或者探讨友好函数图象经过某些特殊点的情况等。3.函数关联定义类将一次函数与其他数学元素建立特殊联系进行定义，比如定义“关联函数”，考查根据两点坐标求关联函数表达式以及关联函数在几何图形中的应用等问题。四、解题技巧1.理解新定义仔细研读题目中给出的新定义内容，明确其具体规则、要求以及涉及的关键要素，对于一些抽象的定义，可以通过举例的方式帮助自己更好地理解，比如按照新定义的规则自己找几个简单的一次函数去尝试操作一下，看看会得到什么样的结果。2.转化问题把基于新定义提出的问题转化为用已学的一次函数知识能够解决的常规问题，例如新定义的函数与某直线平行，那就根据两直线平行斜率相等（一次函数中k值相等）这个已学的知识点来构建方程或不等式求解相关参数。3.求解作答运用一次函数的图象性质、解析式求解方法等知识进行计算、推理，得出最终答案，并按照题目要求规范书写解答过程，注意对参数取值范围等情况进行准确判断和完整表述。总之，一次函数新定义问题是对一次函数知识的深化和拓展考查，需要学生在扎实掌握基础知识的前提下，培养创新思维和灵活运用知识的能力来应对这类题型。典例一：在平面直角坐标系中，作如下定义；点的坐标为x1,y1，点的坐标为x2,y2，若，则称、两点为“同和点”．如图①，点、(1)若点的坐标为．①在点，、中，是点的“同和点”的是________．（填“C”、“D”或“E”）②若点在轴上，且、两点为“同和点”，则点的坐标为________．(2)如图②，直线与轴、轴分别交于点、，点为线段上一动点．①若点与点为“同和点”，则点的坐标为________．②若存在点与点为“同和点”，求的取值范围．【答案】(1)①E②(2)①②【分析】本题是一次函数综合题，考查了一次函数的性质，理解“同和点"的定义并运用是解题的关键；（1）由同和点的定义可求解；由同和点的定义可求解；（2）由同和点的定义，列出等式可求解；由同和点的定义，列出等式可得．【详解】（1）①∵点的坐标为∴∵点，、∴∴点的“同和点”的是E②点在轴上，且、两点为“同和点”，∴（2）∵直线与轴、轴分别交于点、，当时，；当时，∴∵点与点为“同和点”，设∴∴∴点的坐标为设∵点与点为“同和点”，∴∴∵点为线段上一动点∴∴典例二：定义:对于一次函数,我们称函数为函数的“友好函数”.(1)若,试判断函数是否为函数的“友好函数”,并说明理由;(2)设函数与的图象相交于点M.①若,点M在函数的“友好函数”图象的上方,求p的取值范围;②若,函数的“友好函数”图象经过点M,是否存在大小确定的m值,对于不等于2的任意实数p,都有“友好函数”图象与x轴交点Q的位置不变?若存在,请求出m的值及此时点Q的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】(1)函数是函数的“友好函数”，理由见解析(2)①;②,【分析】此题考查了一次函数的图象和性质,弄懂“友好函数”的定义是解题的关键.(1)根据定义进行判断即可;(2)①求出点的坐标为,再求出函数的“友好函数”,根据点在函数的“友好函数”图象的上方得到,整理后根据即可得到p的取值范围;②将点的坐标代入“友好函数”得到由得到将代入“友好函数”得到,把代入得到解得,进一步即可求出定点Q的坐标.【详解】（1）解：是函数的“友好函数”,理由:由函数的“友好函数”为:把代入上式,得,函数是函数的“友好函数”;（2）解:①解方程组得,函数与的图象相交于点,点的坐标为的“友好函数”为点在函数的“友好函数”图象的上方,整理得,的取值范围为;②存在,理由如下:函数的“友好函数”图象经过点.将点的坐标代入“友好函数”,得将代入,把代入,得解得:当,则,对于不等于2的任意实数,存在“友好函数”图象与轴交点的位置不变.一、单选题1．定义新运算：，例如：，则下列关于函数的说法正确的是（

）A．点在函数图象上B．图象经过第一、三、四象限C．函数图象与轴的交点为D．若点、在函数图象上，则【答案】A【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．先根据题目所给新定义，得出该函数的解析式，再根据一次函数的性质即可解答．【详解】解：根据题意可得：，A、把代入得，∴点在函数图象上，故A正确，符合题意；B、∵，∴图象经过第一、二、三象限，故B不正确，不符合题意；C、把代入得，解得，∴函数图象与轴的交点为，故C不正确，不符合题意；D、∵，∴y随x的增大而增大，∵点、在函数图象上，，∴，故D不正确，不符合题意；故选：A．2．新定义：是一次函数（，a，b为实数）的“关联数”．若“关联数”是的一次函数是正比例函数，则点所在的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】本题考查了正比例函数，判断点所在的象限以及新定义；根据“关联数”是的一次函数是正比例函数，得出，得出，再代入，分别计算，即可作答．【详解】解：∵“关联数”是的一次函数是正比例函数，∴∴则∴在第二象限故选：B3．定义：点为平面直角坐标系内的点，若满足，则把点A叫做“零点”，例如都是“零点”．当时，直线上有“零点”，则m的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查一次函数与图象的关系，掌握待定系数法及转化思想是解题的关键．由题意：当时，直线上有“零点”，所以直线与线段有交点，求出直线经过A、B两点时m的值即可判断．【详解】解：由题意得：直线与线段有交点，其中，当直线经过时，，当直线经过时，，∴m的取值范围为：，故选：B．4．对于实数，我们定义符号的意义为：当时，；当时，．例如：．若关于x的函数为，则该函数的最小值是（

）A． B．0 C．5 D．7【答案】C【分析】本题考查一次函数，联立与成方程组，通过解方程组找出交点坐标，再根据的意义即可得出函数的最小值．【详解】解：联立与得，解得，当时，，；当时，，；综上可知，该函数的最小值是5，故选C．5．定义一种新运算：，例如：，，给出下列说法：①；②若，则或4；③的解集为或；④若函数的图象与直线（m为常数）只有1个交点，则．以上说法中正确的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根据新定义，分类计算判断即可．【详解】因为，且，所以，故①正确；当即时，，解得符合题意；当即时，，所以与矛盾，不合题意，所以②错误；当即时，，解得，所以不等式的解集是；当即时，，解得，所以不等式的解集是；综上，不等式的解集为或；所以③正确；当即时，，当即时，函数图象如下，当函数图象与直线（m为常数）只有1个交点，则．

所以④正确；正确的结论有①③④，共三个，故选C．【点睛】本题考查了新定义运算、一元一次不等式和一次函数的图象和性质，正确新定义的内涵是解题的关键．6．定义：对于给定的一次函数（a，b为常数，且），把形如的函数称为一次函数的“衍生函数”，已知一次函数，若点在这个一次函数的“衍生函数”图象上，则m的值是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，根据“衍生函数”的定义，找出一次函数的“衍生函数”是解题的关键．找出一次函数的“衍生函数”，再利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出m的值．【详解】解：由定义知，一次函数的“衍生函数”为，∵点在一次函数的“衍生函数”图象上，∴．故选：D．7．现定义一种新的距离：对于平面直角坐标系内的点，，将称作P、Q两点间的“拐距”，记作，即，已知点，动点B在直线上，横坐标为，当取得最小值时，应满足的条件是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】此题考查了新定义，用到了一次函数的性质、一元一次不等式的应用等知识，先求出，根据m的取值范围分三种情况进行讨论即可得到答案.【详解】解：∵动点B在直线上，横坐标为m，∴点B的坐标为，∵点A的坐标为∴，当时，，当时，，当时，，∴当取得最小值时，应满足的条件是，故选：C8．定义：平面直角坐标系中，若点A到x轴、y轴的距离和为2，则称点A为“和二点”．例如：点到x轴、y轴距离和为2，则点B是“和二点”，点也是“和二点”．一次函数的图象l经过点，且图象l上存在“和二点”，则k的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查一次函数图象及性质．取连，取点P，轴轴，垂直分别为，可得均为等腰直角三角形，从而得为等腰直角三角形进而得，继而得到线上的点为“成双点”，线上的点为“成双点”，可得到当一次函数的图象与线或线有交点时，一次函数的图象上存在“成双点”，再分别求出当一次函数的图象经过点E时，当一次函数的图象经过点G时，k的值，即可求解．【详解】解：取连，取点P，轴轴，垂直分别为，∵，∴均为等腰直角三角形，∴，∴为等腰直角三角形，∴，∴，∴点是“成双点”，即线上的点为“成双点”，同理线上的点为“成双点”，∴当一次函数的图象与线或线有交点时，一次函数的图象上存在“成双点”，∵一次函数的图象l经过点，∴，解得：，∴一次函数解析式为，当一次函数的图象经过点E时，∴，解得：，当一次函数的图象经过点G时，∴，解得：，∴k的取值范围：，故选：D．9．在平面直角坐标系中，是坐标原点，定义点和点的关联值如下：若，，在一条直线上；若，，不在一条直线上．已知点坐标为，点坐标为，有下列结论：①；②若，，则点坐标为；③满足的点，都在一三象限角平分线和二四象限角平分线上；④若平面中任意一点满足，则满足条件的点的全体组成的图形面积为．其中，正确结论的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】本题考查坐标与图形、一次函数的应用，理解题中定义是解答的关键．根据三角形的面积公式结合坐标与图形求解即可．【详解】解：∵点坐标为，点坐标为，∴，，∴，故①正确；若，，则O、A、P共线，，∴，则，∴点P坐标为或，故②错误；若，则，设Px,y，∴，∴，即点P到坐标轴的距离不相等，故满足条件的点P，不在一三象限角平分线和二四象限角平分线上，故③错误；若平面中任意一点满足，设Px,y，则，即，∴，对于，当，时，，与x轴交点坐标为，与y轴的交点坐标为0,1；当，时，，与x轴交点坐标为，与y轴的交点坐标为0,1；当，时，，与x轴交点坐标为，与y轴的交点坐标为；当，时，，与x轴交点坐标为，与y轴的交点坐标为，在同一坐标系中画出它们的图象，如图，∴满足围起来的图形面积为，即满足条件的点的全体组成的图形面积为，故④正确，综上，正确的结论为①和④，故选：B．10．等腰中，，记，周长为y，定义为这个三角形的坐标，如图所示，直线将第一象限划分为4个区域．下面四个结论中，所有正确结论的序号是（

）①对于任意等腰，其坐标不可能位于区域Ⅰ中；②对于任意等腰，其坐标可能位于区域Ⅳ中③若是等腰直角三角形，其坐标位于区域Ⅲ中；④图中点M所对应的等腰三角形的底边比点N所对应的等腰三角形的底边要长．A．①③④ B．①②③ C．②③④ D．①④【答案】A【分析】设，则．根据，利用不等式的性质得出，即可判断①；根据三角形任意两边之和大于第三边，得出，利用不等式的性质得到，即可判断②；③根据等腰直角三角形的性质、不等式的性质得出，即可判断③；分别求出点、点所对应等腰三角形的底边范围，即可判断④．【详解】解：如图，等腰三角形中，，记，周长为，设，则，①∵，，∴对于任意等腰三角形，其坐标位于直线的上方，不可能位于区域I中，故结论①正确，符合题意；②∵三角形任意两边之和大于第三边，，即，，∴对于任意等腰三角形，其坐标位于直线的下方，不可能位于区域IV中，故结论②错误，不符合题意；③若三角形是等腰直角三角形，则，，，，即，∴若三角形是等腰直角三角形，其坐标位于区域III中，故结论③正确，符合题意；④由图可知，点位于区域III中，此时，，，点N位于区域Ⅱ中，此时，，，∴点所对应等腰三角形的底边比点所对应等腰三角形的底边长，故结论④正确，符合题意．故选：A．【点睛】本题是一次函数综合题，涉及到一次函数的图象与性质，三角形三边关系定理，等腰三角形、等腰直角三角形的性质，不等式的性质，难度适中．理解三角形的坐标的意义，利用数形结合思想是解题的关键．二、填空题11．定义为一次函数的特征数，若特征数为的一次函数为正比例函数，则为．【答案】【分析】本题考查了新定义、正比例函数的定义，熟练掌握正比例函数的定义是解题的关键．根据特征数的定义及正比例函数的定义，可得，，解方程即可求解．【详解】解：根据题意，特征数为的一次函数表达式为：，∵为正比例函数，∴，，解得：，故答案为：．12．定义：若，满足，为常数）且对，则称点为“妙点”，比如点．若函数的图象上的“妙点”在第三象限，则的取值范围为．【答案】且【分析】本题考查的是因式分解的应用，等式的基本性质，一次函数的交点问题，二元一次方程组与不等式组的关系，理解题意是解本题的关键．由“妙点”定义可得：，推出秒点的轨迹，可得，求解交点坐标，由“妙点”在第三象限得出不等式组，从而得解．【详解】解：∵，满足，为常数）且对，则称点为“妙点”，∴，∴，∵，∴，∴，解得：，∵函数的图象上的“妙点”在第三象限，∴，∴，∵，∴，解得：，∴且；故答案为：且．13．在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的“变换点”的坐标定义如下：当时，点坐标为；当时，点坐标为．线段上所有点的“变换点”组成一个新的图形，若直线与组成的新的图形有两个交点，则的取值范围是．【答案】【分析】本题考查新定义“变换点”，根据新定义确定分段函数，利用图像找出满足条件的点坐标，求函数值，列不等式，根据题意画出图形，确定变换分界点，根据条件，从直线的变动范围确定的取值范围，掌握新定义“变换点”，根据新定义确定分段函数，利用图像找出满足条件的点坐标，求函数值，列不等式是解题关键．【详解】解：当时，，解得：，∴分界点为点，如图，当时，线段变换后的线段的两个端点分别为，当时，线段变换后的线段的两个端点分别为，∵直线与组成的新的图形有两个交点，且直线过定点0,4，∴当直线过点A时，，此时；当直线过点B时，，此时；∴直线与组成的新的图形有两个交点，的取值范围是．故答案为：14．在平面直角坐标系中，对于点和给出如下定义：如果那么称点为点的“关联点”，例如：点的“关联点”为点，的“关联点”为点．（1）点的“关联点”为，则．（2）如果点是一次函数图象上点的“关联点”，那么点的坐标为．【答案】0或．【分析】此题主要考查一次函数的性质，解题的关键是熟知关联点的定义．（1）由关联点的定义可知，由可得出，再代入代数式计算即可．（2）由关联点的定义可知点P的坐标为或，分情况分别把和代入一次函数解析式，求出a的值，即可得出点P的坐标．【详解】解：（1）由“关联点”的定义可知：，∵，∴，∴，故答案为：0．（2）∵点是一次函数图象上点的“关联点”，∴点P的坐标为或，当点P的坐标为时，∵点P在一次函数图象上，∴，解得∶，∴点P的坐标为；当点P的坐标为时，∵点P在一次函数图象上，∴，解得∶，∴点P的坐标为，综上所述，点P的坐标为或，故答案为∶或．15．定义：在平面直角坐标系中，函数图象上到两坐标轴的距离之和等于的点，叫做该函数图象的“阶和点”．例如，为一次函数的“阶和点”．（1）若点是关于的正比例函数的“阶和点”，则；（2）若关于的一次函数的图象有且仅有个阶和点，则的取值范围为．【答案】【分析】本题主要考查了一次函数的图形与性质，一次函数图象上点的坐标的特征，待定系数法，（1）利用待定系数法和“阶和点”的定义即可求解；（2）利用一次函数的性质确定关于的一次函数的图象经过第一、三、四象限，再利用分类讨论的方法和“阶和点”的定义，求得的值，进而得到关于的不等式，解不等式求得的取值范围，再利用已知条件即可得出结论．【详解】解：（1）点是关于的正比例函数的点，，．点到两坐标轴的距离之和等于，点是关于的正比例函数的“阶和点”，．；故答案为：；（2）关于的一次函数的图象有且仅有个“阶和点”，一次函数的图象与以原点为中心，两对角线在坐标轴上，边长为的正方形有两个交点．由题意得：，，关于的一次函数的图象经过第一、三、四象限，①如图，当时，一次函数的图象经过，则，．，．关于的一次函数的图象有且仅有个“阶和点”，．②如图，当时，关于的一次函数的图象有且仅有个“阶和点”，∴综上，关于的一次函数的图象有且仅有个“阶和点”，的取值范围为．故答案为：．16．对某一个函数给出如下定义：若存在实数，对于这个函数的所有函数值y，都满足，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，图中的函数是有界函数，其边界值是1．函数的边界值为．若函数（，）的边界值是5，且这个函数的最大值也是5，则b的取值范围为．【答案】3【分析】本题考查了一次函数的图象与性质．理解题意，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．由，可知当时，；当时，；由边界值的定义可求函数的边界值；由（，）边界值是5，，函数的最大值是5，可知当时，；可求，当时，；则，计算求解即可．【详解】解：∵，∴当时，；当时，；∴由边界值的定义可知，函数的边界值为3；∵（，）边界值是5，，函数的最大值是5，∴当时，；解得，，当时，；∴，解得，，故答案为：3，．17．定义：对于给定的一次函数（a，b为常数，且），把形如的函数称为一次函数的“相对函数”．（1）若点在一次函数的“相对函数”图象上，则m的值是；（2）若点在一次函数的“相对函数”图象上，则n的值是．【答案】【分析】本题主要查了求函数值或自变量，理解新定义是解题的关键．（1）把代入解析式，即可求解；（2）分两种情况：当时，当时，即可求解．【详解】解：（1）根据题意得：；故答案为：（2）当时，，此时；当时，，此时；综上所述，n的值是．故答案为：18．定义：我们把一次函数与正比例函数的交点称为一次函数的“不动点”．例如求的“不动点”：联立方程，解得，则的“不动点”为，（1）由定义可知，一次函数的“不动点”为；（2）若直线与轴交于点，与轴交于点，且直线上没有“不动点”，若点为轴上一个动点，使得，求满足条件的P点坐标【答案】或【分析】本题是一次函数的综合题，理解定义，熟练掌握一次函数的图象及性质是解题的关键．（1）根据题意，联立，即可求解；（2）由题意可知直线与直线平行，则有，在求出，，设，由，可得，即可点坐标．【详解】解：（1）联立，解得，一次函数的“不动点”为，故答案为：；（2）直线上没有“不动点”，直线与直线平行，，，，，设，，，，，，或，或．故答案为：或三、解答题19．当、为两个不相等的常数，且时，定义一次函数与互为“友好函数”．如：与互为“友好函数”．(1)点在的“友好函数”的图象上，求的值；(2)若点既是函数图象上的点，又是它的“友好函数”图象上的点，求点的坐标．【答案】(1)(2)点的坐标为【分析】本题主要考查了求一次函数的解析式：（1）把代入，即可求解；（2）设点的坐标为，根据题意，可得，即可求解．【详解】（1）解：函数的“友好函数”为．点在的“友好函数”的图象上，，解得．（2）解：函数的“友好函数”为．设点的坐标为，根据题意，得，解得，点的坐标为．20．定义：对于一次函数、，我们称函数为函数、的“星辰函数”．(1)已知函数为函数、的“星辰函数”，求，的值；(2)在平面直角坐标系中，函数与的图象相交于点．过点作轴的垂线，交函数、的“星辰函数”的图象于点．①若，函数、的“星辰函数”图象经过点，求的值；②若，点在点的上方，求的取值范围．【答案】(1)(2)①；②【分析】本题主要考查一次函数图象的性质，二元一次方程组，一元一次不等式的求值，理解“星辰函数”的定义，掌握一次函数图象的性质是解题的关键．（1）根据“星辰函数”的定义可得，由此列二元一次方程组求解即可；（2）根据题意，函数与的图象相交于点，联立方程组可得，设函数、的“星辰函数”为，对于①则有，由此化简即可求解；对于②则有点的横坐标为，纵坐标为，根据点在点的上方，可得，由此化简即可求值．【详解】（1）解：根据“星辰函数”的定义有，，∴，∴，解得，；（2）解：∵函数与的图象相交于点，∴，解得，，∴，根据题意，设函数、的“星辰函数”为，①∵点在“星辰函数”上，∴，整理得，，∵，∴，∴；②过点作轴的垂线，交函数、的“星辰函数”的图象于点，∴点的横坐标为，纵坐标为，∵点在点的上方，∴，∴，∵，则，∴∴．21．阅读理解：对于线段和点，定义：若，则称点为线段的“等距点”；特别地，若，则称点是线段的“完美等距点”．解决问题：如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，点是直线上一动点．(1)已知3个点：，则这三点中，可以做线段的“等距点”是，线段的“完美等距点”是；(2)若坐标原点O为线段AP的“等距点”，求出点P的坐标；(3)若，点在轴上，且是线段的“等距点”，求点的坐标；(4)当m>0，是否存在这样的点，使点是线段的“等距点”，也是线段的“完美等距点”，请直接写出所有这样的点P的坐标．【答案】(1)和；(2)点P的坐标为或，(3)点的坐标为或；(4)点P的坐标为或【分析】（1）依据两点之间的距离公式分别计算各点到，的距离，根据等距点和完美等距点做出判断；（2）由在上，得到，根据两点间的距离公式，由列出等式，求解即可，（3）设出点的坐标，根据等距点的定义，利用两点之间的距离公式列出方程可得结论；（4）假定存在，设出点的坐标，根据等距点的定义，利用两点之间的距离公式列出方程可得结论，本题综合考查了一次函数与几何知识的应用，灵活应用两点之间的距离公式和勾股定理是解题的关键．【详解】（1）解：，，，为等距点．，，，为等距点．，，，不为等距点．，，，，，为完美等距点，故答案：和；；（2）解：在上，，，，，或，（3）解：在上，，，，，或，设的坐标为，或，，，或，解得：或．的坐标为或；（4）解：设点的坐标为，，，，点是线段的“等距点”，，，解得：，为线段的“完美等距点”，，为等腰直角三角形，，，，，解得：或，当时，，当时，，点的坐标为或．22．已知直线．(1)当为何值时，直线经过原点？(2)若直线不经过原点，设直线与轴交于点，与轴交于点，当为何值时，，并求出此时的面积；(3)定义：在平面直角坐标系中，若某个点到轴、轴的距离之和为2，则称该点为“元元点”，如点，，都是“元元点”．若直线上至少有一个“元元点”，求的取值范围．【答案】(1)(2)或(3)或或或【分析】本题考查了一次函数上点的坐标特征，一次函数的性质等内容，读懂题目信息，理解“元元点”的定义是解题的关键；（1）根据一次函数上点的坐标特征，将代入即可求解；（2）求出直线与轴，轴的交点坐标，得到，的长度，在根据建立方程求出值，进而求出的面积；（3）根据“元元点”的定义，设出“元元点”的坐标，代入直线解析式，得到关于的不等式，解不等式即可求解；【详解】（1）当直线经过原点时，将原点坐标，代入直线表达式，得到，解得，（2）解：当直线不经过原点时，设直线与轴交于点，与轴交于点，当时，，当时，，，，解得：或，当时，，，，当时，，，，；（3）解：因为某个点到轴、轴的距离之和为2，所以，，①当时，时，，解得：当时，时，，，若，即时，，，若，即时，，，，若，即时，，，，，，，，，，无解，故；②当，时，，，，解得：，，，，时，，，，解得：，，，，，若，，，，无解，若，，，，无解，若，，，，，故，③当，时，，，，解得，，，，，若，，，，，若，无解，故，④当，时，，，，解得，，，，，，，，若，即，，，，，，，，若，即，，，，，，，无解，故，综上所述，或或或23．定义：在平面直角坐标系中，对于点Mx,y和点当时，，当时，则称点N为点M的变换点．例如：点变换点的坐标是，点−3,2变换点的坐标是．(1)则点的变换点的坐标是；(2)已知点M在函数的图象上，点M的变换点N的纵坐标为5，求点M的坐标．(3)已知点M在函数的图象上，其变换点N的纵坐标的取值范围是，求k的取值范围．【答案】(1)(2)或(3)k的取值范围为【分析】本题考查了一次函数的图象，由函数值求自变量，点坐标等知识．理解题意，数形结合是解题的关键．（1）由，可得进而可求结果；（2）设，当时，，可求，进而可得，则；当时，，可求，进而可得，则；（3）由题意知，上的点的变换点的图象如图所示，当时，，则，当时，，则，当时，，可求，当时，，可求，由变换点N的纵坐标的取值范围是，数形结合作答即可．【详解】（1）解：∵，∴∴点的变换点的坐标是；故答案为：；（2）解：设，当时，，解得，，∴，∴；当时，解得，，∴，∴；综上，点M的坐标为或；（3）解：由题意知，上的点的变换点的图象如图所示，当时，，∴，当时，，∴，当时，，解得，，当时，，解得，，∵变换点N的纵坐标的取值范围是，∴由图象可知，，∴k的取值范围为．24．定义：我们把一次函数与正比例函数的交点称为一次函数（）的“亮点”．例如求的“亮点”，联立方程：，解得，则的“亮点”为．(1)由定义可知，一次函数的“亮点”为___________．(2)一次函数的“亮点”为，求p，q的值．(3)若直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，且直线上没有“亮点”，点P在x轴上，使，求满足条件的点P的坐标．【答案】(1)(2)(3)或；【分析】本题考查了新定义，一次函数的性质，一次函数与坐标轴围成的三角形的面积，两直线交点问题，熟练的利用数形结合的方法解题是关键．（1）联立一次函数解析式与正比例函数，解二元一次方程组即可；（2）将“亮点”为，代入求得q，进而代入求得p即可；（3）根据题意可得，进而设，根据三角形面积公式求解即可．【详解】（1）解：由定义可知，一次函数的“亮点”为一次函数解析式与正比例函数的交点，即，解得，一次函数的“亮点”为；（2）解：根据定义可得，点在上，，解得，点又在上，，又，，解得，∴．（3）解：∵直线上没有“亮点”，∴直线与平行，∴，∴，令，则，令，则，，，设，∵，，∴，，即或，解得或，∴或．25．在平面直角坐标系中，对于线段，给出如下定义：直线经过线段的一个端点，直线经过线段的另一个端点，若直线与交于点，且点不在线段上，则称点为线段的“双线关联点”．(1)已知，线段的两个端点分别为和，则在点，中，线段的“双线关联点”是___________：(2)是直线上的两个动点．①点是线段的“双线关联点”，其纵坐标为，直接写出点的横坐标___________；②正方形的四个顶点的坐标分别为，其中．若所有线段的“双线关联点”中，有且仅有两个点在正方形的边上，直接写出的取值范围___________．【答案】(1)(2)①点的横坐标为或；②【分析】（1）当直线经过点，直线经过点，可得，值，即可得到直线，直线，联立即可求解第一种情况，当直线经过点，直线经过点时，同理可得第二种情况．（2）①将点代入，求出，即可得出，在按照（1）的步骤分情况谈论，当直线经过点，直线经过点时，或当直线经过点，直线经过点时，分别结合点纵坐标为，即可得出点的横坐标．②设线段的双线关联点”为，由①得消元可得点在直线上运动，同理得点在直线上运动，在时，令慢慢变大，找到其一个交点和三个交点时的值，观察图象即可得到的取值范围．【详解】（1）解：若直线经过点，直线经过点，则代入得：，，∴直线，直线，联立得：，解得：，若直线经过点，直线经过点，则代入得：，，∴直线，直线，联立得：，解得：，综上可得点是线段的“双线关联点”，故答案为；（2）①解：将点代入，得，，则，当直线经过点，直线经过点时，则代入得，，解得：，，求得直线，直线，联立得：，解得：，∵点是线段的“双线关联点”，其纵坐标为，故，解得：，∴点的横坐标：．因此；当直线经过点，直线经过点时，同上可求，，，联立得，解得：，∵点是线段的“双线关联点”，其纵坐标为，故，解得：，∴点的横坐标：，综上所述，点的横坐标为或；②解：设线段的“双线关联点”为，则由上可得，由①得：，消去可得：，∴则点在直线上运动，同理可求点在直线上运动，∵线段的“双线关联点”中，有且仅有两个点在正方形的边上，∴正方形与直线，直线恰好有两个交点，当且很小时，此时正方形与两条直线无交点，不符合题意，如图：随着增大，当点落在直线上，