2024-2025人教版八年级数学上点拨训练第15章第05讲分式的加减

20242025人教版八年级数学上 点拨*训练第15章第05讲分式的加减学习目标1.掌握分式的加减运算法则并运用其进行计算.2.能够进行异分母的分式加减法运算．重点：运用分式的加减法则进行运算.难点：异分母分式加减的运算(异分母转化为同分母).老师告诉你同分母分式的加减运算。要把每个分式的分子看成一个整体，加上括号，避免出现符号错误。分母互为相反数的分式加减法，先通过分式的符号法则变成同分母后，再加减。分式的化简求值的方法：一般是先运用分式的运算法则把分式化简为最简分式，然后将已知的数值代入求值。技巧：（1）当所给的字母的取值较复杂或是以条件等式的形式给出时，一般考虑整体代入法：（2）当所给的是几个量的比时，用设参数法或倒数法求值。知识点拨1.知识点导航2.知识点梳理知识点1、同分母分式的加减同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；上述法则可用式子表为：.注意“把分子相加减”是把各分式的分子的整体相加减，即各个分子都应用括号，当分子是单项式时，括号可以省略；当分子是多项式时，特别是分子相减时，括号不能省，不然，容易导致符号上的错误.（2）分式的加减法运算的结果必须化成最简分式或整式.【新知导学】例11.计算：．华华的计算过程如下：解：原式．请问华华的计算结果正确吗？如果不正确，请说明理由．例12.计算：m2−1【对应导练】1.计算：a2a−12．计算xx+1+13．计算：x+14．计算：a+3a+2−5．化简：a−baA．12 B．1 C．2 知识点2分母互为相反数的分式加减首先根据分式变号法则转化为同分母分式加减。【新知导学】例21．如图是某同学分式求值的错误过程．先化简，再求值：3−xx−4−x−4解：原式==3−x+x−4=−1（1）求原式正确的化简结果；（2）老师说：“虽然该过程有错误，但最后所求的值是正确的．”求图中被污染的x的值．例22．计算a−12a−1A．−1 B．1 C．2a+12a−1 D．【对应导练】1．化简x2x−1+x2．化简：x2x−2+3．化简：2x−1+2x知识点3、异分母分式的加减异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.上述法则可用式子表为：.注意异分母的分式相加减，先通分是关键.通分后，异分母的分式加减法变成同分母分式的加减法.（2）异分母分式加减法的一般步骤：①通分，②进行同分母分式的加减运算，③把结果化成最简分式.【新知导学】例31．下面是小明同学的一篇回顾与反思，请认真阅读并完成相应的任务．异分母的分式加减法回顾与反思【回顾】今天我们学习了异分母的分式加减法，在课堂小结环节我的总结如下：下面是我在课堂上化简分式4x解：原式=4=4=4=4−x+2=6−x【反思】总之，在学习中我们要善于思考与反思，总结与归纳，在总结中收获经验，为今后的学习奠定坚实的基础．任务：（1）在探究异分母的分式加减法法则时主要体现的数学思想是______；A．方程思想B．数形结合思想C．转化思想D．统计思想（2）以上化简过程中，第______步是分式的通分，通分的依据是______；（3）我们在做题时一定要养成认真检查的好习惯，由于小明的马虎，解题过程出现了错误，从第_____步开始出现错误，化简的正确结果应该是______．例32．先化简，再求值：xx−2−1÷【对应导练】1．先化简，再求值：a−1a+2÷a2．计算：a3．已知分式A=4x2−4，B=1x+2+A．A=B B．A=−B C．A>B D．A<B知识点4、分式的加减的应用例41．一辆汽车开往距离出发地180km的目的地．出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来速度的1.5倍匀速行驶，并比原计划提前40min到达目的地，（1）求汽车实际走完全程所花的时间．（2）若汽车按原路返回，司机准备一半路程以akm/ℎ的速度行驶，另一半路程以bkm/ℎ的速度行驶（a≠b），则用时l1小时，若用一半时间以akm/ℎ的速度行驶，另一半时间以bkm/ℎ的速度行驶，则用时l2小时，请比较例42．小明发现爸爸和妈妈的加油习惯不同，妈妈每次加油都说“师傅，给我加200元油”（油箱未加满），而爸爸则说：“师傅，帮我把油箱加满!”小明很好奇：现实生活中油价常有变动，爸爸妈妈不同的加油方式，哪种方式会更省钱呢？现以两次加油为例来研究．设爸爸妈妈第一次加油油价为x元/升，第二次加油油价为y元/升，（1）求妈妈两次加油的总量和两次加油的平均价格．(用含x，y的代数式表示)（2）爸爸和妈妈的两种加油方式中，谁的加油方式更省钱？用所学数学知识说明理由．【对应导练】1．现有甲、乙、丙三张正方形卡片，卡片的边长如图1所示(a>0)．某同学将甲和丙卡片的一个直角重叠在一起拼成图2，其阴影部分面积记为S1；图3为乙卡片，其面积记为S（1）化简式子S1S2（2）当S1S22．科学中，经常需要把两种物质混合制作成混合物，研究混合物的物理性质和化学性质．现将甲、乙两种密度分别为ρ甲，ρ乙的液体混合(ρ甲<ρ乙（1）请用含ρ甲，ρ乙式子表示（2）比较ρ1，ρ（3）现有密度为1.2g/cm3的盐水600g，加适量的水（密度为二、题型训练利用分式的加减法则计算1．计算：a+bab2．计算：2xx3．若x−3(x+1)(x−1)=Ax+14．计算（1）a（2）先化简再求值：[23x利用分式的加减法则化简求值5．已知A=x2−1（1）化简A；（2）当B=0时，求A的值7．已知x2+3x=1，求代数式利用分式的加减法则比较大小8．比较大小有求差、求比等方法，但灵活应用已知巧妙变形也会起到简化计算的效果．已知a、b为实数，且ab=1，设P=aa+1+bb+1，Q=1a+19．已知a、b为实数，且ab=1，设M=aa+1+10．数学来源于生活，生活中处处有数学，用我们平时喝的糖水做“糖水实验”也能验证发现一些数学结论.现有a克糖水，其中含有b克糖(a>b>0)，则糖水的浓度(即糖的质量与糖水的质量比)为ba（1）糖水实验一：加入m克水，则糖水的浓度为.生活经验告诉我们，糖水加水后会变淡，由此可以写出一个不等式，我们趣称为“糖水不等式”．（2）糖水实验二：

将“糖水实验一”中的“加入m克水”改为“加入m克糖”，则糖水的浓度为.根据生活经验，请你写出一个新的“糖水不等式”．（3）请结合(2)探究得到的结论尝试证明：

设a、b、c为△ABC三边的长，求证：ca+b三、课堂达标一、选择题（每小题4分，共32分）1．下列运算正确的是（）A．1a+2C．1+1a=30．下列等式成立的是（）A．1a+2C．22a+b=13．化简4xA．x−2 B．1x−2 C．2x−2 4．化简x+1xA．x B．1 C．x+2x D．5．在复习分式的化简运算时，老师把甲、乙两位同学的解答过程分别展示如下.则（）甲：(===1……④乙：(===1……④A．甲、乙都错 B．甲、乙都对 C．甲对，乙错 D．甲错，乙对6．已知：a，b，c三个数满足：aba+b=12，bcb+cA．19 B．29 C．927．如图，若约定：上方相邻两个代数式之和等于两个代数式下方箭头共同指向的代数式，则代数式M是（）A．2xyx+y B．2xyx−y C．−2xy 8．在计算x−1x+1嘉嘉：x−1=琪琪：x−1=A．嘉嘉正确 B．琪琪正确 C．都正确 D．都不正确二、填空题（每小题4分，共20分）9．若x2+x+1x=410．计算：(1a−2

11．化简：5x+3yx212．若ab=1，且m=11+a+11+b13．如果a，b，c满足abc≠0，a+b=c，则b2+三、解答题（每小题8分，共48分）14．计算：a15．学完分式运算后，老师出了一道题：“计算2xx解：原式＝2x(x+1)(x−1)＝2x﹣（x+1）……第二步＝2x﹣x﹣1……第三步＝x﹣1……第四步（1）上述解题过程中的错误从第步开始；（2）当x为x﹣3＜0的正整数解时，求2xx16．数学来源于生活，生活离不开数学，开水中加入适量的糖冲泡成甜糖水很受一些人的喜爱，人们常用糖水中糖与糖水的比表示糖水的甜度.（1）若在a克糖水里面含糖b克（a>b>0），则该糖水的甜度为；（2）现向（1）中的糖水中再加入适量的糖，充分搅匀后，感觉糖水更甜了.请用所学的数学知识解释这一现象.（提示：我们在判断两个数的大小时，常常会用到作差法，如5−3=2>0所以5>3，同样如果m−n>0，就说明m>n）17．下面是小明同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务．x2＝(x+3)(x−3)(x+3)＝x−3x+3＝2（x−3）2(x+3)＝2x−6−(2x+1)2(x+3)＝2x−6−2x+12x+6＝−5（1）任务一：填空：①以上化简步骤中，第步是进行分式的通分，通分的依据是或填为：；②第步开始出现错误，这一步错误的原因是