数学-重庆市南开中学2025届高三第五次质量检测试题和解析

3.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.如图,在正四棱锥P-ABCD中,B为棱PA的中点,设D=,D—=,D=,则用,,表示BB为PBCDAB4.已知某班级将学生分为4个不同的大组,每个大组均有14名学生,现从这个班级里抽取5名学A.(C4(4.C2种B.(C4(3oC4种C.4(C4(3.C4种D.2(C4(4.C2种2B.2C.6.已知函数f(∞(的定义域为R,f(∞(=f(2-∞(,f(∞(=f(∞+4(,则下列选项一定正确的是A.f(1(=0B.f(1-∞(+f(1+∞(=0C.f(3+2∞(=f(3-2∞(7.在锐角△ABC中,cosA=,则的取值范围为,,D.8.在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中,A1B1=2,AB=4,且正四棱台存在内切球,则此正四棱台外9.已知函数f(x(=sin(3x+φ((-<φ<(的图象关于直线对称,则A.Sn的最小值为S7B.满足Sn>0的最小n值是1411.在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M为棱AD中点,N为侧面BCC1B1的中心,P为线A.三棱锥A1-ABP的体积为定值B.PB的最小值为C.BQ=113.若(3x-1(5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则a1+2a2+3a3+4a4+5a5=.14.已知点P(3,0(,点A,B为圆C:(x-2(2+y2=4上的已知函数f(x(=ex⋅(x2+x+a(在(0,f(0((处的切线与直线2x-y-3=0平行,其中a∈R.某科技公司研发了一种新型的AI模型,用于图像识别任务.为了测试该模型的性能,对其进行了500次试验,并记录了每次试验中模型正确识别图像的数量,得到如下的样本数据频率分布直方图.(2)以频率估计概率,随机对该模型进行3次试验,用X表示这3次试验中正确识别图像数量不少于20个的次数,求X的分布列和数学期望.在空间几何体EF-ABCD中,底面ABCD是边长为2的菱形,其中∠DAB=60°,BE⎳DF,DF=2BE=2,CF=22,EF=5.(1)求证:DF⊥平面ABCD；(2)求二面角A-EF-C的正弦值.2+y2=r2相切,切点分别为A,B,与渐近线相交于M,N两点.与{bn{“T-k相关”.“N∗-4相关”.(无需证明);n=12n+3,{an{与{bn{"T-9相关",求所有满足条件的集合T.123456789BDCCBCCAABDABDAC3.C【解析】B=B+A=-D—+D-D(=-+-=--+=4(C4(3.f(3+2x(=f(2-(3+2x((=f(-1-2x(=f(-1-2x+4(=f(3-2x(.2=b2+c2-由图可知EF=FN=FG,则ML=MN+NL=GL+ME=3,过M作MK⊥JL于K.EG=MK=32-1=22.即四棱台的高为22.则O1O2=O1O+OO2=A1O2-A1O+OA2-AO=R2-(2(2+R2-(22(2=22,,故k=-1,φ=-.对于选项B:x=时,3x-=π,(π,0(为y=sinx的对称中心,正确对于选项C:x∈(0,(时,3x-无最小值,错误.对于选项D:x∈(-(时,3x-(,结合y=sinx的图象可知,有两个极值点,正确.7<0,a7+a8>0可知a1<0,d>0,a8>0.对于选项A:由a1,a2,⋯,a7为负,a8,a9,⋯为正可知,S7最小,正确.对于选项B:S13==13a7<0,S14==7(a7+a8(>0,则满足Sn>0的最小值为14,故B正确,C错误.对于选项D:由a1,a2,⋯,a7为负,a8,a9,⋯为正,且S1,S2,⋯,S13为负,S14,S15,⋯为正可知,,⋯,为负.考虑到|S8|>|S9|>⋯>|S13|,|a8|<|a9|<⋯<|a13|,故最大,即最小,正确.AB.则点P到平面ABB1A1的距离恒为直线MN到平面ABB1A1的距离.而V-ABP=VP-ABA,则三棱锥的体积不变.正确.对于选项B:连接BM、BN,计算可知BM=2,BN=2,MN=2作出平面三角形BMN可知BP⊥MN时,取得最小值不正确.D1M⎳QN.作NK⊥BC,则△D1MD∼△NQK,则KQ=1,∴BQ=1.正确.对于选项D:连接QN延长至与B1C1交于H,则截面为D1MQH.连接D1Q.记几何体D1HC1-DMQC的体积为V1.则V=V33【解析】对(3x-1(5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5两边同时求导可得:15(3x-1(4=a1+4,设Q(x,y(,则(x-2(2+y2+(x-3(2+y2=4.化简可得:(x-(2+y2=故|C|≤-2+=解:(1(f/(x(=ex(x2+3x+a+1(,3分(2)f/(x(=ex(x2+3x+2(=ex(x+1((x+2(,6分当x∈(-2,-1(时,f/(x(<0,f(x(单调递减;当x∈(-1,2(时,f/(x(>0,f(x(单调递增.8分“f(-2(=3e-2<f(2(=7e2,f(-1(=e-1,12分:f(x(的最大值为7e2,最小值为.13分0.025×10=0.7,则X~B(3,0.7(.X=0,1,2,37分列X的分布列如下:X0123P解:在△FDC中,DC2+DF2=FC2→DF丄DC.1分取DF中点M,连接ME,DB.FM=MD=BE=1“BEⅡDF,:MDⅡBE,四边形DBEM为平行四边形:ME=BD:ME=BD=AB=2.在△FME中,ME2+MF2=EF2→FM丄ME.DBc平面ABCD,DCc平面ABCDDF丄DB,DF丄DC“BDⅡME,:DFDBc平面ABCD,DCc平面ABCDDF丄DB,DF丄DC:DF丄平面ABCD.6分(2)取AB中点N,连接DN.:DN丄DC.由(1),DF丄平面ABCD.:DN、DC、DF两两垂直.7分以D为坐标原点,D为x轴正方向,D为y轴正方向,D为zA(3,-1,0(,E(3,1,1(,F(0,0,2(,C(0,2,0(9分设平面AEF的法向量=(x1,y1,z1(，A=(0,2,1(,A=(-3,1,2((AF=0(AF=0(-3x1+y1+2z1=01,3,-1,1(,EC=(-3,1,-1(3,-1,1(,EC=(-3,1,-1(2=(0,1,1(rE=0r2=(0,1,1((E=0(-3x2+y2-z2=044记二面角A-EF-C的平面角为θ,sinθ=1-cos244∴二面角A-EF-C的正弦值为15.15分4c=2a=1c=2a=1.设l:y=kx+m与x2-2=1联立可得:(3-k2(x2-2kmx-m2-3=0,0,Δ=4t2m2+4(3-k2((m2+3(=12(m2-k2+3(=0,故m2=k2-3,7分且x3=-=-,y3=kx3+m==-.将l:y=kx+m与x2-=0联立可得:(3-k2(x2-2kmx-m2=0.3-k2m3-k2,x1+x2=2km=-2k,x13-k2m3-k2,O⋅O=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+m((kx2+m(=(1+k2(x1x2+km(x1+x2(+m2=1+k2+km(-+m2=1-k2+m2=-2,=4.设直线OB为l2:y=-x,与l:y=kx+m联立解得B,.而m2=k2-3.4-4m2-12=(m2+2((m2-6(=0,∴m2=6,k2=9,16分+1-5an