2025年广西柳州市高考数学一模试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025年广西柳州市高考数学一模试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数z=1+i，则1z的虚部为(

)A.−12 B.12 C.−2.对于非零向量a，b，“|a+b|=0”是“aA.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.已知双曲线C：y24−x2m=1A.1 B.2 C.8 D.164.若过点(23,0)与圆x2+y2A.55 B.255 5.点A，B的坐标分别是(−5,0)，(5,0)，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是49，则点M的轨迹方程是(

)A.x225+9y2100=1(x≠±5) 6.设函数f(x)=cos(ωx+π6)(ω>0)，已知f(x1)=−1，f(xA.1 B.2 C.3 D.47.已知正四棱台ABCD−A1B1C1D1的体积为763，A.32 B.3 C.28.设函数f(x)=xlnx−(a+b)lnx，若f(x)≥0，则5a+5bA.1 B.2 C.5 D.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知随机变量X服从正态分布，即X～N(3,9)，则(

)A.E(X)=27 B.D(X)=9

C.P(X≥8)>P(X≤−1) D.P(X≤1)+P(X≤5)=110.过抛物线E：y2=2px(p>0)的焦点F作倾斜角为θ的直线交E于A，B两点，经过点A和原点O的直线交抛物线的准线于点D，则下列说法正确的是(

)A.BD//OF B.OA⊥OB

C.以AF为直径的圆与y轴相切 D.|AF||BF|=11.我们知道，函数y=f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x)为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y=f(x)的图象关于点(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x+a)−b为奇函数.已知f(x)是定义在R上的可导函数，其导函数为g(x)，若函数y=f(x+1)−1是奇函数，函数y=g(x+2)为偶函数，则(

)A.f(1)=1 B.g(1)=1

C.y=f(x+2)−1为奇函数 D.i=1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知x2+2x−1=0，则x2+13.在(3x3+14.如图，在4×4的格子中，有一只蚂蚁从A点爬到B点，每次只能向右或向上移动一格，则从A点爬到B点的所有路径总数为______，若蚂蚁只在下三角形(对角线AB及以下的部分所围成的三角形)行走，则从A点到B点的所有总路径数为______．四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)

记△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知3sinA−cosA=2．

(1)求A；

(2)若a=2，2bsinC=csin2B16.(本小题12分)

如图，在圆锥PO中，AC为圆锥底面的直径，B为底面圆周上一点，点D在线段BC上，AC=2AB=4，CD=2DB．

(1)证明：AD⊥平面BOP；

(2)若圆锥PO的侧面积为8π，求二面角O−BP−A的正弦值．17.(本小题12分)

已知函数f(x)=ax−lnx−1a．

(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程；

(2)若f(x)有极小值，且极小值小于0，求a18.(本小题12分)

在平面直角坐标系xOy中，P为直线y=2上一动点，椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右顶点分别为M(−2,0)，N(2,0)，上、下顶点分别为T(0,1)，S(0,−1).若直线PT交E于另一点A，直线PS交19.(本小题12分)

某购物平台为了吸引更多的顾客在线购物，推出了A和B两个套餐服务，并在购物平台上推出了优惠券活动，顾客可自由选择A和B两个套餐之一，如图是该购物平台7天销售优惠券的情况(单位：千张)的折线图：

(1)由折线图可看出，可用回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；

(2)假设每位顾客选择A套餐的概率为13，选择B套餐的概率为23，其中A包含一张优惠券，B套餐包含两张优惠券，截止某一时刻，该平台恰好销售了n张优惠券，设其概率为Pn，求Pn；

(3)记(2)中所得概率Pn的值构成数列{Pn}(n∈N∗)，求数列{Pn}的最值．

参考数据：i=17

参考答案1A

2A

3B

4C

5C

6D

7C

8D

9BD

10ACD

11BCD

12.6

13.70

14.70

14

15解：(1)由3sinA−cosA=2，

可得32sinA−12cosA=1，即sin(A−π6)=1，

由于A∈(0,π)，可得A−π6∈(−π6,5π6)，

所以A−π6=π2，故A=2π3；

(2)由2bsinC=csin2B及正弦定理，

可得2sinBsinC=2sinCsinBcosB，

又B，C∈(0,π)16解：(1)证明：由题知，PO⊥平面ABC，BA⊥BC，

故以B为坐标原点，BA为x轴正方向，BC为y轴正方向，与OP同向的方向为z轴正方向建立空间直角坐标系．

设|OP|=x，则B(0,0,0)，A(2,0,0)，O(1,3,0)，P(1,3,x)，D(0,233,0)，

所以AD=(−2,233,0)，BO=(1,3,0)，BP=(1,3,x)．

因为AD⋅BO=−2+2=0，AD⋅BP=−2+2=0．

所以AD⊥BO，AD⊥BP，

因为BP∩BO=B，BP，BO⊂平面BOP，所以AD⊥平面BOP；

(2)因为圆锥PO的侧面积S=2π×PA=8π，所以PA=4，所以OP=x=42−22=23，

由(1)可知，17解：(1)当a=1时，f(x)=x−lnx−1，则f′(x)=1−1x，

所以f(1)=0，f′(1)=0，所以即切点坐标为(1,0)，切线斜率为k=0，

所以切线方程为y=0；

(2)f(x)定义域为(0,+∞)，且f′(x)=a−1x．

若a>0，令f′(x)>0，解得x>1a，令f′(x)<0，解得x<1a，

可知f(x)在(0,1a)上单调递减，(1a,+∞)上单调递增，

则f(x)有极小值f(1a)=1+lna−1a，无极大值，

由题意，可得f(1a)=1+lna−1a<0，即1+lna−1a<0，

令g(a)=1+lna−1a(a>0)，g′(a)=1a+1a2>0，g(a)在(0,+∞)18解：(1)证明：易知a=2，b=1，

所以椭圆E的方程为x22+y2=1，

设P(t,2)，

当t≠0时，设直线PA的方程为y=1tx+1，

联立y=1tx+1x22+y2=1，消去y并整理得t2+2t2x2+4tx=0，

可得xA=−4tt2+2，

所以yA=t2−2t2+2，

即A(−4tt2+2,t2−2t2+2)，

设直线PB的方程为y=3tx−1，

联立y=3tx−1x22+y2=1，消去y并整理得t2+18t2x−12tx=0，

可得xB=12tt2+18，

所以yB=−t2−18t19解：(1)由折线图中数据和附注中参考数据得t−=4，i=17(ti−t−)2=28，i=17(yi−y−)2=0.72，

i=17(ti−t−)(yi