2024-2025学年山东省青岛市高一上册期中考试数学检测试题（含解析）

2024-2025学年山东省青岛市高一上学期期中考试数学检测试题说明：1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷．满分150分．答题时间120分钟．2．请将第Ⅰ卷题目的答案选出后用2B铅笔涂在答题纸对应题目的代号上；第Ⅱ卷用黑色签字笔将正确答案写在答题纸对应的位置上，答在试卷上作废．第Ⅰ卷（选择题，共58分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.下列各组函数中，表示同一个函数是（）A.， B.，C.， D.，3.已知命题p：，，则命题p的否定为（）A.， B.，C.， D.，4.已知，则的大小关系为（）A. B.C. D.5.下列命题为假命题的是（）A若，则 B.若，则C.若且，则 D.若且，则6.“幂函数在上为增函数”是“函数为奇函数”的（）条件A.充分不必要 B.必要不充分C.充分必要 D.既不充分也不必要7.已知是定义在上偶函数，当时，，则（）A.-8 B.-4 C.4 D.88.函数的部分图象大致为（）A. B.C D.二、选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是（）A.函数（且）的图象恒过点B.在定义域上是单调递增函数C.，且，则D.函数的单增区间是10.下列函数中，对任意，，，满足条件的有（）．A. B.C. D.11.已知，，且，下列结论中正确的是（）A.的最大值是 B.的最小值是2C.的最小值是9 D.的最小值是三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分．12.已知函数，则的定义域是______．13.已知函数若，则实数___________.14.设是定义在R上的奇函数，对任意的，，，满足：，若，则不等式的解集为___________.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.求值：（1）；（2）；（3）已知，求式子的值．16.已知函数是定义在上的偶函数，当时，有．（1）求函数在上的解析式；（2）用定义证明在上的单调性，并求函数的值域；；（3）解关于的不等．17.已知函数，（1）求的解析式；（2）求函数在的最小值；（3）已知，：当时，不等式恒成立；：当时，是单调函数．若，一真一假，求实数的取值范围．18.随着城市地铁建设的持续推进，市民的出行也越来越便利，根据大数据统计，某条地铁线路运行时，发车时间间隔（单位：分钟）满足:，平均每班地铁的载客人数（单位：人）与发车时间间隔近似地满足函数关系：，（1）若平均每班地铁的载客人数不超过1560人，试求发车时间间隔的取值范围；（2）若平均每班地铁每分钟的净收益为（单位：元），则当发车时间间隔为多少时，平均每班地铁每分钟的净收益最大？并求出最大净收益.19.对于函数，若其定义域内存在实数满足，则称“伪奇函数”．（1）已知函数，试问是否为“伪奇函数”？说明理由；（2）若幂函数使得为定义在上的“伪奇函数”，试求实数的取值范围；（3）是否存在实数，使得是定义在上的“伪奇函数”，若存在，试求实数的取值范围；若不存在，请说明理由．2024-2025学年山东省青岛市高一上学期期中考试数学检测试题说明：1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷．满分150分．答题时间120分钟．2．请将第Ⅰ卷题目的答案选出后用2B铅笔涂在答题纸对应题目的代号上；第Ⅱ卷用黑色签字笔将正确答案写在答题纸对应的位置上，答在试卷上作废．第Ⅰ卷（选择题，共58分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】根据指数函数的性质可得，进而可求交集.【详解】由题意可得，，所以.故选：B.2.下列各组函数中，表示同一个函数的是（）A.， B.，C.， D.，【正确答案】B【分析】求出两个函数定义域以及化简对应关系.若两个函数定义域相同且对应关系相同，则这两个函数相同，进而判断答案.【详解】对A，的定义域为R，的定义域为，则A错误；对B，和的定义域均为R，且，则B正确；对C，的定义域为，的定义域为R，则C错误；对D，的定义域为，的定义域为R，则D错误.故选：B.3.已知命题p：，，则命题p的否定为（）A.， B.，C.， D.，【正确答案】C【分析】根据特称命题的否定为全称命题求解即可.【详解】由命题p：，得否定：，.故选：C.4.已知，则的大小关系为（）A. B.C. D.【正确答案】C【分析】根据指数函数的单调性比较大小．【详解】∵是减函数，，所以，又，∴．故选：C．5.下列命题为假命题的是（）A.若，则 B.若，则C.若且，则 D.若且，则【正确答案】A【分析】对于A：举例分析判断；对于BC：根据不等式的性质分析判断；对于D：根据不等式的性质结合作差法分析判断.【详解】对于选项A：例如，则，故A为假命题；对于选项B：若，则，即，故B为真命题；对于选项C：若，则，可得，因为，所以，故C为真命题；对于选项D：因为，则，又因为，则，可得，故D为真命题；故选：A.6.“幂函数在上为增函数”是“函数为奇函数”的（）条件A.充分不必要 B.必要不充分C.充分必要 D.既不充分也不必要【正确答案】A【分析】要使函数fx=m2+m−1xm是幂函数，且在上为增函数，求出，可得函数为奇函数，即充分性成立；函数【详解】要使函数fx=m则m2+m−1=1m>0，解得：，当时，gx=则g−x=2“函数gx则gx=−g−x解得：，故必要性不成立，故选：A．7.已知是定义在上的偶函数，当时，，则（）A.-8 B.-4 C.4 D.8【正确答案】D【分析】先求出，然后代入求解，最后利用偶函数性质求解即可.【详解】由，解得，则.所以，因为是定义在上的偶函数，所以.故选：D8.函数的部分图象大致为（）A. B.C. D.【正确答案】A【分析】由函数的奇偶性与特殊的函数值对选项逐一判断，【详解】由题意得，则是偶函数，故B，C错误，，故D错误，故选：A二、选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是（）A.函数（且）的图象恒过点B.在定义域上是单调递增函数C.，且，则D.函数的单增区间是【正确答案】AC【分析】对于A：根据指数函数定点分析判断；对于B：举反例说明即可；对于C：先将指数式化为对数式，结合对数的运算求解；对于D：结合函数定义域分析判断.【详解】对于选项A：令，可得，，所以函数的图象恒过点，故A正确；对于选项B：当时，；当时，；所以在定义域上不是单调递增函数，故B错误；对于选项C：因为，则，可得，则，且且，所以，故C正确；对于选项D：令，解得，可知函数定义域为，可知函数的单调递增区间不可能为，故D错误；故选：AC.10.下列函数中，对任意，，，满足条件的有（）．A. B.C. D.【正确答案】ABD【分析】结合已知条件，根据函数的凸凹性即可求解.【详解】由题意可知，在上是下凸函数，由指数函数的图像和性质可知，AB正确；由幂函数的图像和性质可知，C错误，D正确.故选：ABD.11.已知，，且，下列结论中正确的是（）A.的最大值是 B.的最小值是2C.的最小值是9 D.的最小值是【正确答案】ACD【分析】根据题意，利用题设条件，结合基本不等式，逐项判定，即可求解.【详解】因为，，且，对于A，由，解得，当且仅当时等号成立，则最大值为，故A正确；对于B，由，当且仅当时等号成立，所以的最小值为，故B错误；对于C，，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值是9，故C正确；对于D，由，得，当且仅当时等号成立，则的最小值是，故D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分．12.已知函数，则的定义域是______．【正确答案】或【分析】复合函数定义域求法:若的定义域为,则有意义要首先满足.【详解】的定义域为，∴需满足：，解得，∴的定义域是或．故或．13.已知函数若，则实数___________.【正确答案】或16【分析】分两种情况分别求出的表达式，得到关于的方程，解方程即可.【详解】当时，由题意知，，解得符合题意；当时，由题意知，，解得（舍），符合题意；综上可知，实数a的值为16或.故答案为:16或.14.设是定义在R上的奇函数，对任意的，，，满足：，若，则不等式的解集为___________.【正确答案】【分析】令，可得函数利是定义在上的偶函数且在(0,+∞)上单调递增，原不等式等价于，分析可得答案.【详解】令，由是定义在上的奇函数，可得是定义在上的偶函数，由对任意的，，，满足：，可得在(0,+∞)上单调递增，由，可得，所以在上单调递减，且，不等式，即为，即，可得或，即或解得或.故答案为.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.求值：（1）；（2）；（3）已知，求式子的值．【正确答案】（1）18（2）（3）【分析】（1）将根式化为分数指数幂，再根据指数幂运算求解；（2）根据对数的定义和运算求解即可；（3）根据平方关系依次求得，，进而可得结果.【小问1详解】.【小问2详解】.【小问3详解】因为，显然，则，即，又因为，且，可得，所以.16.已知函数是定义在上的偶函数，当时，有．（1）求函数在上的解析式；（2）用定义证明在上的单调性，并求函数的值域；；（3）解关于的不等．【正确答案】（1）；（2）证明见解析，值域为；（3）．【分析】（1）根据偶函数的定义求解析式；（2）由单调性定义证明单调性，单调性求值域；（2）根据奇偶性和单调性解不等式．【小问1详解】是偶函数，所以时，，所以.【小问2详解】设是上任意两个实数，且，则，又，所以，所以，即，所以在上是减函数，是偶函数，则在上是增函数，，又，所以的值域是．【小问3详解】是偶函数，则不等式化为，又在是增函数，所以，，，或，所以不等式的解集为．17.已知函数，（1）求的解析式；（2）求函数在的最小值；（3）已知，：当时，不等式恒成立；：当时，是单调函数．若，一真一假，求实数的取值范围．【正确答案】（1）（2）答案见详解（3）或【分析】（1）根据题意利用配凑法求函数解析式；（2）分和两种情况，结合二次函数性质求解即可；（3）根据二次函数恒成立问题求p，根据二次函数单调性求q，分析可知p与q真假性相反，列式求解即可.【小问1详解】因为，所以.【小问2详解】因为的图象开口向上，对称轴为，显然，若，则在上单调递减，此时；若，此时.【小问3详解】若为真，不等式，即对任意的恒成立，而函数的图象开口向上，对称轴为，可知在上单调递减，且，则；函数的图象开口向上，对称轴为，若为真，即在内是单调函数，则或，解得或；由p，q一真一假，则或，解得或，所以实数取值范围为或.18.随着城市地铁建设的持续推进，市民的出行也越来越便利，根据大数据统计，某条地铁线路运行时，发车时间间隔（单位：分钟）满足:，平均每班地铁的载客人数（单位：人）与发车时间间隔近似地满足函数关系：，（1）若平均每班地铁的载客人数不超过1560人，试求发车时间间隔的取值范围；（2）若平均每班地铁每分钟的净收益为（单位：元），则当发车时间间隔为多少时，平均每班地铁每分钟的净收益最大？并求出最大净收益.【正确答案】（1）；（2），最大值为260元.分析】（1）根据题意即求解不等式；（2）根据题意求出的解析式，利用函数单调性或基本不等式求最值.【详解】（1）当，超过1560，所以不满足题意；当，载客人数不超过1560，即，解得或，由于所以；（2）根据题意，则根据基本不等式，，当且仅当，即时取得等号，所以，即当时，平均利润的最大值为260元，当时，单调递减，，综上所述，最大值260元.此题考查函数模型的应用，关键在于根据题目所给模型，准确求解不等式，或根据函数关系求出最值，基本不等式求最值注意等号成立的条件.19.对于函数，若其定义域内存在实数满足，则称为“伪奇函数”．（1）已知函数，试问是否为“伪奇函数”？说明理由；（2）若幂函数使得为定义在上的“伪奇函数”，试求实数的取值范围；（3）是否存在实数，使得是定义在上的“伪奇函数”，若存在，试求实数的取值范围；若不存在，请说明理由．【正确答案】（1）不是；（2）；（3）．【分析】（1）先假设为“伪奇函数”，然后推出矛盾即可说明；（2）先根据幂函数确定出的解析式，然后将问题转化为“在上有解”，根据指数函数的值域以及对勾函数的单调性求解出的取值范围；（3）将问题转化为“在上有解”，通过换元法结合二次函数的零点分布求解出的取值范围.【详解】（1）假设为“伪奇函数”，存在满足，有