2025年菁优高考数学压轴训练5

Page2025年菁优高考数学压轴训练5一．选择题（共10小题）1．（2024•南宫市校级模拟）设函数．若对任意的，，总存在，，使得，则实数的取值范围是A． B．， C．， D．，2．（2024•北京）已知，，，是平面直角坐标系中的点集．设是中两点间的距离的最大值，是表示的图形的面积，则A．， B．， C． D．3．（2024•青羊区校级模拟）若存在满足，且使得等式成立，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围是A．， B．， C． D．，4．（2024•宁波模拟）已知集合且，若中的点均在直线的同一侧，则实数的取值范围为A．，， B． C．，， D．5．（2024•莲湖区校级模拟）若，满足约束条件则的最小值为A．0 B． C． D．6．（2024•松江区二模）已知某个三角形的三边长为、及，其中．若，是函数的两个零点，则的取值范围是A． B． C． D．7．（2024•莲湖区校级模拟）设，满足约束条件，则的最大值为A． B．1 C． D．28．（2024•永寿县校级模拟）已知实数，满足约束条件则的最大值是A． B． C． D．9．（2023•武功县校级模拟）已知实数，满足线性约束条件，则的取值范围为A．， B． C． D．，10．（2023•河南模拟）记不等式组的解集为，现有下面四个命题：，；，；，；，．其中真命题的个数是A．1 B．2 C．3 D．4二．填空题（共10小题）11．（2024•日照一模）设满足：对任意，均存在，使得，则实数的取值范围是．12．（2024•浙江一模）已知，，，二次函数有零点，则的最小值是．13．（2024•荆州模拟）若存在正实数，，满足，且，则的最小值为14．（2024•海淀区校级模拟）已知函数在区间，上的最大值为，当实数，变化时，最小值为．15．（2024•新城区校级模拟）已知实数，满足，则的最小值是．16．（2024•五华区校级模拟）我们知道，二次函数的图象是抛物线．已知函数，则它的焦点坐标为．17．（2024•咸阳模拟）设，满足约束条件，设，则的取值范围为．18．（2023•甘肃模拟）若实数，满足约束条件则的最大值是．19．（2023•涪城区校级模拟）若实数，满足，则的取值范围是20．（2023•江西模拟）已知实数，满足，则的取值范围是三．解答题（共5小题）21．（2024•东兴区校级模拟）已知．（1）若，求的最大值，并求出此时的值；（2）若且，求的最大值．22．（2023•南阳模拟）已知函数．（1）当时，求函数在，上的值域；（2）当时，求函数在，上的最大值．23．（2023•南阳模拟）已知集合是函数的定义域，集合是不等式的解集，，．（1）若，求实数的取值范围；（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．24．（2023•澳门模拟）设，满足．（a）画出满足以上不等式组的区域．（b）设，求的取值范围．（c）设，求的最小值．25．（2023•和平区校级一模）在①（4），（3），②当时，取得最大值3，③，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．问题：已知函数，且_______．（1）求的解析式；（2）若在，上的值域为，，求的值．

2025年菁优高考数学压轴训练5参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．（2024•南宫市校级模拟）设函数．若对任意的，，总存在，，使得，则实数的取值范围是A． B．， C．， D．，【答案】【考点】二次函数的性质与图象【专题】函数的性质及应用；综合法；计算题；数学运算；转化思想【分析】分情况讨论不同取值时函数在，上的范围，从而确定的最大值，将对任意实数，，总存在实数，使得不等式成立，转化为恒成立，即可解决．【解答】解：设的最大值为（b），令，，，若对任意的，，总存在，，使得，则（b）．，（4），．（1）当△，即时，（b），（4），若，即，则，若，即，则．（2）当△，即时，①当，即时，令，得，若，则（b），若，则（b）．②当，即时，令，得，若，则（b），若，则（b）．③当，即时，若，则，若，，（Ⅰ）若，即，则，（Ⅱ）若，即，则．④当，即时，若，则，若时，，（Ⅰ）若，则，（Ⅱ）若，则．综上所述，（b），所以实数的取值范围为，．故选：．【点评】本题考查函数的单调性，和存在性问题的转化，属于难题．2．（2024•北京）已知，，，是平面直角坐标系中的点集．设是中两点间的距离的最大值，是表示的图形的面积，则A．， B．， C． D．【答案】【考点】简单线性规划【专题】数学运算；数形结合法；数形结合；函数的性质及应用【分析】根据已知条件，作出图象，结合图象即可得出答案．【解答】解：集合，，表示的图形如下图阴影部分所示，由图象可知，，．故选：．【点评】本题考查简单的线性规划问题，涉及了二次函数的图象，考查数形结合思想，属于中档题．3．（2024•青羊区校级模拟）若存在满足，且使得等式成立，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围是A．， B．， C． D．，【考点】：简单线性规划【专题】35：转化思想；：换元法；：构造法；51：函数的性质及应用；59：不等式的解法及应用【分析】画出不等式组表示的平面区域，把化为，设，求出的取值范围；构造函数，利用导数求出函数的最小值，建立不等式求实数的取值范围．【解答】解：画出不等式组表示的平面区域，如图所示；，，；可化为，设，其中；，令，，则，，当时，（e），当时，（e），（e），，解得或；又值不可能为负值，实数的取值范围是，．故选：．【点评】本题考查了线性规划以及函数与不等式的综合应用问题，是难题．4．（2024•宁波模拟）已知集合且，若中的点均在直线的同一侧，则实数的取值范围为A．，， B． C．，， D．【答案】【考点】简单线性规划【专题】整体思想；计算题；数学运算；综合法；函数的性质及应用【分析】依题意可得，令，求出与的交点坐标，依题意只需（1）或，即可求出的取值范围．【解答】解：依题意集合即为关于，的方程组的解集，显然，所以，即，令，由，解得或，即函数与的交点坐标为和，又，所以为奇函数，因为与在上单调递减，所以在上单调递减，则在上单调递减，依题意与的交点在直线的同侧，只需（1）或，即或，所以实数的取值范围为，，．故选：．【点评】本题考查了函数单调性和参数的计算，属于中档题．5．（2024•莲湖区校级模拟）若，满足约束条件则的最小值为A．0 B． C． D．【答案】【考点】简单线性规划【专题】数学运算；转化思想；不等式的解法及应用；综合法【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数即可得解．【解答】解：如图所示，画出可行域，联立，解得，即，由，得，由图可知当直线经过点时，取得最小值，最小值为．故选：．【点评】本题考查线性规划，考查学生的运算能力及分析能力，属于中档题．6．（2024•松江区二模）已知某个三角形的三边长为、及，其中．若，是函数的两个零点，则的取值范围是A． B． C． D．【答案】【考点】二次函数的性质与图象【专题】函数思想；计算题；数学运算；函数的性质及应用；综合法【分析】由，为函数的两个零点可得，即可得，结合题意可得．【解答】解：由，为函数的两个零点，故有，即恒成立，故，，则，由，，为某三角形的三边长，且，故，且，则，因为必然成立，所以，即，解得，所以，．故选：．【点评】本题主要考查函数的零点，属于中档题．7．（2024•莲湖区校级模拟）设，满足约束条件，则的最大值为A． B．1 C． D．2【答案】【考点】简单线性规划【专题】不等式的解法及应用；数形结合法；数形结合；数学运算【分析】首先画可行域，再根据目标函数的几何意义，利用数形结合，即可求解．【解答】解：如图，可行域为直线，，所围成的区域，的值为内一点与点连线的斜率，联立，得，，故该点取，的交点时斜率最大，故的最大值为．故选：．【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是中档题．8．（2024•永寿县校级模拟）已知实数，满足约束条件则的最大值是A． B． C． D．【答案】【考点】简单线性规划【专题】综合法；数学运算；不等式的解法及应用；转化思想【分析】利用分式函数的性质，转化为直线的斜率，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：由题意知，实数，满足约束条件，则可行域如图中阴影部分所示（包含边界），目标函数的几何意义是定点与可行域内的点连线所在直线的斜率，由图知，当目标函数经过点时，目标函数取得最大值，联立，解得，所以，所以的最大值为．故选：．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．9．（2023•武功县校级模拟）已知实数，满足线性约束条件，则的取值范围为A．， B． C． D．，【答案】【考点】简单线性规划【专题】转化思想；数学运算；数形结合法；不等式的解法及应用【分析】画出可行域，由的几何意义是到原点距离的平方，求出最值，得到取值范围．【解答】解：画出可行域，如下阴影部分：的几何意义是到原点距离的平方，数形结合得到点到原点的距离最小，故最小值为1，由于与互相垂直，设垂足为，故点到原点的距离的平方最大，令中得，故，将代入中，可得的最大值为，所以的取值范围为．故选：．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键，属于中档题．10．（2023•河南模拟）记不等式组的解集为，现有下面四个命题：，；，；，；，．其中真命题的个数是A．1 B．2 C．3 D．4【答案】【考点】命题的真假判断与应用；简单线性规划；其他不等式的解法【专题】数形结合法；数学运算；转化思想；不等式的解法及应用【分析】依题意，作出线性规划图，对、、、四个选项逐一判断分析即可．【解答】解：不等式组的解集为，作出平面区域：由图可知，在阴影区域中，对于，，正确；，，错误；，，代入不成立，错误；，，正确．故选：．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，作出平面区域是关键，考查分析与作图能力，属于中档题．二．填空题（共10小题）11．（2024•日照一模）设满足：对任意，均存在，使得，则实数的取值范围是，．【答案】，．【考点】二次函数的性质与图象【专题】数学运算；计算题；整体思想；综合法；函数的性质及应用【分析】令，由题意，利用二次函数性质求得最值列不等式求解即可．【解答】解：令．因为对任意，均存在，使得，所以的值域是值域的子集，所以，即，解得，即的取值范围是，．故答案为：，．【点评】本题主要考查二次函数的性质，属于中档题．12．（2024•浙江一模）已知，，，二次函数有零点，则的最小值是．【答案】．【考点】基本不等式及其应用；二次函数的性质与图象【专题】数形结合法；数学运算；函数的性质及应用；方程思想【分析】利用，即可求解．【解答】解：因，，，二次函数有零点，所以△．设，，其中，，则，即．则：．令，由对数函数性质得，函数在，上单调递增，所以函数有最小值．即．当且仅当取等，即时取等．故答案为：．【点评】本题考查了基本不等式的应用，属于难题．13．（2024•荆州模拟）若存在正实数，，满足，且，则的最小值为【考点】：简单线性规划【专题】49：综合法；35：转化思想；52：导数的概念及应用【分析】由，又，令，则，，，利用函数求导求最值．【解答】解：正实数，，满足，，，，，令，则，，，，则，可得在递减，在递增，，即，的最小值为，故答案为：．【点评】本题考查了利用函数的思想求范围问题；关键是将所求转化为已知自变量范围的函数解析式，利用求导得到最值，属于难题．14．（2024•海淀区校级模拟）已知函数在区间，上的最大值为，当实数，变化时，最小值为2．【考点】二次函数的性质与图象；函数的最值【专题】计算题；转化思想；数学运算；综合法；函数的性质及应用【分析】根据题意，可得，则即为函数与函数图象上点的纵坐标差的绝对值的最大值，因此作出图象，根据图象观察即可得出答案．【解答】解：，函数可理解为：当横坐标相同时，函数，，与函数，，图象上点的纵向距离，则即为函数与函数图象上点的纵坐标差的绝对值的最大值，由图象可知：当函数的图象刚好为时，取得最小值为2，此时，且，即，．故答案为：2．【点评】本题主要考查二次函数的图象与性质、函数的最值及其几何意义等知识，属于中档题．15．（2024•新城区校级模拟）已知实数，满足，则的最小值是．【考点】简单线性规划【专题】数学运算；转化思想；不等式的解法及应用；数形结合法【分析】作出可行域，利用平移法即可求出目标函数的最小值．【解答】解：画出可行域，令，则，当直线经过时，直线在轴上的截距最大，此时取得最小值，故最小值为：．故答案为：．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键，属于中档题．16．（2024•五华区校级模拟）我们知道，二次函数的图象是抛物线．已知函数，则它的焦点坐标为，．【答案】．【考点】二次函数的性质与图象【专题】综合法；函数的性质及应用；数学运算；计算题；函数思想【分析】，函数图象向左平移个单位得的图象，求出的焦点，即可得结果．【解答】解：，将函数图象向左平移个单位，得到的图象，即，它表示的曲线是以为焦点的抛物线，则原函数图象的焦点坐标为．故答案为：．【点评】本题主要考查二次函数图像的平移，属于中档题．17．（2024•咸阳模拟）设，满足约束条件，设，则的取值范围为，．【答案】，．【考点】简单线性规划【专题】数学运算；不等式；方程思想；计算题；转化思想；数形结合；综合法【分析】根据题意，分析可得，设，作出不等式组对应的平面区域，分析的几何意义，并求出的取值范围，进而计算可得答案．【解答】解：根据题意，作出不等式组对应的平面区域，为图中的及其内部，但不包含边，其中，，，设，则，其几何意义为平面区域内任意一点与点连线的斜率，设，则，，则，则有，又由，故，即的取值范围为，．故答案为：，．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合以及目标函数的几何意义是解决本题的关键，属于中档题．18．（2023•甘肃模拟）若实数，满足约束条件则的最大值是4．【答案】4．【考点】简单线性规划【专题】综合法；不等式的解法及应用；数学运算；数形结合【分析】先根据约束条件件画出可行域，再转化目标函数，把求目标函数的最值问题转化成求截距的最值问题，找到最优解代入求值即可．【解答】解：由约束条件，画出可行域如图，目标函数可化为：，得到一簇斜率为，截距为的平行线，要求的最大值，须满足截距最大，当目标函数过点或时截距最大，由可得，由可得，，的最大值为4．故答案为：4．【点评】本题考查线性规划，要求可行域要画准确，还需特别注意目标函数的斜率与边界直线的斜率的大小关系，即要注意目标函数与边界直线的倾斜程度．属简单题．19．（2023•涪城区校级模拟）若实数，满足，则的取值范围是，【考点】简单线性规划【专题】计算题；数形结合；转化思想；综合法；不等式【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：实数，满足的可行域如图的阴影部分：的几何意义是可行域内的点与坐标原点的连线的距离的平方，由图形可知最小值为的平方，最大值为的平方，，可得．故答案为：，．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．20．（2023•江西模拟）已知实数，满足，则的取值范围是【答案】．【考点】简单线性规划【专题】不等式的解法及应用；数学运算；转化思想；数形结合法【分析】由约束条件作出可行域，求出的范围，再由求解．【解答】解：由约束条件直线可行域如图：联立，解得，联立，解得，，，．．的取值范围是．故答案为：．【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是中档题．三．解答题（共5小题）21．（2024•东兴区校级模拟）已知．（1）若，求的最大值，并求出此时的值；（2）若且，求的最大值．【答案】（1）的最大值为3，此时；（2）3．【考点】二次函数的应用；一元二次方程的根的分布与系数的关系；运用基本不等式求最值【专题】不等式；数学运算；转化思想；逻辑推理；综合法【分析】（1）设，则，代入中，得，设，根据一元二次方程根的分布得到不等式，求出，进而可得答案；（2）设，由于，，故，将代入等式中得，根据根的判别式得到，验证当时满足要求，从而得到最大值．【解答】解：（1）设，则，代入，得，即，令，开口向上，则，要想在上有解，则（1）或，由（1），解得，由，即，解得，综上，，故的最大值为3，此时，解得．（2）设，由于且，故，将代入中，得，即，△，要想方程在上有解，则△，解得，又，故，当时，，即，解得，此时，符合要求，故的最大值为3．【点评】本题考查一元二次方程根的分布与二次函数图象的关系，考查转化思想，属于中档题．22．（2023•南阳模拟）已知函数．（1）当时，求函数在，上的值域；（2）当时，求函数在，上的最大值．【答案】（1）值域是，；（2）．【考点】二次函数的值域；二次函数的最值【专题】转化思想；数学运算；计算题；综合法；函数的性质及应用；逻辑推理【分析】（1）函数在，上单调递减，在，上单调递增，可得函数在区间，上的值域；（2）当时，，分类讨论，即可求函数在区间，上的最大值．【解答】解：（1）当时，，其图象对称轴为直线；所以函数在，上单调递减，在，上单调递增，，，，（3），函数在区间，上的值域是，；（2）当时，，当，函数在区间，上的最大值；当，函数在区间，上的最大值；函数在区间，上的最大值．【点评】本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，二次函数的性质的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．23．（2023•南阳模拟）已知集合是函数的定义域，集合是不等式的解集，，．（1）若，求实数的取值范围；（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．【考点】充分条件、必要条件、充要条件；函数的定义域及其求法；一元二次不等式及其应用【专题】转化思想；转化法；简易逻辑【分析】（1）分别求函数的定义域和不等式的解集化简集合，由得到区间端点值之间的关系，解不等式组得到的取值范围；（2）求出对应的的取值范围，由是的充分不必要条件得到对应集合之间的关系，由区间端点值的关系列不等式组求解的范围．【解答】解：（1）由条件，得，或若，则必须满足所以的取值范围为，；（2）易得或，是的充分不必要条件，或是或的真子集，则，，的取值范围为，．【点评】本题考查的知识点是充要条件的定义，正确理解充要条件的定义，是解答的关键．24．（2023•澳门模拟）设，满足．（a）画出满足以上不等式组的区域．（b）设，求的取值范围．（c）设，求的最小值．【答案】（a）见解答．（b），．（c）的最小值为13．【考点】简单线性规划【专题】综合法；转化思想；计算题；数形结合；数学运算；不等式的解法及应用【分析】（a）利用约束条件，画出不等式组的平面区域．（b）通过的几何意义，求解可行域的得到的值，即可求的取值范围．（c）通过的几何意义，转化求解的最小值即可．【解答】解：（a），满足的可行域如图：（b）的几何意义是和原点的直线的斜率．求解3条直线的交点可得，和．那么在给定区域内变动时，的最小值可以在的取得，最大值可在点处取得，因此．，．（c）的几何意义是点和原点距离的平方．转化为原点到的距离的平方，即，的最小值为13．【点评】本题考查线性规划的应用，考查数形结合以及计算能力，是中档题．25．（2023•和平区校级一模）在①（4），（3），②当时，取得最大值3，③，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．问题：已知函数，且_______．（1）求的解析式；（2）若在，上的值域为，，求的值．【答案】（1）；（2）．【考点】函数解析式的求解及常用方法；二次函数的性质与图象；函数的值域【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用；数学运算【分析】（1）分别选①②③，得到关于，的方程组，解出即可求出的解析式；（2）根据函数的值域以及二次函数的性质求出的值即可．【解答】解：（1）若选①，由题意可得解得，，故；若选②，由题意可得解得，，故；若选③，因为，所以图象的对称轴方程为，则，即，因为，所以，故．（2）因为在上的值域为，，所以，即，因为图象的对称轴方程为，且，所以在，上单调递增，则整理得，即，因为，所以，即．【点评】本题考查了二次函数的性质，考查转化思想，是中档题．

考点卡片1．充分条件与必要条件【知识点的认识】1、判断：当命题“若p则q”为真时，可表示为p⇒q，称p为q的充分条件，q是p的必要条件．事实上，与“p⇒q”等价的逆否命题是“￢q⇒￢p”．它的意义是：若q不成立，则p一定不成立．这就是说，q对于p是必不可少的，所以说q是p的必要条件．例如：p：x＞2；q：x＞0．显然x∈p，则x∈q．等价于x∉q，则x∉p一定成立．2、充要条件：如果既有“p⇒q”，又有“q⇒p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“p⇔q”．p与q互为充要条件．【解题方法点拨】充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的既不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．【命题方向】充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广．2．命题的真假判断与应用【知识点的认识】判断含有“或”、“且”、“非”的复合命题的真假，首先要明确p、q及非p的真假，然后由真值表判断复合命题的真假．注意：“非p”的正确写法，本题不应将“非p”写成“方程x2﹣2x+1＝0的两根都不是实根”，因为“都是”的反面是“不都是”，而不是“都不是”，要认真区分．【解题方法点拨】1．判断复合命题的真假，常分三步：先确定复合命题的构成形式，再指出其中简单命题的真假，最后由真值表得出复合命题的真假．2．判断一个“若p则q”形式的复合命题的真假，不能用真值表时，可用下列方法：若“pq”，则“若p则q”为真；而要确定“若p则q”为假，只需举出一个反例说明即可．3．判断逆命题、否命题、逆否命题的真假，有时可利用原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假这一关系进行转化判断．【命题方向】该部分内容是《课程标准》新增加的内容，几乎年年都考，涉及知识点多而且全，多以小题形式出现．3．基本不等式及其应用【知识点的认识】基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等于它们的算术平均数．公式为：≥（a≥0，b≥0），变形为ab≤（）2或者a+b≥2．常常用于求最值和值域．实例解析例1：下列结论中，错用基本不等式做依据的是．A：a，b均为负数，则．B：．C：．D：．解：根据均值不等式解题必须满足三个基本条件：“一正，二定、三相等”可知A、B、D均满足条件．对于C选项中sinx≠±2，不满足“相等”的条件，再者sinx可以取到负值．故选：C．A选项告诉我们正数的要求是整个式子为正数，而不是式子当中的某一个组成元素；B分子其实可以写成x2+1+1，然后除以分母就可换成基本不等式．这个例题告诉我们对于一个式子也是可以用基本不等式的，而且求最值也很方便．例2：利用基本不等式求的最值？当0＜x＜1时，如何求的最大值．解：当x＝0时，y＝0，当x≠0时，＝，用基本不等式若x＞0时，0＜y≤，若x＜0时，﹣≤y＜0，综上得，可以得出﹣≤y≤，∴的最值是﹣与．这是基本不等式在函数中的应用，他的解题思路是首先判断元素是否大于0，没有明确表示的话就需要讨论；然后把他化成基本不等式的形式，也就是化成两个元素（函数）相加，而他们的特点是相乘后为常数；最后套用基本不等式定理直接求的结果．【解题方法点拨】基本不等式的应用1、求最值例1：求下列函数的值域．2、利用基本不等式证明不等式3、基本不等式与恒成立问题4、均值定理在比较大小中的应用【命题方向】技巧一：凑项点评：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值．技巧二：凑系数例2：当0＜x＜4时，求y＝x（8﹣2x）的最大值．解析：由0＜x＜4知，8﹣2x＞0，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值．注意到2x+（8﹣2x）＝8为定值，故只需将y＝x（8﹣2x）凑上一个系数即可．y＝x（8﹣2x）＝[2x•（8﹣2x）]≤（）2＝8当2x＝8﹣2x，即x＝2时取等号，当x＝2时，y＝x（8﹣x2）的最大值为8．评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值．技巧三：分离例3：求y＝的值域．解：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x+1）的项，再将其分离．y＝＝＝（x+1）++5，当x＞﹣1，即x+1＞0时，y≥2+5＝9（当且仅当x＝1时取“＝”号）技巧四：换元对于上面例3，可先换元，令t＝x+1，化简原式在分离求最值．技巧五：结合函数f（x）＝x+的单调性．技巧六：整体代换点评：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错．技巧七：取平方点评：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造了条件．总之，我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用基本不等式．4．运用基本不等式求最值【知识点的认识】基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等于它们的算术平均数．公式为：≥（a≥0，b≥0），变形为ab≤（）2或者a+b≥2．【解题方法点拨】在运用均值不等式求最值时，可以将代数式分解成可以应用均值不等式的形式．例如，要求代数式x+的最小值，可以利用均值不等式从而得出最小值为2，并且在x＝1时取到最小值．需要注意的是，运用不等式时要确保代入的数值符合不等式的适用范围，并进行必要的等号条件验证．【命题方向】均值不等式求最值的命题方向包括代数表达式的最值求解、几何图形的最优设计等．例如，求解一个代数式的最小值，或设计一个几何图形使其面积最大．这类题型要求学生能够灵活运用均值不等式进行最值求解，并能正确代入和计算．已知正数a，b满足a+b＝1，则的最大值是_____．解：因为正数a，b满足a+b＝1，所以a+1+b+1＝3，则＝，当且仅当a＝b＝时取等号．故答案为：．5．其他不等式的解法【知识点的认识】指、对数不等式的解法其实最主要的就是两点，第一点是判断指、对数的单调性，第二点就是学会指数和指数，对数和对数之间的运算，下面以例题为讲解．【解题方法点拨】例1：已知函数f（x）＝ex﹣1（e是自然对数的底数）．证明：对任意的实数x，不等式f（x）≥x恒成立．解：（I）设h（x）＝f（x）﹣x＝ex﹣1﹣x∴h'（x）＝ex﹣1﹣1，当x＞1时，h'（x）＞0，h（x）为增，当x＜1时，h'（x）＜0，h（x）为减，当x＝1时，h（x）取最小值h（1）＝0．∴h（x）≥h（1）＝0，即f（x）≥x．这里面是一个综合题，解题的思路主要还是判断函数的单调性，尤其是指数函数的单调性，考查的重点其实是大家的计算能力．例2：已知函数f（x）＝loga（x﹣1），g（x）＝loga（3﹣x）（a＞0且a≠1），利用对数函数的单调性，讨论不等式f（x）≥g（x）中x的取值范围．解：∵不等式f（x）≥g（x），即loga（x﹣1）≥loga（3﹣x），∴当a＞1时，有，解得2＜x＜3．当1＞a＞0时，有，解得1＜x＜2．综上可得，当a＞1时，不等式f（x）≥g（x）中x的取值范围为（2，3）；当1＞a＞0时，不等式f（x）≥g（x）中x的取值范围为（1，2）．这个题考查的就是对数函数不等式的求解，可以看出主要还是求单调性，当然也可以右边移到左边，然后变成一个对数函数来求解也可以．【命题方向】本考点其实主要是学会判断各函数的单调性，然后重点考察学生的运算能力，也是一个比较重要的考点，希望大家好好学习．6．二次函数的性质与图象【知识点的认识】二次函数相对于一次函数而言，顾名思义就知道它的次数为二次，且仅有一个自变量，因变量随着自变量的变化而变化．它的一般表达式为：y＝ax2+bx+c（a≠0）【解题方法点拨】二次函数是一个很重要的知识点，不管在前面的选择题填空题还是解析几何里面，或是代数综合体都有可能出题，其性质主要有初中学的开口方向、对称性、最值、几个根的判定、韦达定理以及高中学的抛物线的焦点、准线和曲线的平移．这里面略谈一下他的一些性质．①开口、对称轴、最值与x轴交点个数，当a＞0（＜0）时，图象开口向上（向下）；对称轴x＝﹣；最值为：f（﹣）；判别式△＝b2﹣4ac，当△＝0时，函数与x轴只有一个交点；△＞0时，与x轴有两个交点；当△＜0时无交点．②根与系数的关系．若△≥0，且x1、x2为方程y＝ax2+bx+c的两根，则有x1+x2＝﹣，x1•x2＝；③二次函数其实也就是抛物线，所以x2＝2py的焦点为（0，），准线方程为y＝﹣，含义为抛物线上的点到到焦点的距离等于到准线的距离．④平移：当y＝a（x+b）2+c向右平移一个单位时，函数变成y＝a（x﹣1+b）2+c；【命题方向】熟悉二次函数的性质，会画出抛物线的准确形状，特别是注意抛物线焦点和准线的关系，抛物线最值得取得，这也是一个常考点．7．二次函数的值域【知识点的认识】二次函数相对于一次函数而言，顾名思义就知道它的次数为二次，且仅有一个自变量，因变量随着自变量的变化而变化．它的一般表达式为：y＝ax2+bx+c（a≠0）【解题方法点拨】二次函数是一个很重要的知识点，不管在前面的选择题填空题还是解析几何里面，或是代数综合体都有可能出题，其性质主要有初中学的开口方向、对称性、最值、几个根的判定、韦达定理以及高中学的抛物线的焦点、准线和曲线的平移．﹣确定二次函数的开口方向（通过a的正负判断）．﹣计算顶点x坐标，．﹣计算顶点处的函数值．﹣根据开口方向确定值域范围．【命题方向】主要考查求二次函数的值域，涉及开口方向、顶点的计算及实际应用问题．函数f（x）＝x2+x﹣2（x∈[0，2]）的值域是_____．解：函数f（x）＝x2+x﹣2的对称轴为，故函数f（x）＝x2+x﹣2在[0，2]上单调递增，又f（0）＝﹣2，f（2）＝4，所以函数f（x）＝x2+x﹣2（x∈[0，2]）的值域是[﹣2，4]．8．二次函数的最值【知识点的认识】二次函数相对于一次函数而言，顾名思义就知道它的次数为二次，且仅有一个自变量，因变量随着自变量的变化而变化．它的一般表达式为：y＝ax2+bx+c（a≠0）【解题方法点拨】二次函数是一个很重要的知识点，不管在前面的选择题填空题还是解析几何里面，或是代数综合体都有可能出题，其性质主要有初中学的开口方向、对称性、最值、几个根的判定、韦达定理以及高中学的抛物线的焦点、准线和曲线的平移．二次函数的最值出现在顶点处．对于f（x）＝ax2+bx+c，最值为，根据a的正负判断最值类型．﹣计算顶点x坐标．﹣计算顶点处的函数值．﹣根据a的正负判断最值类型（最大值或最小值）．【命题方向】主要考查二次函数最值的计算与应用题．设a为实数，若函数y＝﹣x2﹣2x+3在区间[a，2]上的最大值为，则a的值为_____．解：函数y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，对称轴为x＝﹣1，当a≤﹣1时，则x＝﹣1时，函数取得最大值为4，不满足题意；当﹣1＜a≤2时，则x＝a时，函数y＝﹣x2﹣2x+3在区间[a，2]上的最大值为，即﹣a2﹣2a+3＝，解得a＝﹣或a＝﹣（舍），综上，a的值为﹣．故选：C．9．二次函数的应用【知识点的认识】二次函数相对于一次函数而言，顾名思义就知道它的次数为二次，且仅有一个自变量，因变量随着自变量的变化而变化．它的一般表达式为：y＝ax2+bx+c（a≠0）【解题方法点拨】二次函数是一个很重要的知识点，不管在前面的选择题填空题还是解析几何里面，或是代数综合体都有可能出题，其性质主要有初中学的开口方向、对称性、最值、几个根的判定、韦达定理以及高中学的抛物线的焦点、准线和曲线的平移．﹣分析实际问题，抽象出二次函数模型．﹣确定二次函数的解析式，结合实际情况求解相关参数．﹣运用二次函数性质求解实际问题，如最值、单调性等．【命题方向】常见的应用题包括抛物线轨迹问题、工程优化设计问题等，考查学生将实际问题转化为数学模型并求解的能力．2016年，某厂计划生产25吨至45吨的某种产品，已知生产该产品的总成本y（万元）与总产量x（吨）之间的关系可表示为．若该产品的出厂价为每吨6万元，求该厂2016年获得利润的最大值．解：设利润为g（x），则，当x＝40时，g（x）max＝70万元；10．一元二次不等式及其应用【知识点的认识】含有一个未知数且未知数的最高次数为2的不等式叫做一元二次不等式．它的一般形式是ax2+bx+c＞0或ax2+bx+c＜0（a不等于0）其中ax2+bx+c是实数域内的二次三项式．特征当△＝b2﹣4ac＞0时，一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x﹣x1）（x﹣x2）当△＝b2﹣4ac＝0时，一元二次方程ax2+bx+c＝0仅有一个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x﹣x1）2．当△＝b2﹣4ac＜0时．一元二次方程ax2+bx+c＝0没有实根，那么ax2+bx+c与x轴没有交点．【解题方法点拨】例1：一元二次不等式x2＜x+6的解集为．解：原不等式可变形为（x﹣3）（x+2）＜0所以，﹣2＜x＜3故答案为：（﹣2，3）．这个题的特点是首先它把题干变了形，在这里我们必须要移项写成ax2+bx+c＜0的形式；然后应用了特征当中的第一条，把它写成两个一元一次函数的乘积，所用的方法是十字相乘法；最后结合其图象便可求解．【命题方向】①一元二次不等式恒成立问题：一元二次不等式ax2+bx+c＞0的解集是R的等价条件是：a＞0且△＜0；一元二次不等式ax2+bx+c＜0的解集是R的等价条件是：a＜0且△＜0．②分式不等式问题：＞0⇔f（x）•g（x）＞0；＜0⇔f（x）•g（x）＜0；≥0⇔；≤0⇔．11．一元二次方程的根的分布与系数的关系【知识点的认识】一元二次方程根与系数的关系其实可以用一个式子来表达，即当ax2+bx+c＝0（a≠0）有解时，不妨设它的解为x1，x2，那么这个方程可以写成ax2﹣a（x1+x2）x+ax1•x2＝0．即x2﹣（x1+x2）x+x1•x2＝0．它表示根与系数有如下关系：x1+x2＝﹣，x1•x2＝．【解题方法点拨】例：利用根与系数的关系求出二次项系数为1的一元二次方程，使它的两根分别是方程x2﹣3x+1＝0两根的平方．解：方程x2﹣3x+1＝0中，∵a＝1，b＝﹣3，c＝1，∴△＝9﹣4＝5＞0，即方程有两个不相等的实数根，设方程两根分别为x1，x2，∴x1+x2＝3，x1x2＝1，∴（x1+x2）2＝++2x1x2，即9＝++2，∴+＝7，又＝（x1x2）2＝1，且所求方程二次项系数为1，则所求方程为x2﹣7x+1＝0．这个题基本上是套用定理，唯一注意的是x1+x2与x1•x2可以变换，不管是变成加还是减还是倒数，都可以应用上面的公式（韦达定理）．【命题方向】首先申明，这是必考点．一般都是在解析几何里面，通过联立方程，求出两交点的横坐标与系数的关系，然后通过这个关系去求距离，或者斜率的积等等．所以在复习的时候要结合解析几何一同复习效果更佳．12．简单线性规划【知识点的认识】线性规划主要用于解决生活、生产中的资源利用、人力调配、生产安排等问题，它是一种重要的数学模型．简单的线性规划指的是目标函数含两个自变量的线性规划，其最优解可以用数形结合方法求出．我们高中阶段接触的主要是由三个二元一次不等式组限制的可行域，然后在这个可行域上面求某函数的最值或者是斜率的最值．【解题方法点拨】1．画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化．2．在通过求直线的截距的最值间接求出z的最值时，要注意：当b＞0时，截距取最大值时，z也取最大值；截距取最小值时，z也取最小值；当b＜0时，截距取最大值时，z取最小值；截距取最小值时，z取最大值．【命题方向】例：若目标函数z＝x+y中变量x，y满足约束条件．（1）试确定可行域的面积；（2）求出该线性规划问题中所有的最优解．解：（1）作出可行域如图：对应得区域为直角三角形ABC，其中B（4，3），A（2，3），C（4，2），则可行域的面积S＝＝．（2）由z＝x+y，得y＝﹣x+z，则平移直线y＝﹣x+z，则由图象可知当直线经过点A（2，3）时，直线y＝﹣x+z得截距最小，此时z最小为z＝2+3＝5，当直线经过点B（4，3）时，直线y＝﹣x+z得截距最大，此时z最大为z＝4+3＝7，故该线性规划问题中所有的最优解为（4，3），（2，3）这是高中阶段接触最多的关于线性规划的题型，解这种题一律先画图，把每条直线在同一个坐标系中表示出来，然后确定所表示的可行域，也即范围；最后通过目标函数的平移去找到它的最值．题型一：二元一次不等式（组）表示的平面区域典例1：若不等式组所表示的平面区域被直线y＝kx+分为面积相等的两部分，则k的值是（）A．B．C．D．分析：画出平面区域，显然点（0，）在已知的平面区域内，直线系过定点（0，），结合图形寻找直线平分平面区域面积的条件即可．解答：不等式组表示的平面区域如图所示．由于直线y＝kx+过定点（0，）．因此只有直线过AB中点时，直线y＝kx+能平分平面区域．因为A（1，1），B（0，4），所以AB中点D（，）．当y＝kx+过点（，）时，＝+，所以k＝．答案：A．点评：二元一次不等式（组）表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域．注意不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线．测试点可以选一个，也可以选多个，若直线不过原点，则测试点常选取原点．题型二：求线性目标函数的最值典例2：设x，y满足约束条件：，求z＝x+y的最大值与最小值．分析：作可行域后，通过平移直线l0：x+y＝0来寻找最优解，求出目标函数的最值．解答：先作可行域，如图所示中△ABC的区域，且求得A（5，2）、B（1，1）、C（1，），作出直线l0：x+y＝0，再将直线l0平移，当l0的平行线l1过点B时，可使z＝x+y达到最小值；当l0的平行线l2过点A时，可使z＝x+y达到最大值．故zmin＝2，zmax＝7．点评：（1）线性目标函数的最大（小）值一般在可行域的顶点处取得，也可能在边界处取得．（2）求线性目标函数的最优解，要注意分析线性目标函数所表示的几何意义，明确和直线的纵截距的关系．题型三：实际生活中的线性规划问题典例3：某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：年产量/亩年种植成本/亩每吨售价黄瓜4吨1.2万元0.55万元韭菜6吨0.9万元0.3万元为使一年的种植总利润（总利润＝总销售收入﹣总种植成本）最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积（单位：亩）分别为（）A．50，0B．30，20C．20，30D．0，50分析：根据线性规划解决实际问题，要先用字母表示变量，找出各量的关系列出约束条件，设出目标函数，转化为线性规划问题．解析设种植黄瓜x亩，韭菜y亩