2025年菁优高考数学解密之双曲线

Page2025年菁优高考数学解密之双曲线一．选择题（共10小题）1．（2024•安徽二模）已知，是双曲线的左、右焦点，若双曲线上存在点满足，则双曲线离心率的最小值为A． B． C． D．2．（2024•昆明一模）双曲线的渐近线方程是A． B． C． D．3．（2024•四川模拟）已知双曲线的渐近线方程为，则A． B．1 C． D．34．（2024•海淀区校级三模）在平面直角坐标系中，已知双曲线的左、右焦点分别为，，为双曲线右支上一点，连接交轴于点．若△为等边三角形，则双曲线的离心率为A． B． C． D．5．（2024•浙江模拟）双曲线的左、右焦点为，，直线过点且平行于的一条渐近线，交于点，若，则的离心率为A． B．2 C． D．36．（2024•江西一模）已知双曲线的左、右焦点分别为、，点为关于渐近线的对称点．若，且△的面积为8，则的方程为A． B． C． D．7．（2024•回忆版）已知双曲线的两个焦点分别为，，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为A．4 B．3 C．2 D．8．（2024•汉中一模）已知双曲线的一条渐近线的斜率为2，则A． B．4 C． D．9．（2024•天津）双曲线的左、右焦点分别为、．是双曲线右支上一点，且直线的斜率为2，△是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为A． B． C． D．10．（2024•阜阳模拟）已知双曲线的焦距为4，则该双曲线经过一、三象限的渐近线的斜率为A． B． C． D．二．多选题（共5小题）11．（2024•安徽模拟）已知双曲线，过原点的直线，分别交双曲线于，和，四点，，，四点逆时针排列），且两直线斜率之积为，则下列结论正确的是A．四边形一定是平行四边形 B．四边形可能为菱形 C．的中点可能为 D．的值可能为12．（2024•长沙模拟）已知双曲线的右焦点为，动点，在直线上，且，线段，分别交于，两点，过作的垂线，垂足为．设的面积为，的面积为，则A． B． C．恒为定值 D．的最小值为13．（2024•河北模拟）已知双曲线的左顶点为，右焦点为，过点且倾斜角为的直线顺次交两条渐近线和的右支于、、，且，则下列结论正确的是A．离心率为 B． C． D．14．（2024•乌鲁木齐模拟）已知双曲线的右焦点为，过原点作斜率为的直线交双曲线于，两点，且，则的可能取值是A． B． C． D．15．（2024•保定三模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与的左支相交于，两点，若，且，则A． B． C．的离心率为 D．直线的斜率为三．填空题（共5小题）16．（2024•回忆版）设双曲线的左、右焦点分别为，，过作平行于轴的直线交于，两点，若，，则的离心率为．17．（2024•浙江模拟）已知双曲线为双曲线的左右焦点，过作斜率为正的直线交双曲线左支于，，，两点，若，，则双曲线的离心率是．18．（2024•吴忠模拟）若双曲线的一条渐近线方程是，则的离心率为．19．（2024•闵行区二模）双曲线的左右焦点分别为、，过坐标原点的直线与相交于、两点，若，则．20．（2024•辽宁模拟）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点作斜率为的直线与的右支交于点，且点满足，且，则的离心率是．四．解答题（共5小题）21．（2024•盐湖区一模）已知、是双曲线的左、右焦点，直线经过双曲线的左焦点，与双曲线左、右两支分别相交于、两点．（1）求直线斜率的取值范围；（2）若，求的面积．22．（2024•江西模拟）已知双曲线的离心率为2，顶点到渐近线的距离为．（1）求的方程；（2）若直线交于，两点，为坐标原点，且的面积为，求的值．23．（2024•浦东新区三模）已知双曲线，点、分别为双曲线的左、右焦点，，、，为双曲线上的点．（1）求右焦点到双曲线的渐近线的距离；（2）若，求直线的方程；（3）若，其中、两点均在轴上方，且分别位于双曲线的左、右两支，求四边形的面积的取值范围．24．（2024•濮阳模拟）已知双曲线分别是的左、右焦点．若的离心率，且点在上．（1）求的方程．（2）若过点的直线与的左、右两支分别交于，两点（不同于双曲线的顶点），问：是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．25．（2024•青岛模拟）在平面内，若直线将多边形分为两部分，多边形在两侧的顶点到直线的距离之和相等，则称为多边形的一条“等线”，已知为坐标原点，双曲线的左，右焦点分别为，，的离心率为2．点为右支上一动点，直线与曲线相切于点，且与的渐近线交于，两点．当轴时，直线为△的等线．（1）求的方程；（2）若是四边形的等线，求四边形的面积；（3）设，点的轨迹为曲线，证明：在点处的切线为△的等线．

2025年菁优高考数学解密之双曲线参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．（2024•安徽二模）已知，是双曲线的左、右焦点，若双曲线上存在点满足，则双曲线离心率的最小值为A． B． C． D．【考点】：双曲线的性质【专题】35：转化思想；49：综合法；：圆锥曲线的定义、性质与方程；65：数学运算【分析】设的坐标，代入双曲线的方程，求出数量积，再由椭圆可得，的关系，进而求出离心率的最小值．【解答】解：设，则，所以，由题意可得，，所以，，，所以，即，所以离心率，故选：．【点评】本题考查双曲线的性质及数量积的运算，属于中档题．2．（2024•昆明一模）双曲线的渐近线方程是A． B． C． D．【答案】【考点】双曲线的几何特征【专题】数学运算；综合法；转化思想；计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】直接利用双曲线方程求解渐近线方程即可．【解答】解：双曲线的渐近线方程是：．故选：．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，渐近线方程的求法，是基础题．3．（2024•四川模拟）已知双曲线的渐近线方程为，则A． B．1 C． D．3【答案】【考点】双曲线的几何特征【专题】计算题；数学运算；综合法；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】根据双曲线方程确定渐近线方程为，结合已知条件得到方程，解出即可．【解答】解：该双曲线的渐近线方程为且，则，可解得，满足．故选：．【点评】本题主要考查双曲线的性质，考查运算求解能力，属于基础题．4．（2024•海淀区校级三模）在平面直角坐标系中，已知双曲线的左、右焦点分别为，，为双曲线右支上一点，连接交轴于点．若△为等边三角形，则双曲线的离心率为A． B． C． D．【答案】【考点】双曲线的几何特征【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解【分析】利用等边三角形的性质以及三角形全等，结合双曲线的几何性质，求出双曲线的离心率．【解答】解：由题意，因为△为等边三角形，所以，，因为△△，所以，，即，故点，因为，则，解得．故选：．【点评】本题考查双曲线的几何性质的运用，双曲线离心率的求法，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．5．（2024•浙江模拟）双曲线的左、右焦点为，，直线过点且平行于的一条渐近线，交于点，若，则的离心率为A． B．2 C． D．3【答案】【考点】双曲线与平面向量【专题】整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算【分析】先求出直线的方程，联立直线与曲线方程，结合向量数量积的性质即可求解．【解答】解：由题意得，，，直线的方程为，联立与可得，，若，则，所以，所以，化简得，，所以．故选：．【点评】本题主要考查了直线与双曲线的位置关系及双曲线性质的应用，属于中档题．6．（2024•江西一模）已知双曲线的左、右焦点分别为、，点为关于渐近线的对称点．若，且△的面积为8，则的方程为A． B． C． D．【答案】【考点】双曲线的几何特征【专题】转化思想；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算【分析】根据双曲线的性质可知，，由条件得，根据三角形中位线，可得，再结合，即可求解．【解答】解：因为关于的一条渐近线的对称点为，令渐近线为．即，，则到的距离为，所以，又．所以，因为，所以，又因为△的面积为8，因为，且，所以，所以，即，又，所以，，所以双曲线方程为．故选：．【点评】本题考查双曲线方程的应用，属于中档题．7．（2024•回忆版）已知双曲线的两个焦点分别为，，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为A．4 B．3 C．2 D．【答案】【考点】求双曲线的离心率【专题】整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算【分析】由已知结合双曲线的定义及性质即可求解．【解答】解：因为，，点在该双曲线上，所以，，，所以．故选：．【点评】本题主要考查了双曲线的定义及性质的应用，属于基础题．8．（2024•汉中一模）已知双曲线的一条渐近线的斜率为2，则A． B．4 C． D．【答案】【考点】双曲线的几何特征【专题】数学运算；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程；综合法【分析】利用双曲线的方程求解渐近线，求出的值．【解答】解：根据，得到，则焦点在轴，故渐近线为，则，故．故选：．【点评】本题主要考查双曲线的性质，考查计算能力，属于基础题．9．（2024•天津）双曲线的左、右焦点分别为、．是双曲线右支上一点，且直线的斜率为2，△是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为A． B． C． D．【答案】【考点】双曲线的几何特征【专题】整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解【分析】设，，则，由△是面积为8的直角三角形，可得，，由直线的斜率为2，可得，即，从而求出，的值，进而求出，的值，得到双曲线的方程．【解答】解：根据题意，画出图形，如下图：设，，则，因为△是面积为8的直角三角形，所以，，因为直线的斜率为2，所以，所以，联立，解得，所以，即，所以，即，所以，所以双曲线的方程为．故选：．【点评】本题主要考查了双曲线的标准方程，考查了双曲线的性质，属于中档题．10．（2024•阜阳模拟）已知双曲线的焦距为4，则该双曲线经过一、三象限的渐近线的斜率为A． B． C． D．【答案】【考点】双曲线的几何特征【专题】方程思想；数学运算；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由双曲线的焦距可得，求得双曲线的方程和所求渐近线的斜率．【解答】解：因为双曲线的焦距为4，所以，解得，可得双曲线的方程为，所以该双曲线经过一、三象限的渐近线的斜率为．故选：．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．二．多选题（共5小题）11．（2024•安徽模拟）已知双曲线，过原点的直线，分别交双曲线于，和，四点，，，四点逆时针排列），且两直线斜率之积为，则下列结论正确的是A．四边形一定是平行四边形 B．四边形可能为菱形 C．的中点可能为 D．的值可能为【答案】【考点】直线与双曲线的位置关系及公共点个数【专题】数学运算；综合法；方程思想；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】运用双曲线的方程和性质，结合直线的斜率公式、点差法和对勾函数的性质，对选项分析可得结论．【解答】解：由双曲线的中心对称性可知，，分别关于原点与，对称，故，，所以四边形一定是平行四边形，而直线，斜率之积为，则与不垂直，所以四边形不可能为菱形，正确，错；设，，，，则，，两式作差得，将，代入，求得，故的方程为，将其与双曲线联立，解得，此时，故错误；当点位于第四象限，点位于第一象限，由直线的夹角公式和对勾函数的单调性，可得的取值范围为，当点位于第一象限，点位于第二象限，设直线的斜率为，则直线的斜率为，由可得，又因为，可得的取值范围为，综上的取值范围为，正确．故选：．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，以及直线和双曲线的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题．12．（2024•长沙模拟）已知双曲线的右焦点为，动点，在直线上，且，线段，分别交于，两点，过作的垂线，垂足为．设的面积为，的面积为，则A． B． C．恒为定值 D．的最小值为【答案】【考点】双曲线的几何特征【专题】综合法；数学运算；计算题；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】对，取的中点，则，以为底，高为，当最小时最小，对，设，，求出，代入运算可得；对，由相似三角形结合的结论可得；对，设，结合选项的结论分别将，，，用表示代入运算可得．【解答】解：如图，取的中点，过点作直线的垂线，垂足为，对于，易得点到的距离为，，因为，是的中点，所以，即，又，．故错误；对于，设，，则，，又，，．故正确；对于，由题易得，则，．故正确；对于，设，，则，由选项，同理可得，设，，可得，，又，则，，解得，同理可得，，令，，则，，，令，则，则，易知在上单调递增，所以．故错误．故选：．【点评】本题主要考查直线与双曲线的综合，考查转化能力，考查运算求解能力，属于难题．13．（2024•河北模拟）已知双曲线的左顶点为，右焦点为，过点且倾斜角为的直线顺次交两条渐近线和的右支于、、，且，则下列结论正确的是A．离心率为 B． C． D．【答案】【考点】双曲线的其他性质【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程；方程思想；综合法；数学运算【分析】对于项，联立直线方程与直线方程、直线方程可求得点、点坐标，由，可知为中点，结合中点坐标公式可得的值，进而可求得离心率，对于项，计算的值即可，对于项，联立直线方程与双曲线方程可求得点坐标，由点、点、点纵坐标可知、为线段的三等分点，结合三角形面积公式判断即可，对于项，由求解即可．【解答】解：如图所示，由题意知，，直线方程为，直线方程为，设直线方程为，，即，，即，对于项，因为，所以为中点，所以，整理得，所以离心率，故项错误；对于项，由项知，直线方程为，即，又因为，所以，所以，故项正确；对于项，过作垂足为，过作垂足为，过作垂足为，如图所示，由项知，，所以双曲线方程为，，，联立双曲线的方程与直线方程，可得，，所以，，，所以，所以、为线段的三等分点，即，设到直线距离为，则，，所以，故项正确；对于项，如图所示，由项知，，所以，故项错误．故选：．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，以及直线和双曲线的位置关系，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．14．（2024•乌鲁木齐模拟）已知双曲线的右焦点为，过原点作斜率为的直线交双曲线于，两点，且，则的可能取值是A． B． C． D．【答案】【考点】双曲线与平面向量【专题】对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解【分析】由题意，设出直线的方程和，两点的坐标，将直线方程与双曲线方程联立，利用韦达定理以及向量的坐标运算求出直线斜率的取值范围，再对选项进行逐一分析即可求解．【解答】解：不妨设直线的方程为，，，，，联立，消去并整理得，此时△恒成立，由韦达定理得，，因为，两点关于原点对称，所以，解得，又，则双曲线的右焦点，所以，，则，又，，解得，因为，所以的取值范围为，，，因为该双曲线的渐近线方程为，故选项错误；易知，，，，．所以，，故选项错误．故选：．【点评】本题考查了抛物线的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15．（2024•保定三模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与的左支相交于，两点，若，且，则A． B． C．的离心率为 D．直线的斜率为【答案】【考点】双曲线的几何特征【专题】计算题；整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算【分析】设，，结合双曲线的定义与勾股定理可以求得，的值，即可判断出，选项；再结合勾股定理可以求得，的关系，再求出离心率即可判断选项；求直线的斜率，在直角三角形中，用斜率的定义求正切值可以求得直线的斜率，即可判断选项．【解答】解：如图，由，可设，，因为，所以，设，，则，，，解得，则，所以，故选项正确；，故选项错误；在△中，由，得，则，从而的离心率为，故选项正确；又，所以直线的斜率为，故选项正确．故选：．【点评】本题考查了双曲线的性质，属于中档题．三．填空题（共5小题）16．（2024•回忆版）设双曲线的左、右焦点分别为，，过作平行于轴的直线交于，两点，若，，则的离心率为．【答案】．【考点】双曲线的几何特征【专题】对应思想；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解【分析】由题意求出，，利用双曲线的定义求出和、，即可求出双曲线的离心率．【解答】解：由题意知，，，所以，解得；又时，，即，所以，所以，所以，所以双曲线的离心率为．故答案为：．【点评】本题考查了双曲线的定义与应用问题，也考查了数学运算核心素养，是基础题．17．（2024•浙江模拟）已知双曲线为双曲线的左右焦点，过作斜率为正的直线交双曲线左支于，，，两点，若，，则双曲线的离心率是．【答案】．【考点】双曲线的几何特征【专题】方程思想；数学运算；圆锥曲线的定义、性质与方程；综合法【分析】根据双曲线的几何性质及勾股定理即可求解．【解答】解：设，，，，又，，又，，，，，，，又，，，，，，又，．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的几何性质，方程思想，属中档题．18．（2024•吴忠模拟）若双曲线的一条渐近线方程是，则的离心率为．【考点】双曲线的几何特征【专题】计算题【分析】先根据双曲线的标准方程求得渐近线方程，根据其中一条的方程求得和的关系，进而求得和的关系，则离心率可得．【解答】解：双曲线的渐近线方程为，一条渐近线的方程为，，设，则离心率故答案为：【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质．解题的关键是熟练掌握双曲线方程中的，和基本关系．19．（2024•闵行区二模）双曲线的左右焦点分别为、，过坐标原点的直线与相交于、两点，若，则4．【答案】4．【考点】双曲线与平面向量【专题】综合法；数学运算；圆锥曲线的定义、性质与方程；方程思想【分析】推得四边形是平行四边形，再由双曲线的定义和平行四边形的性质，推得平行四边形的邻边的长，由余弦定理和向量数量积的定义，可得所求值．【解答】解：双曲线的，，，设在第一象限，在第四象限，设，，由题意可得，由，，可得四边形是平行四边形，则，由双曲线的定义，可得，即，即有，，在△中，由余弦定理可得，即有，则．故答案为：4．【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，以及平行四边形的性质、余弦定理的运用和向量数量积的定义，考查方程思想和运算能力，属于中档题．20．（2024•辽宁模拟）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点作斜率为的直线与的右支交于点，且点满足，且，则的离心率是．【答案】．【考点】双曲线的定义；双曲线的离心率【专题】数学运算；对应思想；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】根据题意得到是线段的垂直平分线，从而得到，再利用推得，结合双曲线的定义得到关于，，的齐次方程，进而得解．【解答】解：如图，直线的斜率为．由，得点为的中点，又，所以是线段的垂直平分线，所以，过点作于点，由已知得，所以，所以，所以，即，所以，又，为的中点，所以，所以，由双曲线的定义可得，即，所以，可得，整理得，即，解得或（舍去），又题中直线与的右支有交点，所以，即，所以，即，所以，即，所以的离心率为．故答案为：．【点评】本题考查双曲线离心率相关计算知识，属于中档题．四．解答题（共5小题）21．（2024•盐湖区一模）已知、是双曲线的左、右焦点，直线经过双曲线的左焦点，与双曲线左、右两支分别相交于、两点．（1）求直线斜率的取值范围；（2）若，求的面积．【答案】（1）；（2）．【考点】双曲线与平面向量【专题】数形结合；圆锥曲线中的最值与范围问题；数学运算；方程思想；综合法【分析】（1）设直线的方程为，将该直线方程与双曲线的方程联立，根据直线与双曲线的位置关系可得出关于实数的不等式组，即可解得的取值范围；（2）设直线的方程为，设点，、，，由平面向量的坐标运算可得出，将直线的方程与双曲线的方程联立，结合韦达定理求出的值，可得出的值，然后利用三角形的面积公式可求得的面积．【解答】解：（1）在双曲线中，，，则，该双曲线的左焦点为，若直线的斜率不存在，则直线与双曲线交于左支上的两点，不合乎题意，设直线的方程为，设点，、，，联立可得，因为直线与双曲线左、右两支分别相交于、两点，所以，，解得，因此，直线的斜率的取值范围是．（2）因为，，由可得，则，当直线与轴重合时，则点、，，，此时，，不合乎题意，设直线的方程为，联立可得，由（1）可得，则或，由韦达定理可得，则，，即，解得，则，所以，．【点评】本题考查了双曲线的性质，考查了直线与双曲线的综合，考查了方程思想及数形结合思想，属于中档题．22．（2024•江西模拟）已知双曲线的离心率为2，顶点到渐近线的距离为．（1）求的方程；（2）若直线交于，两点，为坐标原点，且的面积为，求的值．【答案】（1）；（2）或．【考点】由双曲线的离心率求解方程或参数【专题】逻辑推理；综合法；数学运算；对应思想；综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）由题意，根据题目所给信息列出等式求出和的值，进而可得的方程；（2）设出，两点的坐标，将直线方程与双曲线方程联立，推出且，再根据韦达定理、弦长公式、点到直线的距离公式以及三角形面积公式进行求解即可．【解答】解：（1）记双曲线的半焦距为，因为双曲线的离心率为2，所以，①不妨设的顶点为，渐近线方程为，因为双曲线的顶点到渐近线的距离为，所以，②又，③联立①②③，解得，，，则的方程为；（2）设，，，，联立，消去并整理得，此时且△，解得解得且，由韦达定理得，，所以，又点到直线的距离，所以的面积，解得或，此时满足且．故或．【点评】本题考查双曲线的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．23．（2024•浦东新区三模）已知双曲线，点、分别为双曲线的左、右焦点，，、，为双曲线上的点．（1）求右焦点到双曲线的渐近线的距离；（2）若，求直线的方程；（3）若，其中、两点均在轴上方，且分别位于双曲线的左、右两支，求四边形的面积的取值范围．【答案】（1）；（2）；（3），．【考点】双曲线与平面向量【专题】方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解【分析】（1）由已知结合点到直线的距离公式即可直接求解；（2）先设直线的方程，联立直线与双曲线方程，结合方程的根与系数关系可求；（3）由对称性得，四边形为平行四边形，且面积为四边形面积的2倍，先设，，直线程为，直线方程，结合弦长公式求出，及平行线与之间的距离，进而表示出四边形的面积，再由函数的单调性即可求解．【解答】解：（1）由题，右焦点，渐近线方程为，因此焦点到渐近线的距离为；（2）显然，直线不与轴重合，设直线方程为，由，得，联立方程，得，其中，△恒成立，，，代入，消元得，，即，解得，所以，直线的方程为；（3）延长交双曲线于点，延长交双曲线于点．则由对称性得，四边形为平行四边形，且面积为四边形面积的2倍，由题，设，，直线程为，直线方程，由第（2）问，易得，因为，得，即，因而，平行线与之间的距离为，因此，，令，则，故，得在上是严格增函数，故（等号当且仅当时成立）所以，四边形面积的取值范围为，．【点评】本题主要考查了双曲线的性质及直线与双曲线位置关系的应用，属于中档题．24．（2024•濮阳模拟）已知双曲线分别是的左、右焦点．若的离心率，且点在上．（1）求的方程．（2）若过点的直线与的左、右两支分别交于，两点（不同于双曲线的顶点），问：是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．【考点】双曲线的定点及定值问题【专题】综合题；对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑推理；数学运算【分析】（1）由题意，根据题目所给信息、离心率公式以及，，之间的关系，列出等式求出和的值，进而可得的方程；（2）设出直线的方程，将直线的方程与双曲线方程联立，将和用坐标表示出来，利用韦达定理将表述出来，再进行化简求解即可．【解答】解：（1）不妨设双曲线的半焦距为，因为双曲线的离心率，且点在上，所以，解得，则的方程为；（2）为定值，理由如下：由（1）知，不妨设直线的方程为，，，，，联立，消去并整理得，此时，因为，所以，同理得，因为直线过点且与的左、右两支分别交于，两点，所以，两点在轴同侧，此时，即，解得，则．故，为定值．【点评】本题考查双曲线的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．25．（2024•青岛模拟）在平面内，若直线将多边形分为两部分，多边形在两侧的顶点到直线的距离之和相等，则称为多边形的一条“等线”，已知为坐标原点，双曲线的左，右焦点分别为，，的离心率为2．点为右支上一动点，直线与曲线相切于点，且与的渐近线交于，两点．当轴时，直线为△的等线．（1）求的方程；（2）若是四边形的等线，求四边形的面积；（3）设，点的轨迹为曲线，证明：在点处的切线为△的等线．【答案】（1）；（2）12；（3）证明见解答．【考点】双曲线相关动点轨迹【专题】计算题；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程；综合法；数学运算【分析】（1）求出点，，的坐标，由直线为△的等线及双曲线的性质可求出，的值，从而可得的方程；（2）切线，代入的方程，可得关于的方程，由△，可得关于的方程，表示出，进一步可得的方程为，求出点，的横纵坐标，结合面积公式求解即可；（3）表示出切线的方程，易知与在的右侧，在的左侧，分别记，，到的距离为，，，利用点到直线的距离公式推出，即可得证．【解答】解：（1）由题意知，，，显然点在直线的上方，因为直线为△的等线，所以，，，解得，所以的方程为；（2）设，，切线，代入，得，所以△，该式可以看作关于的一元二次方程，所以，即方程为，当斜率不存在时，也成立，渐近线方程为，不妨设在上方，联立得，，故，所以是线段的中点，因为，到过的直线距离相等，则过点的等线必满足：，到该等线距离相等且分居两侧，所以该等线必过点，即的方程为，由，解得：，所以，所以，所以，所以；（3）证明：设，由，所以，，故曲线的方程为，由知切线为，即，即，易知与在的右侧，在的左侧，分别记，，到的距离为，，，由（2）知，，所以，由得，，因为，所以直线为△的等线．【点评】本题主要考查双曲线的性质及标准方程，直线与双曲线的综合，考查运算求解能力，属于难题．

考点卡片1．双曲线的定义【知识点的认识】双曲线（Hyperbola）是指与平面上到两个定点的距离之差的绝对值为定值的点的轨迹，也可以定义为到定点与定直线的距离之比是一个大于1的常数的点之轨迹．双曲线是圆锥曲线的一种，即圆锥面与平面的交截线．双曲线在一定的仿射变换下，也可以看成反比例函数．两个定点F1，F2叫做双曲线的焦点（focus），定直线是双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率．标准方程①（a，b＞0），表示焦点在x轴上的双曲线；②（a，b＞0），表示焦点在y轴上的双曲线．性质这里的性质以（a，b＞0）为例讲解：①焦点为（±c，0），其中c2＝a2+b2；②准线方程为：x＝±；③离心率e＝＞1；④渐近线：y＝±x；⑤焦半径公式：左焦半径：r＝|ex+a|，右焦半径：r＝|ex﹣a|．【解题方法点拨】例1：双曲线﹣＝1的渐近线方程为解：由﹣＝0可得y＝±2x，即双曲线﹣＝1的渐近线方程是y＝±2x．故答案为：y＝±2x．这个小题主要考察了对渐近线的理解，如果实在记不住，可以把那个等号后面的1看成是0，然后因式分解得到的两个式子就是它的渐近线．例2：已知双曲线的一条渐近线方程是x﹣2y＝0，且过点P（4，3），求双曲线的标准方程解：根据题意，双曲线的一条渐近线方程为x﹣2y＝0，设双曲线方程为﹣y2＝λ（λ≠0），∵双曲线过点P（4，3），∴﹣32＝λ，即λ＝﹣5．∴所求双曲线方程为﹣y2＝﹣5，即：﹣＝1．一般来说，这是解答题的第一问，常常是根据一些性质求出函数的表达式来，关键是找到a、b、c三者中的两者，最后还要判断它的焦点在x轴还是y轴，知道这些参数后用待定系数法就可以直接写出函数的表达式了．【命题方向】这里面的两个例题是最基本的，必须要掌握，由于双曲线一般是在倒数第二个解答题出现，难度一般也是相当大的，在这里可以有所取舍，对于基础一般的同学来说，尽量的把这些基础的分拿到才是最重要的，对于还剩下的部分，尽量多写．2．双曲线的几何特征【知识点的认识】双曲线的标准方程及几何性质标准方程（a＞0，b＞0）（a＞0，b＞0）图形性质焦点F1（﹣c，0），F2（c，0）F1（0，﹣c），F2（0，c）焦距|F1F2|＝2c|F1F2|＝2c范围|x|≥a，y∈R|y|≥a，x∈R对称关于x轴，y轴和原点对称顶点（﹣a，0）．（a，0）（0，﹣a）（0，a）轴实轴长2a，虚轴长2b离心率e＝（e＞1）准线x＝±y＝±渐近线±＝0±＝03．双曲线的离心率【知识点的认识】双曲线的标准方程及几何性质标准方程（a＞0，b＞0）（a＞0，b＞0）图形性质焦点F1（﹣c，0），F2（c，0）F1（0，﹣c），F2（0，c）焦距|F1F2|＝2c|F1F2|＝2c范围|x|≥a，y∈R|y|≥a，x∈R对称关于x轴，y轴和原点对称顶点（﹣a，0