2024-2025学年四川省名校联盟高三（上）联考数学试卷（12月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年四川省名校联盟高三（上）联考数学试卷（12月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知z⋅(1−3i)=10，则z=(

)A.2−3i B.1+3i C.3i D.−3i2.已知单位向量a,b满足|a+bA.8 B.3 C.22 3.已知命题p：∀x∈R，ex+e−x≥2，命题q：∃x∈(0,10)，A.命题p与q均为真命题 B.命题p与￢q均为真命题

C.命题￢p与q均为真命题 D.命题￢p与￢q均为真命题4.已知平行四边形ABCD的顶点A(0,1)，边AB所在直线方程是x−y+1=0，对角线的交点为M(2,2)，边CD所在直线方程为(

)A.x−y−1=0 B.x−y+2=0 C.x+y−1=0 D.x+y−3=05.设m，n为两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列说法一定成立的是(

)A.若α//β，m//α，则m//β B.若α⊥β，γ⊥β，则α//γ

C.若m//n，m⊥α，n⊥β，则α//β D.若m，n与α所成角相等，则m//n6.点P在边长为1的正三角形ABC的外接圆上，则AP⋅AB的最大值为(

)A.33+12 B.37.已知实数a满足2a+a=2，则函数f(x)=2x3A.0 B.1 C.2 D.38.已知函数f(x)=ln(x2−2x+3)+e|x−1|，设a=f(0)，b=f(log34)，c=f(A.a<b<c B.b<a<c C.c<b<a D.b<c<a二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.为了研究某校高三年级学生的性别和身高是否低于170cm的关联性，研究小组从该校高三学生中获取容量为500的有放回简单随机样本，由样本数据整理得到如下列联表：

单位：人性别身高合计低于170cm不低于170cm女14060200男120180300合计260240500附：χ2=n(ad−bc)α0.10.050.01x2.7063.8416.635小组成员甲用该列联表中的数据进行独立性检验，小组成员乙将该列联表中的所有数据都缩小为原来的110后再进行独立性检验，则下列说法正确的是(

)A.依据α=0.01的独立性检验，小组成员甲可以认为该中学高三年级学生的性别与身高有关联

B.依据α=0.01的独立性检验，小组成员甲不能认为该中学高三年级学生的性别与身高有关联

C.小组成员甲、乙计算出的χ2值相同，依据α=0.01的独立性检验，他们得出的结论也相同

D.小组成员甲、乙计算出的χ2值不同，依据10.已知数列{an}(n∈N∗)为无穷等差数列，公差为d，前nA.若S5=S17，d<0，则a11>0，a12<0

B.若m，n，p，q∈N∗且互不相等，则am−anm−n=ap−aqp−q11.已知函数fn(x)=sinnA.若cos2x=35，则f4(x)=1725

B.当x∈[−π2,π2]时，函数y=f4(x)与y=sin4x+34的图象恰有5个交点

C.当n=2k+1，k∈三、填空题：本题共3小题，共20分。12.已知椭圆C的中心为坐标原点，焦点在x轴上，且经过点P(2,0)，Q(0,1)，则椭圆C的标准方程为______．13.已知棱长为1的正四面体P−ABC，E，F分别为PA，BC的中点，若以EF的中点O为球心的球与该正四面体的棱有公共点，则球O半径的最大值为______．14.整数的商mn(其中n≠0)称为有理数，任一有限小数或无限循环小数可以化为整数的商mn(其中n≠0)的形式，则1．2⋅=______(写成mn的形式，m与n为互质的具体正整数)；若1.2，1.22，1.222，⋯构成数列{an}，令bn=四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)

已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m=(3sinC,1+cosA)，n=(c,a)，且m//n．

(1)求角A；

(2)如图，∠BAC的平分线AD交BC于D16.(本小题12分)

已知圆C：x2+(y−5)2=9，圆C1经过点M(−1,−3)，且与圆C相切于点N(0,2)．

(1)求圆C1的标准方程；

(2)已知直线l过点17.(本小题12分)

已知函数f(x)=ax−tanx，x∈(0,π2)．

(1)当a=2时，求f(x)的单调区间；

(2)若a≤2，证明：18.(本小题12分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB//CD，AB⊥BC，且AB=BD=2CD=4，侧面PCD是正三角形，侧面PCD⊥底面ABCD，E为PC中点，作EF⊥PB交PB于F．

(1)求证：PB⊥平面DEF；

(2)求平面PBD与平面PBC的夹角的余弦值；

(3)在平面DEF内是否存在点Q.使得QA⋅QB=0，若存在，求动点Q19.(本小题12分)

定义：如果在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A，B的坐标分别为(x1,y1)，(x2,y2)，那么称d(A,B)=|x1−x2|+|y1−y2|为A，B两点间的曼哈顿距离；D(A,B)=(x1−x2)2+(y1−y2)2为A，B两点间的欧几里得距离．

(1)已知参考答案1.B

2.D

3.B

4.A

5.C

6.A

7.D

8.C

9.AD

10.ABD

11.ACD

12.x213.614.119

115.解：(1)由m//n，可得3asinC=c(1+cosA)，根据正弦定理化简得3sinAsinC=sinC(1+cosA)，

结合sinC>0，整理得3sinA−cosA=1，即2sin(A−π6)=1，sin(A−π6)=12．

因为A为三角形的内角，可知A−π6∈(−π6,5π6)，所以A−π6=π6，可得A=π3．

(2)AD平分∠BAC，可得∠DAB=∠DAC=π6，

由S△ABD+S△ACD=S△ABC，

可得12AB⋅ADsin∠DAB+12AC⋅ADsin∠DAC=12AB⋅ACsin∠BAC，

16.解：(1)圆C：x2+(y−5)2=9的圆心C(0,5)，半径为3，

设圆C1的圆心坐标为(a,b)，半径为r，

圆C1经过点M(−1,−3)，且与圆C相切于点N(0,2)．

所以(a+1)2+(b+3)2=r2a2+(b−2)2=r2a2+(b−5)2=(r+3)2，解得a=0b=0r=2，

所以圆C1的方程为x2+y2=4．

(2)若直线l直线斜率存在，设l：y+2=k(x+1)，

因为弦长为23，所以圆心C1(0,0)到直线17.解：(1)当a=2时，f(x)=2x−tanx，f′(x)=2−1cos2x=2cos2x−1cos2x=cos2xcos2x，

故对0<x<π4有f′(x)=cos2xcos2x>0，对π4<x<π2有f′(x)=cos2xcos2x<0，从而f(x)在(0,π4)上递增，在(π4,π2)上递减．

故f(x)的单调递增区间为(0,π4)，单调递减区间为(π4,π2)．

(2)证明：由(1)可得，0<x<π2，有f(x)=2x−tanx≤f(π4)=π2−1，

对3π8<x<π2，有f(x)=2x−tanx<f(3π8)=3π4−2−1<0，

设g(x)=sin2x−x，则对0<x<18.解：(1)证明：由侧面PCD⊥底面ABCD，侧面PCD∩底面ABCD=CD，BC⊂面ABCD，

又底面ABCD是直角梯形，AB/​/CD，AB⊥BC，故BC⊥CD，

所以BC⊥面PCD，DE⊂面PCD，则BC⊥DE，

由侧面PCD是正三角形，E为PC中点，则DE⊥PC，

而BC∩PC=C且都在面PBC内，则DE⊥面PBC，DE⊂面DEF，

所以面DEF⊥面PBC，而EF⊥PB，面DEF∩面PBC=EF，PB⊂面PBC，

所以PB⊥平面DEF．

(2)依题意，可构建如下图示的空间直角坐标系，C(0,0,0),B(0,23,0),P(1,0,3),D(2,0,0)，

所以CB=(0,23,0),CP=(1,0,3)，PB=(−1,23,−3),DP=(−1,0,3)，

令m=(x,y,z)是面PBC的一个法向量，

则m⊥CBm⊥CP，则m⋅CB=23y=0m⋅CP=x+3z=0，

令x=3，则m=(3,0,−1)，

令n=(a,b,c)是面PBC的一个法向量，

则n⊥PBn⊥DP，则n⋅PB=−a+23b−319.解：(1)令P(x,y)，

此时d(O,P)=|x|+|y|=1，

当x≥0，y≥0时，轨迹为x+y−1=0；

当x<0，y>0时，轨迹为x−y+1=0；

当x≤0，y≤0时，轨迹为x+y+1=0；

当x>0，y<0时，轨迹为x−y+1=0，

所以点P的轨迹是顶点在坐标轴上且边长为2的正方形，

则[D(O,P)]min=(x2+y2)min=22；

(2)令N(x,y)，

此时D(O,N)=x2+y2=2，

即x2+y2=4，

所以N在以原点为圆心，半径为2的圆上，

因为M(3,2)，

令d(M,N)=|x−3|+|y−2|=t≥0，

当x≥3，y≥2时，轨迹为x+y−5−t=0；

当x<3，y>2时，轨迹为x−y+t−1=0；

当x≤3，y≤2时，轨迹为x+y+t−5=0；

当x>3，y<2时，轨迹为x−y−1−t=0，

对于M点的曼哈顿距离，N的轨迹为正方形，

所以只需研究N在上述两种情况下，轨迹交点到M的曼哈顿距离范围，

当M位于圆x2+y2=4的右上方，

此时只需确定直线x+y+t−5=0与该圆相切时参数t的范围，

若x2+y2=4与x+y+t−5=0相切，

可得|t−5|2=2，

解得t=5±22，满足条件，

所以d(M,N)∈[5−22,5+22]，

故最大值为5+22；

(3)令x1=m<0，

此时A(m,−1m)，

若B(x,y)，

可得d(A,B)=|x−m|+|y+1m|，

易知g(x)=alnx−x的定义域为(0,+∞)，

可得g′(x)=a−xx，

当0<x<a时，g′(x)>0，g(x)单调递增；

当x>a时，g′(x)<0，g(x)单调递减，

作出函数ℎ(x)与g(x)的大致图象如图所示：

由图知，ℎ(x)在g(x)的左上方位置，

令|x