2024-2025学年贵州省贵阳市贵阳一中高三（上）月考数学试卷（12月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年贵州省贵阳一中高三（上）月考数学试卷（12月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|−2<x<2},B={x|1x+1>14A.{x|x<3} B.{x|−2<x<2} C.{x|−2<x<3} D.{x|−1<x<2}2.下列函数中是偶函数的是(

)A.f(x)=2lnx B.g(x)=e|x|x

C.ℎ(x)=xsinx3.已知直线l1：x+(a−1)y+1=0，直线l2：ax+2y+2=0，且l1⊥lA.23 B.32 C.−1 4.已知向量a=(−1,2)，b=(2,−1)，则向量a在向量b方向上的投影向量为(

)A.45b B.−45b 5.若sin(π3−α)=1A.79 B.−79 C.86.设{an}是公比为q的等比数列，则“q>1”是“{aA.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件7.已知棱长为2a(单位：cm)的无盖正方体容器内盛有体积为24−π12(单位：cm3)的水，现将一半径为a2A.π B.3π4 C.π2 8.已知双曲线C：x23−y2b2=1(b>0)，过点A.(1,52]∪{2} B.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知随机变量X和Y，其中Y=3X+2，且E(Y)=7，若X的分布列如表：X123P1mn则下列说法正确的是(

)A.m=14 B.n=16 C.E(10.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图1所示，则A.ω=2

B.φ=π6

C.为了得到函数y=f(x)的图象，可将函数y=2sin(ωx)的图象向左平移π6个单位长度

D.为了得到函数y=f(x)的图象，可将函数y=2sin(ωx)11.已知函数y=f(x)是定义在区间[a,b]上的连续函数，若∃k∈(0,+∞)，使得∀x1，x2∈[a,b]，都有|f(x1)−f(x2)|≤k|x1A.函数f(x)=x2−x是区间[−1,2]上的“3类函数”

B.函数f(x)=sinx−xcosx是区间[1,π2]上的“2类函数”

C.若函数y=f(x)是区间[a,b]上的“k类函数”，则方程f(x)=(k+1)x在区间[a,b]上至多只有一个解

D.若函数f(x)是区间[0,1]上的“2类函数”，且f(0)=f(1)，则存在满足条件的函数f(x)三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.记Sn为等差数列{an}的前n项和.若S4=S813.若(2x+3)5=a0+14.如图，在棱长为6的正方体ABCD−A1B1C1D1中，M四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

在△ABC中，已知sin∠CAB：sin∠ABC：sin∠ACB=1：2：5.点D在边AB上，且AC⊥CD．

(1)求∠ACB；16.(本小题15分)

某校食堂为了解学生对牛奶豆浆的喜欢情况是否存在性别差异，从而更有针对性的为广大学子准备营养早餐，于是随机抽取了200名学生进行问卷调查，得到了如表的统计结果：喜欢牛奶喜欢豆浆合计男生4555100女生6535100合计11090200(1)根据α=0.005的独立性检验，能否认为该校学生对牛奶豆浆的喜欢情况与性别有关？

(2)小红每天都会在牛奶与豆浆中选择一种当早餐，若前一天选择牛奶，则她后一天继续选择牛奶的概率为13；若前一天选择豆浆，则她后一天继续选择豆浆的概率为14.已知小红第一天选择了牛奶，求她第三天选择牛奶的概率．

附：χ2P(0.1000.0500.0100.0050.001x2.7063.8416.6357.87910.82817.(本小题15分)

已知复数z的共轭复数为z−，且|3z+z−|=4，复数z在复平面内对应的点为P(x,y)．

(1)求点P的轨迹方程；

(2)记点P的轨迹为曲线C，点A为曲线C上任意一点.设直线y=kx与曲线C交于M，N两点，直线AM，AN的斜率分别为k1，k18.(本小题17分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=2π3,PA=AD=2.平面PAB⊥平面ABCD，PA⊥BC.E，F分别是棱PA，PB的中点，G，H分别在线段BC，AC上，且BGBC=AHAC=λ<12).

(1)证明：E，F，G，H四点共面；

(2)证明：PA⊥平面ABCD；

(3)设直线FG与直线EH交于点19.(本小题17分)

在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里的一个非常重要的定理，它是众多不动点定理的基础，得名于荷兰数学家鲁伊兹⋅布劳威尔.具体来说就是：对于满足定义域为D的连续函数f(x)，若存在x0∈D，使得f(x0)=x0成立，则称x0为函数f(x)的不动点.已知a>0且a≠1，函数f(x)=ax−1．

(1)若a=e(e为自然常数)，证明：函数f(x)只有唯一不动点；

(2)设函数g(x)=x参考答案1.D

2.C

3.A

4.B

5.B

6.D

7.C

8.A

9.BD

10.ABD

11.ABC

12.−1113.2882

14.215.解：(1)在△ABC中，因为sin∠CAB ： sin∠ABC ： sin∠ACB=1 ： 2 ： 5，

由正弦定理可得：BC ： AC ： AB=1 ： 2 ： 5，

设BC=k，则AC=2k，AB=5k，

由余弦定理可得：cos∠ACB=AC2+BC2−AB22 ⋅ AC ⋅ BC=(2k)216.解：(1)设零假设H0：该校学生对牛奶豆浆的喜欢情况与性别无关，

则χ2=200×(45×35−65×55)2100×100×110×90=80099≈8.081>7.879，

根据α=0.005的独立性检验，零假设H0不成立，

即可以认为该校学生对牛奶豆浆的喜欢情况与性别有关；

(2)设“小红第二天选择牛奶”为事件A，则事件A−表示“小红第二天选择豆浆”，

设“小红第三天选择牛奶”为事件B，

由题意可知，P(A)=13，17.解：(1)设z=x+yi，z−=x−yi，

此时3z+z−=4x+2yi，

因为|3z+z−|=4，

所以(4x)2+(2y)2=4，

整理得x2+y24=1，

则点P的轨迹方程为x2+y24=1；

(2)设A(x0,y0)，M(x1,y1)，

可得N(−x1,−y1)，

此时k1=y0−y118.解：(1)证明：∵E，F分别是棱PA，PB的中点，

∴EF//AB，

∵BGBC=AHAC，

∴GH/​/AB，

∴EF/​/GH，

∴E，F，G，H四点共面．

(2)证明：∵底面ABCD是菱形，∠BAD=2π3，

∴∠ABC=π3，△ABC是等边三角形，

取AB中点为I，连接CI，则CI⊥AB，

又平面PAB⊥平面ABCD，且平面PAB∩平面ABCD=AB，

∴CI⊥平面PAB，又PA⊂平面PAB，∴CI⊥PA，

又PA⊥BC，且CI∩BC=C，

∴PA⊥平面ABCD．

(3)∵M∈平面PBC，M∈平面PAC，又平面PBC∩平面PAC=PC，

∴M∈PC，即直线MC就是直线PC，

取BC中点为N，以A点为坐标原点，再分别以AN，AD和AP所在直线为x轴，y轴和z轴建立如图所示的空间直角坐标系：

则P(0,0,2)，C(3,1,0)，E(0,0,1)，F(32,−12,1)，

PC=(3,1,−2)，EF=(32,−12,0)，

设H(x,y,0)，则AH=(x,y,0)，AC=(3,1,0)，

由AH=λAC，可得：x=3λ,y=λ,

∴H(3λ,λ,0)，∴EH=(3λ,λ,−1)，

设平面EFGH19.解：(1)证明：当a=e时，f(x)=ex−1，函数定义域为R，

令ℎ(x)=ex−1−x，函数定义域为R，

可得ℎ′(x)=ex−1−1，

当x∈(−∞,1)时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)单调递减；

当x∈(1,+∞)时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)单调递增，

所以ℎ(x)≥ℎ(1)=0，

即当x=1时，f(x)=x；

当x≠1时，f(x)>x恒成立，

所以函数f(x)只有唯一不动点；

(2)易知g(x)=xx+1aa，函数定义域为(14,+∞)，

因为g(x)=x，

所以xlnx=alna，

设k(x)=xlnx，

可得k′(x)=lnx+1，函数定义域为(14,+∞)，

当x∈(14,  1e)时，k′(x)<0，ℎ(