2024八年级数学上6 八年级数学上册期中考试重难点题型（举一反三）含答案

2024八年级数学上专题06八年级数学上册期中考试重难点题型【举

一反三】

【人教版】

【知识点1】三角形

1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.

2.三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边.

3.高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高.

钝角三角形三条高的交点在三角形外,直角三角形的三条高的交点在三角形上，

锐角三角形的三条高的交点在三角形内，三条高线的交点叫做三角形的垂心

4.中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线.（三条中线的交点叫重心）

5.角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形

的角平分线.（三角形三条角平分线的交点到三边距离相等，三条角平分线的交点叫做内心

6.T角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性.

（例如自行车的三角形车架利用了三角形具有稳定性）

，多访形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.

8.多边形的内角：多边形相邻两边组成的用叫做它的内角.

9.多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.

10.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.

11.正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫正多边形.

12.平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面，

13.公式与性质：

⑴三角形的内角和：三角形的内角和为180。

⑵三角形外角的性质：

性质1：三角形的一个外角等于和它不用邻的两个内角的和.

性质2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.

⑶多边形内角和公式：〃边形的内角和等于（〃-2）480。⑷多边形的外角和：多边形的外角和为360。.

（5）多边形对角线的条数：①从〃边形的一个顶点出发可以引（〃-3）条对角线，把多边形分成（〃-2）个三

角形.

②〃边形共有条对角线.

2

【知识点2】全等三角形

1.基本定义：

⑴全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形.

⑵全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.

（3）对应顶点：全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点.

⑷对应边：全等三角形中互相重合的边叫做对应边.

⑸对应角：全等三角形中互相重合的角叫做对应角.

2.基本性质：

⑴三角形的稳定性：三边的长度确定了，这个三角形的形状、大小就全确定，这个性质叫做三角形的稳

定性.

⑵全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等.

3.全等三角形的判定定理:

⑴边边边（SSS）：三边对应相等的两个三角形全等.

⑵边角边（S4S）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.

⑶角边角（A四）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.

⑷角角边（A4S）：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.

⑸斜边、直角边（HL）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.

4.角平分线：

⑴画法：⑵性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等.

⑶性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.

（三角形三条角平分线的交点到三边距离相等）

【知识点3】轴对称

1.基本概念：

⑴轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称

图形.

⑵两个图形成轴对称：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个

图形关于这条直线对称.

（3）线段的垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这袋线段的垂直平分线.

⑷等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰

所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.

⑸等边三角形：三条边都相等的三角形叫做等边三角形.

2.基本性质：

⑴对称的性质：

①不管是轴对称图形还是两个图形关于某条直线对称，对称轴都是任何一对对应点所连线段的垂直平

分线.

②对称的图形都全等.

⑵线段垂直平分线的性质：

①线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.

②与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.

⑷等腰三角形的性质：

①等腰三角形两腰相等.

②等腰三角形两底角相等（等边对等角）.

③等腰三角形的顶角角平分线、底边上的中线.底边上的高相互重合.

④等腰三角形是轴对称图形，对称粕是三线合一（1条）.

⑸等边三角形的性质：

①等边三角形三边都相等.

②等边三角形三个内角都相等，都笔于60。

③等边三角形每条边上都存在三线合一.

④等边三角形是轴对称图形，对称羯是三线合一（3条）.

3.基本判定：

⑴等腰三角形的判定：

①有两条边相等的三角形是等腰三角形.

②如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）.

⑵等边三角形的判定：

①三条边都相等的三角形是等边三角形.

②三个角都相等的三角形是等边三角形.

③有一个角是60。的等腰三角形是等边三角形.

4.基本方法：

⑴做已知直线的垂线：

⑵做已知线段的垂直平分线：

（3）作对称轴：连接两个对应点，作所连线段的垂直平分线.

⑷作已知图形关于某直线的对称图形：

⑸在直线上做一点，使它到该直线同侧的两个已知点的距离之和最短.

《奥冽分刑

【考点1灵活运用三角形三边关系】

【例1】（2019秋•洛龙区校级期中）已知△48C的三边长为a,b,c,化简|a+b-c|-|b-a-c|的结果是

（）

A.2b-2cB.-2bC.2a+2bD.2a

【变式1-1]（2019秋•滩溪县期中）设三角形三边之长分别为3,8,l-2a,则。的取值范围为（）

A.-6<a<-3B.-5<o<-2C.-2<a<5D.a<-5sHa>2

【变式1-2］（2019秋•宁都县期中）如图，在△ABC中，48=5,4c=3,则BC边上的中线4。的取值范围

B.0<AD<3C.1<4D<4D.3<AD<5

【变式1-3］（2019•防城港期中）在等腰△ABC中，AB=AC,其周长为20cm,则48边的取值范围是（)

A.lcm<AB<4cmB.Scm<AB<10cm

C.4cm<AB<8cmD.4cm<AB<10cm

【考点2角平分线与多边形内角和】

[例2]（2019春•沛县期中）如图，在五边形48CDE中，Z/4+ZB+Z£=a.DP,CP分别平分/EDC,Z

)

。D.5400-Xa

La-90C.—0.

2222

【变式2-1］（2019春•西湖区校级期中）如图，在四边形48CD中，ND48的角平分线与N48c的外角平

分线相交于点P，且ND+NC=210°,则NP=（）

D.40°

【变式2・2】（2019秋•香洲区期中）如图，在四边形48C。中，NA+NO=a,N48c的平分线与N8CD的

平分线交于点P，则NP=（）

D

A

A.90°-£B.-LaC.900+LD.360°-a

222

【变式2-3］（2018秋•遵义期中）如图，在四边形A8co中，乙48c与/8CD的平分线的交点£恰好在4。

A.ZA+ZD-45°B.工（NA+ND）+45°

2

C.180°-（NA+ND）D.i-Z/A+^ZD

22

【考点3多边形内角和与外角和】

【例3】（2019秋•岳池县期中）一个多边形的每一个内角都等于140。，那么从这个多边形的一个顶点出

发的对角线的条数是（）

A.6条B.7条C.8条D.9条

【变式3-1］（2019春•内江期中）马小虎在计算一个多边形的内角和时，由于粗心少算了2个内角，其和

等于830°,则该多边形的边数是（）

A.7B.8C.7或8D.无法确定

【变式3-2］（2019春•诸城市期中）过多边形的一个顶点可以作7条对角线，则此多边形的内角和是外角

和的（）

A.4倍B.5倍C.6倍D.3倍

【变式3・3】（2019•凉山州期中）一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为1080°,那

么原多边形的边数为（）

A.7B.7或8C.8或9D.7或8或9

【考点4三角形全等的条件判断】

【例乙】（2018秋•利津县期中）如图，4B//CD,BC//AD,AB=CD,AE=CF,其中全等三角形的对数是（）

A

B

A.4B.3C.2D.1

【变式4-1]（2018秋•思明区校级期中）如图，已知，ZCAB=ZDAE,AC=AD,增加下列条件：①AB=

AE-,@BC=ED；③/C=ND；④/8=N£；（5）Z1=Z2.其中能使的条件有（）

C.4个D.5个

【变式4-2]（2018秋•东台市期中）根据下列已知条件，能够画出唯一△ABC的是（）

A.48=6,8c=5,ZA=50°B.AB=5,BC=6,AC=13

C.ZA=50°,N8=80°,AB=8D.ZA=40°,ZB=50°,NC=90°

【变式4・3】（2018秋•东台市期中）如图，给出下列四组条件:

①A8=DE,BC=EF,AC=OF；

@AB=DE,BC=EF,NB=/£；

@ZB=Z£,NC=NF,BC=EF：

@AB=DE,AC=DF,NB=NE.

其中，能使△48C@Z\DEF的条件共有（）

【考点5等腰三角形中的分类讨论思想】

【例5】（2018春•邮城县期中）等腰三角形的周长为15cm,其中一边长为3cm,则该等腰三角形的腰长

为（）

A.3cmB.6cmC.3cm或6cmD.8cm

【变式5-1]（2018春•金水区校级期中）已知等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在的直线的夹角为

40°,则此等腰三角形的顶角是（）

A.50B.130°C.50°或140°D.50°或130°

【变式5-2]（2019秋•绥棱县期中）已知一个等腰三角形底边的长为5cm.一腰上的中线把其周长分成的

两部分的差为3cm,则腰长为（）

A.2cmB.8cmC.2cm或8cmD.10cm

【变式5-3】（2018秋•沙依巴克区校级期中）等腰三角形一腰上的高等于该三角形某一条边的长度的一半,

则其顶角等于（）

A.30°B.30°或150°

C.120°或150°D.30°或120°或150°

【考点6三种双角平分线应用】

【例6】（2018春•翠屏区校级期中）已知△48C,下列说法正确的是（只填序号）.

①如图⑴，若点P是248c和4C8的角平分线的交点，贝ljNP=90°+!/4：

2

②如图（2）,若点P是外角NCBF和/8CE的角平分线的交点，则NP=90°-工/4

2

③如图（3）,若点P是N48C和外角N4CE的角平分线的交点，贝IJNP=L/A

【变式6-1]（2019秋•新洲区期中）如图，△48C中，ZBAC=70a,N48c的平分线与/4CB的外角平分

【变式6-2]（2019秋•高密市期中）如图，N4C0是△A8C的外角，N八8c的平分线与NACO的平分线交

于点4，N48D的平分线与N4CD的平分线交于点4，若NA=60°,则/八2的度数为

，A1

A

4

BCD

【变式6-3]（2018秋•江汉区校级期中）如图，△48C中，ZC=104°,8F平分N48C与△48C的外角平

分线AE所在的直线交于点F,则NF=.

【考点7线段垂直平分线的应用】

【例7】（2018春•叶县期中）如图所示，在△48C中，AB=AC,NB4C为钝缸8c=6,AB.4c的垂直平

分线分别交8c于点D、E,连接AD、AE,那么△4）£的周长为.

【变式7-1]（2018秋•江都区期中）如图，在△A8C中，。〃、EN分别垂直平分47和8c交48于M、N,

NACB=118。，则NMCA/的度数为.

【变式7-2]（2019秋•新乡期中）如图，在△DAE中，ZDAE=30°,线段4E,AD的中垂线分别交直线

DE于8和C两点，则NB4C的大小是.

【变式7-3]（2018秋•老河口市期中）如图，△ABC的边48,AC的垂直平分线相交于点P,连接P8,PC,

若/4=70°,则NBPC的度数是

【考点8利用轴对称变换求最值】

【例8】（2017秋•襄州区期中）如图，NAO8=30°,乙4。8内有一定点P,且OP=12,在上有一点

Q,。8上有一点R,若也。。/?周长最小，则最小周长是

【变式8-1］（2018秋•洛龙区校级期中）如图，等腰三角形48c的面积是16,且底边8c长为4,腰4c的

垂直平分线EF分别交边4C,八8于点EF,若点。为边8c的中点，点M为线段EF上一动点，则△CMD周

长的最小值是

【变式8-2］（2019秋•北塘区期中）如图，在五边形48CDE中，ZBAE=13C,ZB=ZE=90°,在8C,

DE上分别找一点M,N,使得△4MN的周长最小时，则N4MN+N4VM的度数为.

【变式8-3］（2019•黄冈期中）如图，AC,8。在48的同侧，AC=2,BD=3,A8=8,点M为48的中点,

若NCMD=120°,则8的最大值是

D

【考点9全等三角形的判定与性质】

【例9】（2019秋•吉县期中）如图：在△阳C中，BE、CF分别是4C、48两边上的高，在8E上截取8D=

AC.在CF的延长线上截取CG=48,连接4）、AG.

（1）求证：AD=AG；

（2）4D与4G的位置关系如何，请说明理由.

【变式9-1］（2019•内江期中）如图，△4CD和△8CE都是等腰直角三角形，ZACD=ZBCE=90°,45交

C。于点F,8D分别交CE、AE于点G、H.试猜测线段AE和8D的数量和位置关系，并说明理由.

【变式9-2］（2019秋•九龙坡区校级期中）如图，已知在△48C中，4?是8c边上的中线，E是4D上一点,

连接8E并延长交4c于点F,AF=EF,求证：AC=BE.

【变式9-3］（2019秋•吴兴区校级期中）如图，在△48C和△4DE中，AB=AC,AD=AE,ZBAC=DAE=90

°,线段8D,CE有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由.

E

A

RC

【考点10灵活运用30°直角三角形】

[M10](2018秋•天台县期中)如图，在RtAA8c中,CM平分N4CB交A3于点M,过点M作MN//BC

交AC于点N,且MN平分/AMC,若AN=L

(1)求N8的度数；

(2)求CN的长.

X

BC

【变式10-1](2019秋•江津区校级期中)已知：如图8c中，48=47,ZC=30°,AB1AD,AD=4cm.求

8c的长.

A

BDC

【变式10-2】(2019秋•重庆校级期中)如图，己知△48C中，48=4二，ZBAC=120°,AC的垂直平分线

EF交47于点£,交BC于点F,且CF=3.求8F.

BN------------------/-------

【变式10-3】(2018春•槐荫区期中)如图所示，在等边△ABC中，点0,E分别在边8C,AC上，且。E〃

AB,过点E作£F_LDE,交8c的延长线于点F.

(1)求NF的大小；

(2)若8=3,求OF的长.

【考点11灵活运用“三线合一”】

【例11】（2018秋•思明区校级期中）如图，已知等边△ABC中，。是AC的中点，E是8c延长线上的一点,

且CE=CD,DM1BC,垂足为M,求证：M是8E的中点.

【变式11-1】（2018秋•湖里区校级期中）如图，△48C中，AC=2AB,4?平分N8AC交8c于D,E是4D

上一点，且E4=£C,求证：EBLAB.

【变式11-2】（2019春•广饶县期中）己知△48C中，ZA=9O0,AB=AC,。为8c的中点.

（1）如图，若£、F分别是AB、4?上的点，且BE=AF.求证：ZWEF为等腰直角三角形；

（2）若E,F分别为48,C4延长线上的点，仍有8E=4F,其他条件不变，那么是否仍为等腰直

角三角形？证明你的结论.

【变式115］（2018秋•研口区期中）如图，在等边△阳C中，。是八8上一点，£是8c延长线上一点，AD

=CE,DE交AC于点F.

（1）求证：DF=EF；

（2）过点D作OH_LAC于点H,求理.

H

D

B---------------c-----E

【考点12复杂的尺规作图】

【例12】（2019秋•罗平县期中）作图题，求作一点P,使PM=PN,且到/AO8的两边距离也相等.

【变式12-1】（2019春•东阳市期中）如羽，已知△A8C.

（1）用尺规作△aBC的角平分线8D（保留痕迹，不写作法）；

（2）画8c边上的高AE；

（3）画48边上中线CF；

（4）在4C边上找点P,使得点P到点8与点C的距离相等.

【变式12-2】（2019春•雁塔区校级期中）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹：

已知：如图，ZABC,射线8c上一点D.

求作：等腰△P8。，使线段8。为等腰的底边，点P在N48C内部，点P到NA8C两边的距离相等.

【变式12-3】（2018•惠山区二模）如图，已知8c（4CVA8V8C）,请用直尺（不带刻度）和圆规，按

下列要求作图（不要求写作法，但要俣留作图痕迹）：

（1）在边8（7上确定一点P,使得P4+PC=BC

（2）作出一个△DEF,使得：①ADEF是直角三角形；②ADEF的周长等于边8c的长.

【例13】（2018秋•杭州期中）如图，Z\A8c中，AB=AC,。£垂直平分48,BE1AC,AFLBC,求NEFC的

度数.

【变式13-1】（2019秋•沛县期中）如图，在AA8c中，AB=AC=2,NB=NC=40°,点D在线段BC上

运动（点。不与点8、C重合），连接A。，作/4。£=40。，DE交线段4C于点E.

（1）当NBOA=115°时，ZBAD=°,ZEDC=°,NDEC=°；点。从8向C

的运动过程中，N8DA逐渐变（填“大”或“小”）；

（2）当DC等于多少时，△ABD0△£）（?£,请说明理由.

【变式13-2】（2018秋•泗阳县期中）已知，在△48C中，点。在8c上，点E在8c的延长线上，且8。=

8ACE=CA.

（1）如图1,若N8AC=90°,Z8=45°,试求/DAE的度数；

（2）若NBAC=90",N8=60°,则ND4E的度数为（直接写出结果）；

（3）如图2,若/8AC>90°,其余条件不变，探究ND4E与N84C之间有怎样的数量关系？

BDBDC

图1图2

(1)如图①，已知N84C=90°,ZBAD=60°,求NCDE的度数.

(2)如图①，已知/84C=90°,当点D在8c(点8、C除外)上运动时，试探究NB4D与NCDE的数

量关系；

(3)如图②，若N84CW90°,试探究N84。与NCDE的数量关系.

【考点14等腰三角形中的新定义问题】

【例14】(2019秋•椒江区校级期中)定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这

两条线段叫做这个三角形的“三阶等腰线”.

(1)请你在图1,图2中用两种不同的方法画出顶角为36°的等腰三角形的“三阶等腰线”，并标注每

个等腰三角形顶角的度数.(若两种方法分得的三角形成3对全等三角形，则视为同一种).

(2)如图3,/XABC中，Z8=36°,八。和OE是aA8c的“三阶等腰线”，点。在8c边上，点£在4?

边上，且AD=8。，DE=CE,设NC=x。，试画出示意图，并求出x所有可能的值.

【变式14-1】(2019春•市北区期中)(本题画图时，直接用直尺画出相关线段即可，不需尺规作图，直接

标注等腰三角形顶角度数即可，不需写出求解过程)

把一张顶角为36°的等腰三角形纸片折叠两次，得到3个等腰三角形，你能办到吗？图1是其中的一种

方法（虚线表示折痕）

定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线

（1）请你在图1后面用另一种不同的方法画出顶角为36°的等腰三角形的三分线

①标注折痕（折痕用虚线表示）

②标注得到的每个等腰三角形顶角的度数；

（若两种方法分得的三角形形成3对全等三角形，则视为同一种）

（2）请你在图2中用两种不同的方法画出顶角为45°的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形

顶角的度数（不必标注折痕，若两种方法分得的三角形成3对全等三角形，则视为同一种）

图1图2

【变式14-2】（2019春•顺德区期中）如昊一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线

段为这个三角形的特异线，称这个三角形为特异三角形.

（1）如图1,△48C是等腰锐角三角形，AB=AC（AB>BC）,若N48C的角平分线8。交AC于点D,且

BD是△ABC的一条特异线，则N8DC=度；

（2）如图2,ZX/IBC中，N8=2NC,线段4?的垂直平分线交4c于点。，交8c于点£.求证：4£是4

A8C的一条特异线；

（3）如图3,已知△ABC是特异二角形，且N4=30°,N8为钝角，求出所有可能的N8的度数（如有

需要，可在答题卡相应位置另外画图）.

【变式14-3】（2018秋•滨湖区期中）【定义】数学课上，陈老师对我们说，如果1条线段将一个三角形分

成2个等腰三角形，那么这1条线段就称为这个三角形的“好线”，如果2条线段将一个三角形分成3

个等腰三角形，那么这2条线段就称为这个三角形的“好好线”.【理解】如图①，在aABC中，N4

=36°,/C=72；请你在这个三角形中画出它的“好线”，并标出等腰三角形顶角的度数.

如图②，已知△ABC是一个顶角为45°的等腰三角形，请你在这个三角形中画出它的“好好线”，并标

出所分得的等腰三角形底角的度数.

【应用】

（1）在△ABC中，已知一个内角为42°,若它只有“好线”，请你写出这个三角形最大内角的所有可

能值:

（2）在△A8C中，ZC=27°,4。和。E分别是△ABC的“好好线”，点。在8c边上，点£在48边上,

且AD=DC,BE=DE,请你根据题意画出示意图，并求N8的度数.

【考点15翻折变换中的角度问题】

【例15】（2019春•东台市校级期中）△A8C,直线DE交A8于D,交AC于£,将沿DE折叠，使4

落在同一平面上的4处，ZA'的两边与B。、CE的夹角分别记为Nl,Z2.

（1）如图①，当4落在四边形BDEC内部时，探索N4与N1+N2之间的数量关系，并说明理由.

【变式15-1】（2019春•淮阴区期中）如图（1）,/XABC是一个三角形的纸片，点。、£分别是△A8C边上

的两点，

研究（1）：如果沿直线DE折叠，则N8DA'与N4的关系是.

研究（2）：如果折成图2的形状，猜想N8D“、ZCEA'和N4的关系，并说明理由.

研究（3）：如果折成图3的形状，猜想N8O“、ZCEA,和N4的关系，并说明理由.

BBB

图1图2图3

【变式15-2】（2019秋•李沧区期中）图形在折登过程中会形成相等的边和相等的角，下面是同学们在数学

课上所做的三角形、四边形折叠实验，请根据实验过程解决问题:

问题（一）

如图①，一张三角形48c纸片，点0、£分别是8c边上两点.

研究（1）：如果沿直线DE折叠，使4点落在CE上，则N8M'和NA的数量关系是;

研究（2）：如果折成图②的形状，猜想N8D1、NCEA'和NA的数量关系是；

研究（3）：如果折成图③的形状，猜想N8D4'、NCE4和N4的数量关系，并说明理由.

问题（二）

研究（4）：将问题（一）推广，如图④，将四边形48co纸片沿EF折叠，使点48落在四边形EFCD

的内部时，N1+N2与NA、N8之间的数量关系是.（直接写出结论）

【变式15-3】（2019春•广陵区校级期中）发现（1）如图1,把△48C沿DE折叠，使点4落在点A'处,

请你判断N1+N2与NA有何数量关系，直接写出你的结论，不必说明理由

思考（2）如图2,8/平分乙48C,Q平分NAC8,把△48C折叠，使点A与点/重合，若Nl+N2=100°,

求/8/C的度数；

拓展（3）如图3,在锐角△48C中，BF_L4;于点F,CG_LA8于点G,BF、CG交于点H,把△48C折叠

使点A和点H重合，试探索N8HC与N1+N2的关系，并证明你的结论.

【考点16三角形中的动点问题】

【例16】（2019秋•全椒县期中）已知△48C中，AC=BC,/C=120°,点D为48边的中点，ZEDF=60

°,DE、DF分别交AC、8c于E、F点.

（1）如图1,若EF〃48.求证：DE=DF.

（2）如图2,若EF与48不平行.则问题（1）的结论是否成立？说明理由.

【变式16-1】（2018秋•开州区期中）在AABC中，4B=4C,点。为射线CB上一个动点（不与8、C重合），

以AD为一边在4。的右侧作△4DE,使4D=4EZDAE=ZBAC,过点E作EF〃8C,交直线4c于点F,

连接CE.

（1）如图①，若N84C=60°,则按边分类：Z\CEF是三角形；

（2）若N8AC<60°.

①如图②，当点。在线段CB上移动时，判断的形状并证明；

②当点D在线段CB的延长线上移动时，ACEF是什么三角形？请在图③中画出相应的图形并直接写出

结论（不必证明）.

AA

【变式16-2】（2018秋•十堰期中）在△48C中，AB=AC,D是直线8c上一点，以4。为一条边在AD的右

侧作△4DE,使AE=A。，ZDAE=ZBAC,连接CE.

（1）如图，当点。在8c延长线上移动时，若N8AC=25°,则NOCE=.

（2）设N8AC=a,ZDC£=p.

①当点。在8c延长线上移动时，a与0之间有什么数量关系？请说明理由；

②当点D在直线8c上（不与8,C两点重合）移动时，a与0之间有什么数量关系？请直接写出你的结

备用图备用图

【变式16-3】（2019秋•洪山区期中）（1）如图1,己知△A8C中，ZBAC=9Q°,AB=AC,直线m经过

点A,8O_L直线m,CE_L直线m,垂足分别为点D、E.求证：DE=BD+CE.

（2）如图2,将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC,D、4、E二点都在直线m上，并且有N8D4

=^AEC=ZBAC,求证：DE=BD+CE

（3）拓展与应用：如图3,D、E是D'4E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），

点F为N8AC平分线上的一点，且△刖「和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE,若NBDA=NAEC=N

BAC,求证：为等边三角形

图3专题06八年级数学上

册期中考试重难点题型【举一反三】

【人教版】

【知识点a三角形

1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.

2.三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边.

3.高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高.

钝角三角形三条高的交点在三角形外,直角三角形的三条高的交点在三角形上，

锐角三角形的三条高的交点在三角形内，三条高线的交点叫做三角形的垂心

4.中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线.（三条中线的交点叫重心）

5.角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形

的角平分线.（三角形三条角平分线的交点到三边距离相等，三条角平分线的交点叫做内心

6.三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性.

（例如自行车的三角形车架利用了三角形具有稳定性）

7.多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.

8.多边形的内角：多边形相邻两边组成的甭叫做它的内角.

9.多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.

10.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对带线.

11.正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫正多边形.

12.平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面，

13.公式与性质：

⑴三角形的内角和：三角形的内角和为180。

⑵三角形外角的性质：

性质1：三角形的一个外角等于和它不用邻的两个内角的和.

性质2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.

⑶多边形内角和公式：〃边形的内角和等于（〃-2）・180。（4）多边形的外角和：多边形的外角和为360。.

（5）多边形对角线的条数：①从〃边形的一个顶点出发可以引（〃-3）条对角线，把多边形分成（〃-2）个三

角形.

②〃边形共有幽心条对角线.

2

【知识点2】全等三角形

1.基本定义：

⑴全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形.

⑵全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.

⑶对应顶点：全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点.

⑷对应边：全等三角形中互相重合的边叫做对应边.

⑸对应角：全等三角形中互相重合的角叫做对应角.

2.基本性质：

⑴三角形的稳定性：三边的长度确定了，这个三角形的形状、大小就全确定，这个性质叫做三角形的稳

定性.

⑵全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等.

3.全等三角形的判定定理：

⑴边边边（SSS）：三边对应相等的两个三角形全等.

⑵边角边（SAS）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.

⑶角边角（AS4）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.

⑷角角边（A4S）：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.

⑸斜边、直角边（HL）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.

4.角平分线：

⑴画法：（2）性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等.

⑶性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.

（三角形三条角平分线的交点到三边距离相等）

【知识点3】轴对称

1.基本概念：

⑴轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称

图形.

⑵两个图形成轴对称：把一个图形沿某一条直线折段，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个

图形关于这条直线对称.

⑶线段的垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.

⑷等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰

所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.

⑸等边三角形：三条边都相等的三角形叫做等边三角形.

2.基本性质：

⑴对称的性质：

①不管是轴对称图形还是两个图形关于某条直线对称，对称轴都是任何一对对应点所连线段的垂直平

分线.

②对称的图形都全等.

⑵线段垂直平分线的性质：

①线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.

②与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.

⑷等腰三角形的性质:

①等腰三角形两腰相等.

②等腰三角形两底角相等（等边对等角）.

③等腰三角形的顶角角平分线、底边上的中线，底边上的高相互重合.

④等腰三角形是轴对称图形，对称轴是三线合一（1条）.

⑸等边三角形的性质：

①等边三角形三边都相等.

②等边三角形三个内角都相等，都等于60。

③等边三角形每条边上都存在三线合一.

④等边三角形是轴对称图形，对称轴是三线合一（3条）.

3.基本判定：

⑴等腰三角形的判定：

①有两条边相等的三角形是等腰三角形.

②如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）.

⑵等边三角形的判定：

①三条边都相等的三角形是等边三角形.

②三个角都相等的三角形是等边三角形.

③有一个角是60。的等腰三角形是等边三角形.

4.基本方法：

⑴做已知直线的垂线：

⑵做已知线段的垂直平分线：

⑶作对称轴：连接两个对应点，作所连线段的垂直平分线.

⑷作已知图形关于某直线的对称图形：

⑸在直线上做一点，使它到该直线同侧的两个已知点的距离之和最短.

【考点1灵活运用三角形三边关系】

【例1】已知△ABC的三边长为小b,c,化简|a+〃-c|-|b-a-c|的结果是＜）

A.2b-2cB.-2bC.2a+2bD.2a

【分析】先根据三角形三边关系判断出。+力-c与“。的符号，再把要求的式子进行化简，即可得出

答案.

【答案】解：•二△a次？的三边长分别是〃、氏c,

a+b>cfh-«<c,

•\a+b-c>0,b-a-c<0,

/.\a+b-c\-\b-a-c\=a+b-c-(-b+a+c)=a+b-c+b-a-c=2(b-c)；

故选：A.

【点睛】此题考查了三角形三边关系，用到的知识点是三角形的三边关系、绝对值、整式的加减，关键

是根据三角形的三边关系判断出"b-c与，h-a-c的符号.

【变式1-1】设三角形三边之长分别为3,8,1-2小则。的取值范围为()

A.-6<a<-3B.-5<a<-2C.-2<d<5D.aV・5或a>2

【分析】根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边和两边之差小于第三边列出不等式组求出其解即

可.

【答案】解：由题意，得

8-3<1-2a<8+3,

即5<1-2a<ll,

解得：-5<a<-2.

故选：B.

【点睛】本题考查了根据三角形三边关系建立不等式组解实际问题的运用，不等式组的解法的运用，解

答时根据三角形的三边关系建立不等式组是关键.

【变式1-2］如图，在△ABC中，AB=5,AC=3,则8。边上的中线AD的取值范围是()

A.2<AD<SB.0<AD<8C.\<AD<4D.3<AD<5

【分析】先延长4。到£且AD=DE,并连接BE,由于N4OC=NBQ£,AD=DE,利用S4S易证△

ADC^AEDB,从而可得AC=8E,在△ABE中，再利用三角形三边的关系，可得2VAEV8,从而易求

1VAOV4.

【答案】解：延长AO到£使A£>=Z)£,连接BE,

a：AD=DE,ZADC=ZBDE,BD=DC,

AAADC^AEDB(SAS)

：,BE=AC=3,

在△AE8中，AB-BE<AE<AB+BE,

即5-3<2AD<5+3,

•••1VAOV4,

，/的取值范围是1V/V4,

故选：C.

【点睛】此题主要考查三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.

【变式1-3】在等腰△ABC中，AB=AC,其周长为20cvn,则AB边的取值范围是()

A.\cm<AB<4cmB.5cm<AB<\0cm

C.4cm<AB<ScmD.4cm<AB<\0cm

【分析】设A5=AC=JG则BC=20-2X,根据三角形的三边关系即可得出结论.

【答案】解：:在等腰△4BC中，AB=AC,其周长为20CM,

・•,设A6=AC=xcm,贝ij8C=(20-2A)cm,

•f2x>20-2x

20-2x>0'

解得5cm<x<10cm.

故选：B.

【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质、解一元一次不等式组，熟知等腰三角形的两腰相等是解答此

题的关键.

【考点2角平分线与多边形内角和】

【例2】如图，在五边形A8CQE中，NA+N8+NE=a,DP,CP分别平分NEDC,/BCD,则NP的度数

是()

A.90°+岂B.-90°C.D.5400-Xa

2222

【分析】根据五边形的内角和等于540。，由NA+NB+NE=a,可求N8CD+N8E的度数，再根据角

平分线的定义可得NPDC与NPCO的角度和，进一步求得NP的度数.

【答案】解：•・•五边形的内角和等于540°,NA+N5+NE=a,

・・・/BCZHN以%=5400-a,

♦NBCD、NCDE的平分线在五边形内相交于点O,

：・/PDC+/PCD=L(/BCD+NCDE)=270°-La,

22

/.ZP=180°-(270°=工-90。，

22

故选：B.

【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式，角平分线的定义，熟记公式是解题的关键.注意整体思

想的运用.

【变式2-1］如图，在四边形438中，N0A8的角平分线与NA4C的外角平分线相交于点P,且NZHNC

=210°,则NP=()

A.10°B.15°C.30°D.40,

【分析】利用四边形内角和是360°可以求得ND4B+NABC=150°.然后由角平分线的性质，邻补角

的定义求得的度数，所以根据△A8P的内角和定理求得NP的度数即可.

【答案】解：如图，VZD+ZC=210°,ZDAB+ZABC+ZC+ZD=36OC,

：.^DAB+ZABC=\50°.

又•・•NOAB的角平分线与NA8C的外角平分线相交于点P,

：,^PAB+^ABP=1-ZDAB+ZABC+-(180°-NABC)=90°+—(ZDAB+ZABC)=165°,

222

AZP=180°-(N必3+NA8P)=15°.

故选：B.

【点睛】本题考查了三角形内角和定理、多边形的内角与外角.熟知“四边形的内角和是360°”是解

题的关键.

【变式2-2］如图，在四边形ABCO中，/A+NO=a,NABC的平分线与NBC。的平分线交于点P,则/

+工

C.90°D.360°-a

2

【分析】先求出NA8C+NBCO的度数，然后根据角平分线的性质以及三角形的内角和定理求解/P的度

数.

【答案】解：•・•四边形A8CQ中，NABC+N8CQ=360°-(N4+NO)=360°-a,

•.•P8和尸。分别为NA8C、N8c。的平分线，

：・4PBC+/PCB=L(NABC+NBCD)=-1(360°-a)=180°■岂，

222

则/P=1800-QPBC+/PCB)=180°-(180°・L)=1.