专题07 与相似有关的压轴题九年级数学上学期期末解答题必刷专题训练（华师大版）

与相似有关的压轴题1．如图1，在梯形ABCD中，ADBC，BC=2AD，E为边BC的中点，请仅用无刻度的直尺作图：（1）作BD的中点F；（2）作BE的中点G；（3）如图2，△BDE的中线EF、DG交于点H，若△EGH的面积为1，则四边形BGHF的面积为．2．如图1，矩形ABCD中，点E是CD边上的动点（点E不与点C、D重合），连接AE，过点A作AF⊥AE交CB延长线于点F，连接EF，点G为EF的中点，连接BG．（1）如图2，若四边形ABCD为正方形，其面积为S，四边形BCEG的面积为S1，当S1＝S时，求的值．（2）如图1，若AB＝20，AD＝10，设DE＝x，点G到直线BC的距离为y，求出y与x的关系式；当＝时，求x的值．3．在菱形ABCD中，CD＝CA＝6，对角线AC、BD交于点O，E为边BC上一点，直线EO分别交边AD、射线BA于点G、F．（1）求菱形ABCD的面积；（2）请判断是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由；（3）设△BEF的面积为S1，四边形ABED的面积为S2，试确定点E的位置，使得．4．如图，锐角ADC，AO垂直平分BC交CD于O点，B是AD上一点，若记AOC面积为S1，BOD的面积S2，AOD的面积为S3；（1）求证：；（2）若=．①求证：BD=AC·AD；②若OA=1，求的值．5．把两块全等的直角三角形ABC和DEF叠放在一起，使三角板DEF的锐角顶点D与三角板ABC的斜边中点O重合，其中∠ABC＝∠DEF＝90°，∠C＝∠F＝45°，AB＝DE＝4，把三角板ABC固定不动，让三角板DEF绕点O旋转，设射线DE与射线AB相交于点P，射线DF与线段BC相交于点Q．（1）如图，当射线DF经过点B，即点Q与点B重合时，易证．此时，＝．（2）将三角板DEF由图所示的位置绕点O沿逆时针方向旋转，设旋转角为α．其中0°＜α＜90°，问的值是否改变？说明你的理由．（3）在（2）的条件下，设2＜x＜4，两块三角板重叠面积为y，求y与x的函数关系式．6．如图，在矩形ABCD中，，，点P从点A出发在边AB上向点B匀速运动，同时点Q从点A出发在边AD上向点D匀速运动，速度都是1cm/s，运动时间是ts（），，交BD于点E，点Q关于PE的对称点是F，射线PF分别与BD，CD交于点M，N．（1）求度数，并用含t的代数式表示PE的长；（2）在点P，Q运动过程中，过点M作于点H，①求证：，②t为何值时，以点P，Q，E为顶点的三角形与相似？7．在菱形ABCD中，对线AC，BD交于点O，且AC=16cm，BD=12cm；点P从点B出发，沿BC方向匀速运动，速度为2cm/s；点Q从点D出发，沿DO方向匀速运动，速度为1cm/s；若P，Q两点同时出发，当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．过点Q作EF⊥BD，交AD于点E，交CD于点F，设运动时间为t（s）．解答下列问题：（1）求菱形的边长，并用含t的代数式表示DE的长度；（2）当t为何值时，线段PE∥AB?（3）设四边形CFEP的面积为S（cm2），求S关于t的函数关系式；（4）是否存在某一时刻t，使得以B，P，Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．8．如图（1），在四边形ABCD中，AB∥DC，CB⊥AB，AB＝16cm，BC＝6cm，CD＝8cm，动点P从点D开始沿DA边匀速运动，动点Q从点A开始沿AB边匀速运动，它们的运动速度均为2cm/s．点P和点Q同时出发，设运动的时间为t（s），0＜t＜5（1）用含t的代数式表示AP；（2）当以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABD相似时，求t的值；（3）如图（2），延长QP、BD，两延长线相交于点M，当△QMB为直角三角形时，求t的值．9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，BE平分∠ABC．BE分别与AC，CD相交于点E，F．（1）求证：△AEB∽△CFB；（2）若CE＝5，，BD＝6．求AD的长．10．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，点E是边CD上任意一点（点E与点C、D不重合），过点A作AF⊥AE，交边CB的延长线于点F，连接EF，交边AB于点G．设DE＝x，BF＝y．（1）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（2）如果AD＝BF，求证：AEF∽DEA；（3）当点E在边CD上移动时，AEG能否成为等腰三角形？如果能，请求出线段DE的长；如果不能，请说明理由．11．（问题）如图①，在△ABC中，D是BC的中点，E是AB上一点，延长DE，CA交于点F，若DEEF，AB4，求AE的长．（提示：如图②，过点E作EH∥BC交AC于H，再通过相似三角形的性质得到AE和AB的比，从而得到AE的长．请你按照这个思路完成解答．）（探究）在原问题的条件下，可以得到AF和AC的数量关系是．（拓展）如图③，在△ABC中，AD是中线，点E在线段AD上，且AE∶AD1∶3，连结BE并延长，交AC于点F，若，则．12．如图，矩形中，，，动点在边上，与点、不重合，过点作的垂线，交直线于点．设，．（1）求关于的函数关系式，并写出的取值范围．（2）若点在线段上，当时，求的长．（3）若直线与线段延长线交于点，当与相似时，求的长．13．已知，如图，在矩形ABCD中，，，对角线AC，BD交于点O．点P从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度也为1cm/s：当一个点停止运动时，另一个点也停止运动：联结PO并延长，交BC于点E，过点Q作，交BD与点F，设运动时间为．（1）当t为何值时，是等腰三角形；（2）设五边形OECQF的面积为，求S关于t的函数关系式；（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使OD平分?若存在求出t的值；若不存在，请说明理由．14．（探究）如图①，在中，点、、分别在边、、上，，．（1）求证：．（2）若、的面积分别为和，则的值为______．（拓展）如图②，在中，点、分别在边、上，点、在边上，且，．若、、的面积分别为，，，则的面积为______．15．如图，中，，，．动点从点出发，在边上以的速度向定点运动，同时动点从点出发，在边上以的速度向点运动，运动时间为，连接．（1）当为何值时，与相似？（2）连接，，如图1所示，若，求的值．（3）当为何值时，是等腰三角形？16．如图1，在正方形ABCD中，点E是CD上一点（不与C，D两点重合），连接BE，过点C作CH⊥BE于点F，交对角线BD于点G，交AD边于点H，连接GE．（1）求证：DH＝CE；（2）如图2，若点E是CD的中点，当BE＝8时，求线段GH的长；（3）设正方形ABCD的面积为S1，四边形DEGH的面积为S2，当时，值为．（直接写答案）17．如图，在直角中，，，，点是的中点，点是边上的动点，交射线于点．（1）求的长；（2）连接，当时，求的长；（3）连接，当和相似时，请直接写出的长．18．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，点P由B点出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s，点Q由A点出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s；若设运动的时间为t（s）（0＜t＜2），解答下列问题：（1）如图①，连接PQ，直接写出t＝时，以A、P、Q为顶点的三角形与△ACB相似．（2）如图②，当点P，Q运动时，是否存在某一时刻t，使得PQ＝PC，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由；（3）如图③，当点P，Q运动时，线段BC上是否存在一点G，使得四边形PQGB为菱形？若存在，试求出BG长；若不存在，请说明理由．19．如图，已知：在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，点P从点B出发，沿BC方向匀速运动，速度为2cm/s；与点P同时，点Q从D点出发，沿DA方向匀速运动，速度为1cm/s；过点Q作QE∥AC，交DC于点E．设运动时间为t（s），（0＜t＜4），解答下列问题：（1）当t＝时，BP长为cm，AQ长为cm；（2）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使PQ平分∠APC？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（3）当0＜t＜时，是否存在某一时刻t，使△PQE是直角三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．20．如图，已知矩形中，，．（1）如图①，若动点Q从点C出发，在CA边上以每秒的速度向点A匀速运动，同时动点P从点B出发，在BC边上以每秒的速度向点C匀速运动，运动时间为t秒（），连接BQ、AP，若，求t的值；（2）若点Q在对角线AC上，，动点P从B点出发，以每秒的速度沿BC运动至点C止．设点P运动了t秒，请你探索：从运动开始，经过多少时间，以点Q、P、C为顶点的三角形是等腰三角形？请求出所有可能的t的值．21．如图，在△ABC中，BA=BC，AB=kAC．点F在AC上，点E在BF上，BE=2EF．点D在BC延长线上，连接AD、AE，∠ACD+∠DAE=180°．（1）证明：；（2）求的值（用含k的式子表示）；（3）如图2，若，求的值（用含k的式子表示）．22．如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，如果点E由点B出发沿BC方向向点C匀速运动，同时点F由点D出发沿DA方向向点A匀速运动，它们的速度分别为每秒2cm和1cm，FQ⊥BC，分别交AC、BC于点P和Q，设运动时间为t秒（0＜t＜4）．（1）连接EF，若运动时间t＝秒时，求证：EQF是等腰直角三角形．（2）连接EP，当EPC的面积为3cm2，求t值．（3）当EF⊥AC时，求运动时间t．23．如图，在平行四边形中，，，，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为.当一个点停止运动，另一个点也停止运动.过点作交于点，连接，交于点.设运动时间为.解答下列问题：（1）当为___________时，？（2）连接，设四边形的面积为，求与的函数关系式.（3）当为何值时，点在线段的垂直平分线上？（4）若点关于的对称点为，是否存在某一时刻，使得点，，三点共线？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.24．如图，平面直角坐标系中有一个边长为2的正方形，为的中点，将沿直线对折，使点落在处，连接，过点作于．（1）写出点、、的坐标；（2）判断与是否相似，若是，请给出证明；（3）求点的坐标．25．如图（1），在四边形中，，，，，，动点从点开始沿边匀速运动，动点从点开始沿边匀速运动，它们的运动速度均为．点和点同时出发，设运动的时间为，．（1）用含的代数式表示；（2）当以点，，为顶点的三角形与相似时，求的值；（3）如图（2），延长，，两延长线相交于点．当为直角三角形时，求的值．26．如图，在中，，P，D分别是BC，AC边上的点，且．若，，当为直角三角形时，求BP的长．27．已知：如图，在中，，，，点P从A点出发，沿方向匀速运动速度为；同时，点Q从点C出发，沿方向匀速运动速度为．设运动时间为．解答下列问题：（1）当t为何值时，？（2）是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．（3）是否存在某一时刻t，使为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．28．在中，，E为AC上一点，连接BE．（1）如图1，当时，将绕点C逆时针旋转90°得到，点E的对应点F落在BC延长线上，求证：；（2）过点C作，垂足为P，连接AP并延长交BC于点Q．①如图2，若，求证：；②如图3，若，，，求AP的长（用含a、k的式子表示）．29．如图1，已知在Rt△ABC中，AB＝5cm，BC＝12cm，以BC为边作正方形BCDE，点P从点A出发，沿ABE方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点C出发，沿CA方向匀速运动，速度为2cm/s，连接PQ．设运动时间为t（s）（0＜t＜6.5），解答下列问题：（1）当t为何值时，PQ∥BC？（2）如图2，连接PQ，交BC于点F，是否存在某一时刻t，使△BFP与△QFC相似？（3）用含t的代数式表示出五边形PEDCQ的面积．30．矩形ABCD中，AB＝CD＝3cm，AD＝BC＝4cm，AC是对角线，动点P从点A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为1cm/s；动点Q从点C出发沿CD方向向点D匀速运动，速度为2cm/s．过点P作BC的垂线段PH，运动过程中始终保持PH与BC互相垂直，连接HQ交AC于点O．若点P和点Q同时出发，设运动的时间为t（s）（0＜t＜1.5），解答下列问题：（1）求当t为何值时，四边形PHCQ为矩形；（2）是否存在一个时刻，使HQ与AC互相垂直？如果存在请求出t值；如果不存在请说明理由；（3）是否存在一个时刻，使矩形ABCD的面积是四边形PHCQ面积的，如果存在请求出t值；如果不存在请说明理由．31．如图1，点E，F在正方形ABCD的对角线AC上，∠EBF=45°．（1）当BE=BF时，求证：AE=CF；（2）求证：△ABF∽△CEB；（3）如图2延长BF交CD于点G，连接EG．判断线段BE与EG的关系，并说明理由．32．（感知）小明同学复习“相似三角形”的时候遇到了这样的一道题目：如图，在中，，D为BC上一点，过点D作，交AC于点E．求证：∽．小明同学分析后发现，是的外角，可得，再结合已知条件可以得到∽．请根据小明的分析，结合图①，写出完整的证明过程．（探究）在中，，，D为BC上一点．（1）如图②，过点D作，交AC于点E．当时，AD的长为______．（2）如图③，过点D作，分别交AB、AC于点F、E．当时，BF的长的取值范围为______．33．已知，在ABC中，D是BC上一点，AB＝AD．（1）如图1，当BD＝CD，F是AD中点时，连BF并延长交AC于E．①判断ABC与BFD是否相似，并说明理由．②连接DE，求证：DE⊥BC．（2）在（1）的条件下，当时，求∠BAC的度数．（3）如图2，当BD＝2CD时，作DE⊥BC交AC于E，连BE交AD于F，求AF：FD的值．34．△ABC中，点D是BC边上的一点，点F在AD上，连接BF并延长交AC于点E；（1）如图1，若D为BC的中点，，求证：AF＝FD；（2）尺规作图：在图2中，请利用圆规和无刻度的直尺在AC上找一点E，使得；（3）若F为AD的中点，设，请求出m、n之间的等量关系．35．（1）（问题背景）如图1，在等边△ABC中，点M是BC边上一点，连接AM，以AM为边作等边△AMN（A，M，N按逆时针方向排列），连接CN，求证：AC=CM+CN（2）（变式探究）如图2，已知△ABC∽△ADE，请指出图中的另外一对相似三角形并进行证明；（3）（拓展应用）如图3，在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，∠ABC=∠ADE=30°，点D在BC边上，求的值和∠DCE的度数．36．在平行四边形中，，，的顶点在上，交直线于点．（1）如图1，若，，则_______．图1（2）如图2，在上取点，使，连接，若，求证：．图2（3）如图3，若，点关于的对称点为点，交于点，对角线、交于点，连接交于点，求的长．图337．已知：如图①，在平行四边形ABCD中，AB＝3cm，BC＝5cm，AC⊥AB．△ACD沿AC方向以速度为1cm/s匀速平移得到△PMN；同时，点Q从点C出发，沿CB方向匀速运动，速度为1cm/s．当△PMN停止平移时，点Q也停止运动，如图②设运动时间为t（s）（0＜t＜4）．解答下列问题：（1）当t为何值时△ABC与△PQC相似？（2）当t为何值时∠QPC＝45°？（3）是否存在某一时刻t，S△QMC：S四边形ABQP＝1：35．若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．38．（1）如图1，正方形ABCD和正方形DEFG（其中），连接CE，AG交于点H，请直接写出线段AG与CE的数量关系________，位置关系________；（2）如图2，矩形ABCD和矩形DEFG，，，，连接AG，CE交于点H，（1）中线段关系还成立吗？若成立，请写出理由；若不成立，请写出线段AG，CE的数量关系和位置关系，并说明理由；（3）矩形ABCD和矩形DEFC，，，直线AG，CE交于点H，当点E与点H重合时，请直接写出线段AE的长．39．（模型呈现：材料阅读）如图，点B，C，E在同一直线上，点A，D在直线CE的同侧，△ABC和△CDE均为等边三角形，AE，BD交于点F．对于上述问题，存在结论（不用证明）：（1）△BCD≌△ACE．（2）△ACE可以看作是由△BCD绕点C旋转而成；…（模型改编：问题解决）点A，D在直线CE的同侧，AB＝AC，ED＝EC，∠BAC＝∠DEC＝50°，直线AE，BD交于F．如图1：点B在直线CE上．①求证：△BCD∽△ACE；②求∠AFB的度数．如图2：将△ABC绕点C顺时针旋转一定角度．③补全图形，则∠AFB的度数为；④若将“∠BAC＝∠DEC＝50°”改为“∠BAC＝∠DEC＝m°”，则∠AFB的度数为．（直接写结论）（模型拓广：问题延伸）如图3：在矩形ABCD和矩形DEFG中，AB＝1，AD＝ED＝