赵秀恒-米立民-主编《概率论与数理统计》(高等教育出版社)习题习题7(A)详解

PAGEPAGE9习题七（A）1、设样本取自服从几何分布的总体，其分布列为,=1,2,……其中未知，0<<1，求的矩法估计量。解因为总体服从参数为的几何分布，故，令解得参数的矩法估计量为2、设总体~，从总体中获取样本，求出参数、的矩法估计量。解因为总体的一阶原点矩为，二阶中心矩为。样本的一阶原点矩为，二阶中心矩为，则令解得参数、的矩法估计量为，。3、设总体的密度函数为，从中获得样本，求的矩法估计量。解因为总体的数学期望为令解得参数的矩法估计量为4、设是取自下列指数分布的一个样本：证明是的无偏、一致估计，并求出的方差。证因为所以是的无偏估计。而的方差为又因为，对于任意的，有即成立，故是的一致估计。5、设总体服从参数为的泊松分布，从中抽取样本，求的极大似然估计。解因为总体，分布列为则似然函数为对数似然函数为求关于的导数，得解得6、设服从几何分布,从中获得样本，求与的极大似然估计。解因为服从参数为几何分布时，有故应求出参数的极大似然估计，故应写出似然函数为则对数似然函数为求参数的导数令解得由极大似然估计的不变原则，可知总体期望的极大似然估计为7、设总体的密度函数为，，从中获得样本，求参数的极大似然估计。解因为似然函数为取对数得求导数解得参数的极大似然估计是8、某商场每天每百元投资的利润率服从正态分布，均值为，方差为，长期以来稳定于0.4，现随机抽取的五天的利润率为：，，，，试求的置信水平为0.95的置信区间。解设该商场每天每百元投资的利润率为，则总体。由于长期以来稳定在0.4，可以认为总体的方差已知，故应选取枢轴量对于给定的置信水平为，利用标准正态分布表，确定出0.975的分位数为，再由来自总体容量是5的样本值，计算出样本均值为故得到总体均值的置信水平为0.95的置信区间为9、某化纤强力长期以来标准差稳定在=1.19，现抽取了一个容量的样本，求得样本均值=6.35，试求该化纤强力均值的置信水平为0.95的置信区间。解设该化纤强力为，则总体。由于长期以来标准差稳定在=1.19可以认为，总体的方差已知，故应选取枢轴量对于给定的置信水平为，利用标准正态分布表，确定出0.975的分位数为，再由来自总体容量是100的样本值，计算出样本均值为故得到总体均值的置信水平为0.95的置信区间为10、某行业职工的月收入服从，现随机抽取30名职工进行调查，求得他们的月收入的平均值元，标准差元，试求的置信水平为0.95的置信区间。解设行业职工的月收入为，则总体，并且总体方差未知。故对于来自总体容量为30的样本，可以选择随机变量不含有其它未知参数，可以作为枢轴量。由于给定的置信水平为0.95，自由度为29，则分布的0.975的分位数为。利用样本值计算出的平均值，标准差，可以求出参数的置信水平为0.95的置信区间为故此知该行业职工的月收入在645.38元到747.02元之间的概率为0.95，即置信水平为0.95。11、某单位职工每天的医疗费服从现抽查了25天，得，元，试求职工每天医疗费均值的置信水平为0.95的置信区间。解设该单位职工每天的医疗费为，则总体。由于样本容量为是小样本，而总体标准差未知，故应选取枢轴量对于给定的置信水平为，利用自由度为24的分布表，确定出0.975的分位数为，再由来自总体容量是25的样本值，计算出样本均值与标准差为，故得到总体均值的置信水平为0.95的置信区间为12、已知某种木材的横纹抗压力（单位：）服从，现对十个试件作横纹抗压力实验，得数据如下：482，493，457，471，510，446，435，418，394，469（1）求的置信水平为0.95的置信区间；（2）求的置信水平为0.90的置信区间。解（1）设该种木材的横纹抗压力为，则总体。由于样本容量为是小样本，而总体标准差未知，故应选取枢轴量对于给定的置信水平为，利用自由度为9的分布表，确定出0.975的分位数为，再由来自总体容量是10的样本值，计算出样本均值与标准差为，故得到总体均值的置信水平为0.95的置信区间为（2）由于总体均值未知，为确定的置信区间，可以选取枢轴量对于给定的置信水平为，利用自由度为9的分布表，确定出0.05的分位数为，及其0.95的分位数为。再由来自总体容量是10的样本值，计算出样本标准差为故得到总体方差的置信水平为0.90的置信区间为则得到总体标准差的置信水平为0.90的置信区间为13、研究由机器和机器生产的钢管的内径（单位：），随机抽取机器生产的管子18只，测量样本均值，样本方差；抽取机器生产的管子13只，测得样本均值，样本方差。设两样本相互独立，且这两台机器生产的管子内径分别服从正态分，，取置信度为0.90，求在总体方差时，总体均值差的置信区间。解设机器生产的钢管的内径为，机器生产的钢管的内径为，则总体，，而两总体方差未知且成立。为此，应该选择枢轴量对于给定的置信水平，利用其自由度为29的分布，确定的分位数。由取自总体的样本值算出，样本均值，样本方差；由取自总体的样本值算出，样本均值，样本方差。则总体均值差的置信度为0.90的置信区间是即为区间。14、设有两个化验员与独立对某种聚合物中的含氯量用同一方法各作十次测定，其测定值的方差分别为。假定各自的测定值分别服从正态分布，方差分别为与，求的置信水平为0.90的置信区间。解设表示化验员对某种聚合物中的含氯量的测定值，则总体，从中获取的样本容量，计算出的方差为。若表示化验员对某种聚合物中的含氯量的测定值，则总体，从中获取的样本容量，计算出的方差为。由于两总体的均值与都未知，故选取枢轴量对于给定的置信水平为，利用第一自由度和第二自由度都为9的分布表，确定出0.05的分位数为，及其0.95的分位数。则的置信水平为0.90的置信区间为15、为研究某汽车轮胎的磨损特性，随机取16只轮胎实际使用。记录到磨坏时所行驶的路程（单位：公里）算得，。若此样本来自正态总体，，未知。求该轮胎平均行驶路程的0.95置信下限。解设汽车轮胎磨坏时所行驶的路程为，则，且总体的方差未知。故取枢轴量对于给定置信下限的置信水平0.95，可以利用自由度为的分布确定出0.95的分位数，使得成立。由样本值计算出的，得到该轮胎平均行驶路程的0.95置信下限为公里。16、用仪器间接测量炉子的温度，其测量值服从正态分布，其中，未知。用该仪器重复测量炉子的温度五次，结果为（）：12501265124512651275试求的置信度0.95置信上限。解设用该种仪器测量炉子的温度为，则，且总体的均值未知。取枢轴量则总体标准差的置信水平为的置信区间为由样本值计算出，，。对于给定置信上限的置信水平0.95，利用自由度为的分布确定出0.05的分位数是，则总体标准差的置信水平为0.95的置信上限是。17*、某商店为了解居民对某种商品的需求，调查了100家住户，得出每户每月平均需要量为5公斤，标准差为1.5公斤。（1）试就一户居民对该商品的平均月需求量作置信水平为0.99的区间估计。（2）如果这个商店要供应一万户，该商