重庆中考数学专题之压轴大题精练及解析【10题】

重庆中考数学专题训练

之压轴大题精练及解析【精练10题】

1、在△ABC中，AC^2BC,D,少分别是然的中点，连接箱并延长至

F,且使EF=；BE,连接加交布于点G.

(1)如图1,连接4代求证：DF=DB；

(2)如图2,若〃是四的中点，连接BH.求证：DF=BH；

(3)在(2)的条件下，连接班改变NABC的大小，当四边形即我是正方

形时，直接写出空的值.

2、在等腰直角△ABC中，ZABC=90。，AB^BC,将线段绕点8顺时针旋

转一定的角度得到线段8D.连接AO,交8c于点E,过点C作线段AD的垂

线，垂足为口，交BD于点G.

图2

(1)如图1,若NCBD=45。.

①求NBCG的度数;

②连接EG,求证：AE—FG=EG+DF；

(2)如图2,若NCBQ=60。，当AC-DE=6时，请直接写出。G?的值.

3、在等边△ABC中,点。在上，点E在a1上，将线段庞绕点。逆时针旋

转60°得到线段分；连接CF.

图⑴图⑵图(3)°

(1)如图(1),点〃是46的中点，点少与点。重合,连接若A8=6,求

力少的长;

(2)如图(2),点。在〃'上且ZAG£>=60。+/尸CB,求证：CF=DG；

(3)如图(3),AB=6,BD=2CE,连接4尸.过点尸作/尸的垂线交47于点

P,连接即DP.将△5DP沿着在翻折得到.8QP,连接0C.当△/"的周长

最小时，直接写出ACPQ的面积.

4、在△ABC中，AB^AC,Z4BC=3O。，点。是边AB上的一动点，点尸是边

CO上的动点，连接AF并延长至点E,交于G,连接BE,ZAFC=60。,

且NE+NBO/=180°,

BD

G

E

图1

(1)如图1,若BC=4仆,BE=2,求AE的长;

(2)如图2,若。是A8的中点，连接。E、BF，求证:DF+EF=6BF；

(3)如图3,在(2)问的条件下，将△3DE绕点8顺时针旋转，旋转中的三

角形记为△。/月，取Ag的中点为连接CM.当CM取最大时，将

△的沿直线CM翻折’得到小。品直接写出募的值.

5、在△46。中，点〃在边比'上，连接

上,求熊的长度：

(2)如图2,当NQ45°,时，过点。作龙〃交4〃于点6,交.AB

于点E连接力求证：DC=6BF.

(3)如图3,当NQ45°,/。=12,点〃是边8。中点时，过点〃作见L47

交/C于点A；当线段ZW取最大值时，请直接写出AD?的值.

6、在△力宛中，NO8=90°,AC=AB.若点〃为47上一点，连接劭，将施

绕点8顺时针旋转90°得到庞；连接倒交4?于点£

(1)如图1,若/ABE=75°,BD=4,求47的长；

(2)如图2,点G为a'的中点，连接用交劭于点"若乙仍9=30°,猜想

线段小与线段的的数量关系，并写出证明过程；

(3)如图3,若46=4,〃为/。的中点，将△/如绕点8旋转得△/'BD',连

接"aA'D,当/D+—A'。最小时，求五『由

2

7、等腰△/勿中，BA=BC,过点4作力〃，a1于点〃，平面上有一点£,连接

ED,EB,ED=2EB,作/施9的角平分线交回于点£

图3”

(1)如图1,当/豌、=90°时，若/刈Z?=45°,BE=2上,求线段小的长;

(2)如图2,当/段＞90°时，过点/作AG_L/C,分别交然，于点2

H,若AD=2BF,P为EF中点,连接"求证：AB-3BP=DH；

(3)如图3,在(1)间的条件下，函上取点0,BO=叵里,点乱N为线段

3

劭上的两个动点(点，"在点平的左侧)，连接4M将△4,以绕点。逆时针旋转

得到XD,若满足4D1AN于点P,连接掰始，当Q附肥的值最小

时，直接写出△〃阳的面积.

8、在△ABC中，N84C=90。，点。是斜边8C上的一点，连接A。，点。是

A。上一点，过点。分别作OE〃/3,DF//AC,交于点£、F.

(1)如图1,若点。为斜边8C的中点，求证：点O是线段EE的中点.

D

BEOFC

图1

(2)如图2,在(1)的条件下，将J)所绕点。顺时针旋转任意一个角度,

连接AD,CF,请写出线段AD和线段CE的数量关系，并说明理由.

(3)如图3,若点。是斜边8C的三等分点，且靠近点8,当NABC=30。时,

将/无产绕点。顺时针旋转任意一个角度，连接A。、BE、CF,请求出B受E

AD

的值.

9、如图，在△48。中，点〃，£分别在/C上，连接力〃，AD=DC,点£为

“1中点，连接应'交/〃于点MBN=NE.

M

(1)如图1,若N4肪I=90°,AE=4O,求比1的长；

(2)如图2,延长加至点也连接侬AN=ME,若/4?C=45°,求证：

A砧NE=V24K

(3)如图3,延长胡至点机连接ME,ME=3小,NADC=NMEB=90°,点T

为中点，连接密将a6修沿7F翻折得到4夕TE,点、F,G分别为7F,

EB'上的动点(不与端点重合)，连接加；FG,连接版交直线/£于点〃，当

取得最小值时，直接写出A篝H的值.

AT

10、在△ABC中，ZACB=9O°,CA=CB,点£)线段C3上一点，连接AO,

将线段AO绕着点A逆时针旋转仪0°<a<90。)得到线段AD',延长AD'交CB

延长线于点£.

(1)如图1,当点。与点C重合时，连接C。'，若AC=3,DE=2,求线段

8'的长;

(2)如图2,当。=45。时，过点8作交于点尸，过点尸作

FGAAC,垂足为点G,AO与尸G交于点H,求证：CD=BF-GH；

(3)如图3,当点。与点B重合且a=30°时，将£>'A3沿着A3边翻折到同一

平面内得到△OAB,点P、点。分别为线段A8、线段47上的动点，且

AP=D"Q,连接。0,PIT,当。'Q+PD"取得最小值时，请直接写出所的

值.

参考答案：

1、【答案】（1）见解析（2）见解析

（3）旦

3

【解析】

【分析】（1）取应'中点乱连接。加，根据全等三角形的性质，推导得

ZAFE=NCME,根据等腰三角形三线合一的性质，推导得

ZAFE=NCME=90°,再根据直角三角形斜边中线的性质分析，即可完成求

解；

（2）延长"至点尸，使=连接由根据全等三角形的性质，得

AB=PE，根据三角形中位线的性质，得HB〃PE,且HB=^PE,从而完成

求解；

（3）根据相似三角形的性质，推导得四边形8M¥是平行四边形，结合正方形

的性质，得HB=FD,Z钻”=90。，结合题意，根据勾股定理计算，即可得到

答案.

【小问1详解】

取座中点也连接以

•••"为龙中点，

ME=-BE.

2

■:EF^-BE,

2

:.EF=ME.

•••£为熊的中点,

AC=2AE=2CE.

在^AEF^AL.CEM中,

AE=CE,

VJZAEF=NCEM,

EF=EM,

：.AAEF^ACEM

:.ZAFE=ACME

'：AC=2BC,AC=2CE,

：.BC=CE.

■:M为BE中点、,

:.CM工BE.

：.Z.CME=90°

，ZAFE=NCME=90°.

•.•〃为的中点，

DF^-AB,DB=-AB.

22

，DF=DB.

【小问2详解】

延长"至点尸，使BP=CB,连接根

CP=2BC

'：AC^IBC

，AC=CP

在和.PCE中

AC=CP

<NC=NC

BC=EC

AACB^APCE.

，AB=PE.

VCB=BP,〃是四的中点，即CH=HE.

：.HB//PE,且

2

由（1）可得=，A5,

2

二DF=BH；

【小问3详解】

根据题意，得公版=耕

△FHE^^BAE中

HE=-AE

2

,NHEF=ZAEB

EF=-BE

I2

/.AFHEs秘AE

FH_EF

:.ZFHE=ZBAE,,^FH=-AB

~AB~~BE~22

FH//AB

'；BD^-AB

2

FH=BD

.•.四边形曲成是平行四边形

当ED_LAB时，四边形是正方形

AHB=FD,ZABH=90°

VZAFE^9Q°,AD=BD

：.FD=-AB

2

HB=FD=LAB

2

1133

,:AH=AE+EH=-AC+-AC=-AC=-BC

2442

又,：AB°+HB°=AH°

C1\2<3

/.AB2+\-AB=-BC

12J12J

.BC25

••---=—

AB-9

.BCV5

・・---=---・

AB3

2、【答案】（1）①22.5°；②见解析；（2）72

【解析】

【分析】（1）①证明AC〃BD,推出NCAD=NBAD=22.5°即可解决问题.

②延长CG交AB的延长线于T.证明4ABE之aCBT（ASA）,推出

AE=CT.BE=BG,证明ABGE之ABCT（SAS）,推出EG=GT,ZT=ZBEG=67.5°,

再证明ACFE名△DFG（AAS）可得结论.

（2）如图2中，连接CD,过点D作DH_LBC于H,在DH上取一点J,使得

EJ=DJ,设CF=a.解直角三角形用a表示DE,构建方程求出a,再求出EC,证

明DG=EC即可解决问题.

【详解】解：（1）①BA=BC,ZABC^90°,

:.ZACB=ZCAB=45°,

NCBD=45°,

ZACB^ZCBD,

：.ACHBD,

：.Z.CAD=AD,

BD=BC=BA,

:.ZD=ZBAD,

ZCAD=ABAD=22.5°,

CG1AD,

•・.NCFD=90°,

/.ZACF=90°-22.5°=67.5°,

.・.ZBCG=ZACF-ZACB=22.5°.

②证明：延长CG交A5的延长线于T.

ZABE=ZCBT=90°.AB=BC9ZBAE=ZBCT=22.5°,

..^ABE^ACBT(ASA)9

AE=CT.BE=BG,

ZEBG=ZTBG=45。，BG=BG,

:.\BGE=^GT{SAS),

/.EG=GT,ZT=ZBEG=67.5°,

/.ZBGE=ZBEG=NT=ZBGT=67.5°,

，BE=BG=BT,

BC=BD,

EC=DG,

/D=/BAD=/FCE=225°,NCFE=ZDFG,

/.ACFE=ADFG(A4S),

:.CF=DF,

:,AE-FG=CT-FG=CF+GT=EG+DF.

图1

(2)解：如图2中，连接CO,过点。作于H,在。"上取一点J,

使得E/=",设b=a.

CB=BD,NCBD=60°,

：.ABCD是等边三角形，

AB=BC,ZABC=90。，

/.ZABD=90°+60°=150°,ABAC=ZACB=45°,

:.ZBAD=ZBDA^15°,

NC4尸=30°,

CG±AD,

ZCFA=90°,

:.AC=2CF=2a,

NCDB=60。，NCW=90。，

:.ZFDC=ZFCD=45°,

:.FC=DF=a,DC=BC=BD=®,

DHVBC,

:.CH=BH=旦0,DH=6CH=^a,

22

设EH=x,

JE=JD,

:.ZJED=ZJDE=\50,

ZEJH=ZJED+ZJDE=30°,

:.EJ=2EH=DJ=2x,HJ=瓜,DE={EH?+DH?=(遥+五)x,

,•5/3x+2x————■cif

2

x—(V6—,

；,DE=(3-6)a,

AC-DE=69

/.2。-(3-6)。=6,

a=3(G4-1),

/.EC=CH+EH=(娓-扬a=6五,

ZCFE=ZDFG=9009CF=DF,AFCE=ZFDG=\50,

:.\CFE^^DFG(ASA),

DG=EC=6夜，

图2

3、【答案】(1)力尸3

(2)见解析(3)巫,详见解析

4

【解析】

【分析】(1)由旋转知△及¥为等边三角形，再证明△比四得448〃，

求解即可；

(2)将线段CF绕。顺时针旋转60°得CH,连接EF、EH、FH,证明△口加必△

得。必；再在47上截取8=缈，证明△反方丝得C卞DP,由全等及

等量代换得NDP俏/DGP,即小〃G,等量代换即可；

(3)过〃作于，，利用三角函数得小”，证明△比侬△的凡得/

DA六90°,设编片,利用勾股定理得到△/加周长的表达式为6+

J'-36x+36，求出最小值时对应的x值，用三角形面积公式求值即可.

【小问1详解】

解：a'为等边三角形，

C.BOAC,N30=60°,

由旋转知，NCD六6G,CD=CF,

...△白牙为等边三角形，

：.CD-CF,/比足60°,

DCF/ACF,

二△式屋△4CF,

:.A户BD,

•.•〃为4?中点，AB=&,

：.BD=3,

.•.仍3.

【小问2详解】

解：将CF绕。顺时针旋转60°得CH,连接血FH,EF,EH,CD,

在检上截取/片龙，连接“，设CD交EH于M,

如图所示，

由旋转知，XDEF、△。方为等边三角形，

:.D百EF,C户FH,/力沪N677^60°,

:./DFO/EFH,

:ZCF^XBHF,

:.E4CD,4DC2乙EHF,

由三角形内角和知，4HMe+4EH广4DCK4HFC,

：.ZHM(=ZHF(=(50°,

：.4DCE+/HEe6Q°,

■：/DC我/DCE=6G°,

：./CEt/DCP,

'：AOBC,A4BE,

：.CP-CE,

:.XECg/XCPD,

：.CH^DP,ADPOZHCE,

又N//C层60°+N2,

：.4DPC=6Q°+Z2,

由/1+/我妗/2+/我妗60°,知N1=N2,

又N/3=60°+Z1,

：.AAGD=ADPG,

：.DP=DG,

■:cacF,

二C2DG.

【小问3详解】

：过D作DHLCB予H,连接跖如图所示,

a'为等边三角形，

:./DB*琳,/BDH=3G,

：.BD=2BH,D*瓜,

'：BD=2CE,

:.B居CE,

设法上x,则9=2x,小6—2x,AD=e>-2x,

由旋转知，△颇为等边三角形，/切伫60°,

/.Zl+Z3=90o,D芹DF,

又Nl+N2=90°,

.".Z2=Z3,

:.XAD但XHED,

，N的后N庞的90°,/切430°,A百肝瓜,

•.•//俯90°,

:.P六x,AP=-2x,

过。作PMLAD于M,

则4沪%〃沪6—3x,P为他x,

在应△/©1/中，由勾股定理得:

.•.当下士3时，周长取最小值，最小值为9,此时止3,

2

:.BD=AP=3,即。为4?中点，尸为水7中点,

二直线辟是等边△力a'对称轴，

如图所示，△破沿8户折叠后，0点落在a'中点处，

则面积=Lxa/回面积=Lxlx6?=唯.

4444

4、【答案】(1)2近

(2)见解析(3)17+4、

5

【解析】

【分析】(1)作EM_LA6于点M，根据题目给的已知条件可得出BC=6AB=46,

AB=AC=4,又因ZE+ZBDF=180°,得出ZEFD+ZEBD=\80°,进而得知

㈤A120。；在RJE8M,根据直角三角形30°所对应的边是斜边的一半得出

BM=1,最后解直角三角形RtAAEM,求得AE；

(2)过点8作ZFBH=120°交正延长线于点H,根据N£ED=NAFC=60。得出

NEBD=120。,再通过ZADC+ZBDC=180°,NBDC+NBE4=180。的关系得出

ZADC=ZBEA；然后通过已知条件证明ADC=tBEA,从而进而证

明△BEHSBDF，从而得出为等腰三角形，通过得出

FH=EF+DF=43BF；

(3)作技与点AT，设则AB=2,AH=\,

BH=y/3,当C、B、M三点共线时，CM最大，进而求得E02和4"2,从而

得出结论.

【小问1详解】

解：如图1,过点E作交于点M,

图1

•.•在中，AB=AC,ZABC=30°,

：.ZBAC=12Q°,

BC=MAB=46,

：.AB=AC=4,

,/NE+NBDF=180°,

：.ZEFD+ZEBD=180°,ZEFD=ZAFC=6Q°,

/.Z£BD=120°,

在Rt_£8M中，NEBM=N18。。一NEBD=60。,BE=2,EM工BM,

：.BM=1,EM=6在RtZXAEM中，N4嫉=90。，EM=M,AM=5,

二AE=J+㈣2=2A/7.

【小问2详解】

过点B作ZFBH=120。交正延长线于点H,

图2

ZEFD=ZAFC=6Q°,

/.Z£BZ>120o,

ZADC+ZBDC=180°,NBDC+々£4=180°,

...ZADC二/BEA

在八位元和ZXBEA中，AB=AC,ZBAC^ZABE=nO0,

：.AADC三ABE4(A45),

:.AD=BE,

AD=BD,

，BD=DE,

■:ZEBD=ZFBH=120°,

，ZHBE=ZFBH,

■:ABEA+NBDF=180°,ZBEF+ZBEH=180°,

，ZBEH^ZBDF,

ABEHwABDF(ASA),

，BF=BH,

.•.△BH尸为等腰三角形，

/.HF=&F,

:.FH=EF+EH=EF+DF=^BF.

【小问3详解】

作8卬，£坦与点V,作AHJ_8C于点，，如图，

1

设4>AD=BE=1,则AB=2,AH=\,

BM=BM'=-BE,

2

CM<BC+BM,

・•・当点M,B,。共线时，CM最■大,

：.EM2=BE2+BM2=12+（=-,

34

4M2=AM2=AH2+MW2=12+^V3+^=6+*

17工A

.A"；"=17+4百

一EM°55—,

4

5、【答案】（1）6（2）证明见解析

（3）108+180

【解析】

【分析】(1)由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可知

AD=BD=CD=7,在用△€?£)£中，由勾股定理得£>E=Jc。2_°炉求出DE

的值，进而根据AE=A£>-。石求解即可；

(2)如图2,作AM,8c于M,FN人BC于■N,由AD=A。可得

ZADC=ZACD，DM=CM=、DC,设Zfi4D=Nl,则

2

ZACD=ZADC=45°+Z1,ABAC=90°-Z1,ZC4M=45°-Z1,

ZAFC=9O°-Z1,N£>CE=45。—Nl,有NAFC=Nfi4C,NCAM=NDCE,

证明上ACM学&CFN(A4S),FN=MC,DC=2FN,由BF=6FN，可得

DC=41BF\

(3)如图3,以AC为斜边作等腰直角三角形AOC,则/AOC=90。，由

/5=45。=：乙4。。，可知8在以。为圆心，OC为半径的圆上运动，连接

0D,由。为8c中点，可知NQDC=90。，则。在以0c为直径的圆上运动，

圆心为/,当DV过圆心/时，线段。N取最大值，求出OC、CI、DI、IN、

CN、DN、4V的值，RtAADN中,由勾股定理得人4=+何?,计算

求解即可.

【小问1详解】

解：•••/员L偌点〃为比中点

AD是Rt_ABC斜边BC的中线

:.AD=BD=CD=7

,：CELAD

:.NCED=90。

在用△CDE中，由勾股定理得DE7cbi-CE?=1

，AE=AD-DE=6

：.AE的长为6.

【小问2详解】

证明：如图2,作8c于M,FNLBC壬N

A

'：AD=AC

:.ZADC=ZACD,DM=CM=-DC

2

设ZR4D=N1

则NA8=ZM)C=45°+N1,Zfi4C=90°-Zl

ZCAM=90°—ZACD=45°-Z1

CELAD

：.ZAFC=90°-Zfi4D=90°-Z1,ZDCE=90°-ZADC=45°-Z1

AZAFC^ZBAC,ZCAM=ZDCE

：.AC^CF

在△ACM和..CMV中

'/CAM=ZFCN

VZAMC=4CNF=90°

AC=CF

：.ACM^,CFN(AAS)

：.FN=MC

DC=2FN

VZB=45°,ZBNF=90°

/•BF=y/2FN

；•DC=6BF.

【小问3详解】

解：如图3,以AC为斜边作等腰直角三角形AOC,

A

•；ZB=45°=-ZAOC

2

在以。为圆心，OC为半径的圆上运动

连接。。

为3C中点

:.NODC=90。

...£)在以OC为直径的圆上运动，圆心为/

'：DN1AC

.•.当ON过圆心/时，线段DV取最大值

VAC=12,ZOCA=ZOAC=45°

：.OC=6近，Cl=DI=-OC=3y/2,IN=CN=3

2

:.DN=DI+IN=3a+3

在RtdADN中，由勾股定理得AD2=DN2+AN2

=(3V2+3)?+(12-3)2=108+1872

，4加的值为108+18&•

6、【答案】(1)V2+V6；(2)HG=&CD；见解析；⑶4G-4

【解析】

【分析】（1）通过作辅助线，构造直角三角形，借助解直角三角形求得线段的

长度；

（2）通过作辅助线，构造全等三角形，设/Ua,利用中位线定理，解直角三

角形，用a的代数式表示"和的,即可得缪与的的数量关系；

（3）构造阿氏圆模型，利用两点之间线段最短，确定/'的位置，继而求得相

关三角形的面积.

【详解】解：（1）过。作〃入园垂足是G,如图1：

•.•将初绕点8顺时针旋转90°得到BE,

：.』EBD=90°,

•:/ABE=75°,

：.ZABD=i5°,

VZABC=45°,

:./DBC='30°,

在直角△加G中有。G=(6O=2,BG<DG=2。

'：ZACB=45°,

在直角△以4；中，CG=DG=2,

/.BC=BG+CG=2+2V3,

5

:・AC="BC=C+a;

2

（2）线段小与线段的的数量关系为：HG=』D,

4

证明：延长。，过£作日V垂直于。的延长线，垂足是M连接aYED,过G

作6¥_L四于物如图:

图2

:./END=9c,

由旋转可知/叱=90°,

:./EDB=45°

：.ZEND=ZEBD=^0o,

：.E,B,D,N四点共圆，

:./BNE=/EDB=45°,/NEB+/BDN=\80°

■:/BDC+/BDN=18b°,/BCD=45°,

ZBEN=乙BDC,

:./BNE=45°=/BCD,

在△颂和△曲。中，

NBNE=4BCD

<NBEN=ZBDC,

BE=BA

:.XBE哙丛BDC(A4S),

：.BN=BC,

\'ZBAC=90a,

在等腰△收中，由三线合一可知胡是GV的中线,

■:/BAC=4END=9G,

：.EN//AB,

•.F是③的中点，

...)是用的中点,

•••61是a'的中点，

.,.凡是△应r的中位线，

：.FG//BE,FG=—BE,

2

,：BELBD,

：.FGLBD,

,：ZABD=30°,

：.4BFG=60°,

•.•/W45°,

:./BGF=73°,

设AC=a,则AB=a,

在AZ△力初中，AD=—a,BD=BE=^^a,

33

：.FG=-BE,

2

：.FG=^-a,

3

,：GMVAB,

...△仇川是等腰三角形，

.*•MG—MB—BG=——x—BC=-x—x>/2AC=—ci

222222

在应△，协&中，/MFG=6G°,

:.上MF=MG,

：.MF=^-a,

6

BF=BM+MF=力卫a,

6

在危△药方中，4BFG=6Q°,

：.FH=-BF=

212

:.HG=FG-FH=2a-“巫。=乂拒-、a,

3124、,

又,：CD="与。=与(6fa,

.C。_4

••丽一耳’

n

，HG=—CD；

4

(3)设46=a,则6。=缶，取比'的中点儿连接4」0,A'C,A1N,连接

DN,如图3,

B

ADC

图3

由旋转可知4B=AB=a,

质

•：AB'NB=近a=&,空=叵r=血，

-aA'Ba

2

.•.如=空=&,

BNA'B

又/ABN=4CBA,

BNsACBA’,

.A'NA'BV2

.•------------------,ZZX*----------------2^—,

A'CBC2

吃旦'C,

2

根据旋转和两点之间线段最短可知，AD+正AP最小,

即A'£)+A，N最小，

2

此时〃、/'、/V共线，即力'在线段翻上，

设此时落在处，过作力'’刊_四于凡连接4T,如图4,

,:D,N分别是4C,a'的中点，

...ZW是△/回的中位线，

：.DN//AB,

,：ABLAC,

：.DNLAC,

'：ZJ=AA'FA=Z/'ZZ4=90°,

四边形4'q〃是矩形,

：.AF=A，D,A"F=AD=2,

•.•又/''6=46=4,

设AF=x,

在直角三角形力‘与中，A"B2A"F2+BF2，

16=4+(4-x)2,

解得x=4-2百.

,此时5A/'BC=S/\ABC-S/\AA'B-5A/'AC

=-AB*AC--AB*A'F-—AC*A''D

222

=4—；x4x2—gx4x(4—2月

=46-4.

7、【答案】(1)672-6；

(2)见解析；(3)2196-180标

305

【解析】

【分析】（1）解Rt△应〃求出解求出/反进而求得必；

（2）根据角平分线性质，求得DF=2BF,没BF=a,表示出劭，AD,发现力片

DF=2a,进而证明从而推出48-〃〃=3a,从而需证明应三毋；

通过证明△颂。△比尸，从而证得/4=/&况进而证得/8加=//*进

一步命题得证；

（3）由NZ加=90°得出点尸在以4〃为直径的圆上，作点。关于龙的对称点

F,连接圆心/与产的线段，交物于弘交圆于R根据△,磔s△以/,求得

BM,作PH〃BD交BE于H,交AD于G,求出％从而求得以，进而求出

和△,欣*的面积，从而求得心的面积.

【小问1详解】

解：*：BE=2&,DE=2BE,

:.DE=46

•:NEBCS,

22

BD=yjDE-BE={(4回2一(2.2=6,

庞=90°,N为g45°,

BD

：.AB=-=6V2，

si〃45

：.BC=AB=6y/2,

：.DC=BC-BD=6叵—6；

【小问2详解】

证明：设BF=a,则/〃=2a,

■:EF平■分乙BED,

.DFDE

,•薪一薪’

,:DE=2BE,

：.DF=2BF=2a,

:.BD=BF+DF=3a,

,：ZADB=9Q°,

・"8=>JAD2+BD2=旧a,

BC—AB=y/]3a,

CL^BC-BD=\/v3a-3a,

'：/HDF=/ADC=9G°,

.•.NGN%C=90°,

VZ^f=90°,

：.^CFG+AC=^°,

：.ADAC=ACFH,

'：AD=DF=2a,

:.△ADC^XFDH(ASA),

DH=CD=V13a-3a,

/.AB-DH=>fl3a-(a-3a)=3a,

是厮的中点,

•EP-1

''EF~2'

..BE1

•——9

DE2

.EPBE

EF~DE'

'：NBEP=4DEF,

:.XEBP^XEFD,

：.AEBP=AEDF,

,：£BFP=zLDEPr^EDF,

/BPF=4BE外乙EBP,

：.ABFP=ABPF,

：.BP=BF=a,

：.AB-DH=3BP,

：.AB-ABP=DH；

【小问3详解】

如图，

YBE=20OB$BE,

：.0B=2,

"：A'DLAN,

：.ZAPD=9Q°,

.•.点尸在以4。为直径的圆上，圆心记作I,

延长小至凡使郎=加=2,连接交BD于M,交。/于R

则。卅郎的值最小，

作ML庞于〃交/〃于G,

'：EB//AD,

.BMBF_2

NP/G=N凡

"DM~D1~3,

'：BD=6,

.•.法£

：.PG=。sinNPIG=3x

6161

：.PH=GH-

61

.,.S^^-OFPH=-x4x（6—电显）=]2-36何,

226161

24

-：S,,=-OFBM=-x4x—

/w)225-5~

⑴半)24_3636屈_2196-180府

••//w=

I-61~-305

8、【答案】（1）证明见解析；（2）AD^CF,理由见解析；（3）3叵

13

【解析】

【分析】（1）根据直角三角形斜边中线的性质，得。4=08=0。；结合等腰三

角形和平行线的性质，得NOED=NODE,ZODF=ZOFD,从而得

OD=OE=OF,即可完成证明；

（2）结合题意，根据旋转的性质得：ZAOC^ZDOF,从而得到

ZAOD=NCOF；根据（1）的结论，得OD=OF,OA=OC；通过证明

△40。白△COE,即可得到答案；

（3）旋转前，根据题意，得黑=器，结合旋转性质，旋转后，器=器仍

然成立；根据相似三角形性质，通过证明△BQEszviOD,得空=?；过点

ADOA

A作AGL3C于点G,得NC4G=30。；设AC=a,根据题意得

24

OC=-BC=-a；根据勾股定理，得。4,通过计算，即可得到答案.

【详解】（1）•.,在RtaABC中，点。为斜边的中点

图1

:.OA=OB=OC

：.AB=ZOAB,ZC=ZOAC

'：DE//AB,DF//AC,

:./B=NOED,4ODE=4OAB,4c=4OFD,ZODF=ZOAC

：.ZOED=NODE,ZODF=ZOFD

：.OD=OE=OF

...点。为E尸的中点.

(2)如图：

A

C

根据题意，得：ZAOC=ZDOF

：.ZAOC-ZDOC=ZDOF-ZDOC,即ZAODZ.COF.

由（1）可知，OD=OF,OA^OC

:.AAOD^ACOF

：.AD=CF；

（3）旋转前

■:DE//AB,DF//AC,

.OPOE

"'~OA~'OB

.OBOE

''~OA~~OD

根据题意，旋转后，矍=笑仍然成立

OA0D

又,:ZAOB=ZDOE

：.ZAOB-ZAOE=ZDOE-ZAOE

即NBOE=NAOO

，ABOES&AOD

.BEOB

''~AD~~OA

过点A作AGLBC于点G,

A

O

图3

RtAABC中，ZABC=30°

ZACG=60°

，NG4G=30°

设AC=a,则CG='a,AG=^~a,BC=2a

22

•••点O是斜边6c的三等分点，且靠近点8

24

:.OC=-BC=-a

33

:.OG=OC-CG=-a

6

在RtAAOG中，OA=ylAG2+OG2=—a.

3

114

,:OB=-OC=-x-a

223

2

.BEOB3a_2713

''~AD~~OA~~13-

-----a

876

9、【答案】（1）

20Vi0

（2）见解析

95

【解析】

【分析】（1）连接应，先证明△/加丝△/以，在求出N口〃的度数，利用三角

函数求解；

（2）连接〃底，利用面积法证明勿=28〃，取⑦中点〃，证明/皮运△应凡再取

43中点T,证明△/鹿7为等腰直角三角形，等量代换得到结论；

（3）首先根据垂线段最短及两点之间线段最短得到当〃时，取最小值；

其次根据三角函数解直角三角形，得到眼AE、DE、47等线段的长度，过/作

AS//EQ,利用相似三角形对应边成比例得到力及GQ、/〃的长度，最后代入求值

【小问1详解】

解：连接应

■:AACD,6为47中点

:.DEIAC,ZC-ZDAC

*：BN=NE,AN'BE

〃为线段龙的垂直平分线

，△仞运△血

：.ZABD=ZAED=9Q°,/BAD=/DAE

即N伉N员”=/物氏30°

•:A芹46

工力仄4?9cos代4近9乎=半

图1

【小问2详解】

解：连接应

M

,:AD=CD,£为47中点

・・DELAC)SgD正S&CDE

•:N为BE中点、

S色BDF'S&NDE

・,S^ABLSL，

••SEABLS^ADLS〉CDE，

••五他二2邑/“切

即CD=2BD

取切中点〃，连接EH

M

则而为直角三角形。应斜边的中线

:・EtDWCH

：.EH^BD

则〃为"中点

HCD-BH

•.•勿是中位线

：.EH//AD

：.ABDA=ZBHE

JXAB溶MBEH

：.AB=BE

取"中点7,连接£7

则£7为△A5c中位线

：.EH//BC,BO2ET

：.乙1/7斤N/吐45°

设BD=x,则CD=2x,AD=2x,EH=x,B(=3x

是△顺中位线

DN^—x,AJV=-x

22

而BO2E43x

3

：.E7^-x=AN

2

二乙沪NV彷45°

即N7E290°

...△M7F为等腰直角三角形

:.M户近ME

即A^AT=y[lME

■:AN-ME,A7^^AB=AE=NE

：.A^rNE=6AN.

【小问3详解】

解：如图，连接〃咒

由题意知，£7是△48。中位线，

J.ET//BC

,：ZAD(=9Q°

：.ETLAD,

故£7是/〃的垂直平分线，

:.A后DF

AP-FG=DJ^GF

当〃、F、G共线且加工夕夕时，取最小值，如图所示,

由折叠及平行线性质知，ZBET^ZB'EA/EBP,

由乙股1+N4吐90°,/BEK/AEB=90°知，/MEA二/BED

由N/夕芹45°知，/MEA+/BE户45°,而N4郎'+/TEB'=45°

工/MEA=/AEB'

由（2）知，△应侬△54。，BD=DP-P（=PE,

设4BE44B，E户NBAD=Na,ZMEA=ZAEB'=£,

设即交.AT于Q,

'：ET//BC

:./AT行/ABC

'：ZAB^ZBAD=9Q°,ABAD^ATEQ

.•.//侬N7FC90°

即EQLMQ

过£作EPLCD于P

tana=—，

•：/BE1忙90°

A2a+2£=90°

a+£=45°

...tan£=；（见下面模型图）

3

则tan?%］（见下图）

在危△始。中，乙区02£,设欣=3x,贝I国=4x,/修5A=3近

.“生9亚F生12小

..J份----，------

55

在应△4制中，/AE9B

・"0海竽

：.4旧有,力£=4及

妗心4拉

■:/DEG+/AEgG°,/DEGOEDG为C

：./AE9/EDG=B

设吩力则好3%止厢尸4近

：.EG=^!L

5

QR

：.QG^QE-G^—

5

过力作AS//GE交MH于S

：,/\AMS^/\QMG

.AM_ASAS_AH

"~MQ~~QG'GE^^H

A/5ASAS=AH

即第=南，访一40—A”

555

解得：AS=^~,4年竺也

919

.AH_4()&/-_20x/10

••AT--19-"--19~

10、【答案】(1)—

5

(2)见解析(3)肉二

2

【解析】

【分析】(1)作。'F//CE交AC于F,勾股定理求得AE,证明

AFD'^ACE,进而求得。'£A/即可求得FC,RtZXFC中，勾股定理求解

即可；

(2)过点/作于点M,设EB=a,则CG=。,月0=MN=乎.，根

据tanNEW=tanNA4C,可得生=挺=也，即可求得

ACAGAM

(la+h

DC=(\HG=_E^_,进而即可得证；

a+2ba+2b

(3)根据题意可得AD=4y=W,ADAB=ABAD"^30°,过点。作

ZTR//AB,使得。R=AZ7,连接。/,△AZ7P丝-Z/RQ,当O'Q+PD"取得

最小值时，D',Q,R三点共线，如图，连接AH,设48,。。"交于点。，设

AD=k,则AB=AD'=HZ)〃=左，证明D7/R是等腰直角三角形，则

D'D"=k,D'R=y[2k，设AR=RQ=