四川省攀枝花市第七高级中学2023-2024学年高三下学期第九次诊断考试理科数学试题

2024届高三数学第九次诊断题（期末模拟试题）理科数学一、单选题（共12*5=60分）1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据指数函数值域与绝对值不等式得出集合与，即可根据集合的交集运算得出答案.【详解】，，故.故选：B.2.已知为实数，若复数为纯虚数，则A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据复数的运算法则进行化简，结合复数是纯虚数，进行求解即可．【详解】＝，∵复数是纯虚数，∴且得且≠，即，故选D．【点睛】本题主要考查复数的运算以及复数的概念，根据复数是纯虚数建立条件关系是解决本题的关键，属于基础题．3.记为等比数列的前项和，若，，则（）A.6 B.8 C.9 D.12【答案】C【解析】【分析】由，，求得，代入等比数列前n项和公式求解.【详解】解：设等比数列的公比为q，因为，，所以，，解得，所以，故选：C4.如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体最长的棱长为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由三视图可知多面体是如图所示的三棱锥，然后计算各棱长比较即可.【详解】由三视图可知多面体是如图所示的三棱锥，由图可知，，所以最长的棱长为，故选：C5.下列说法正确的是（）A.已知非零向量，，，若，则B.设x，，则“”是“且”的充分不必要条件C.用秦九韶算法求这个多项式的值，当时，的值为14D.若随机变量，，则【答案】C【解析】【分析】利用数量积的运算律可判定A，利用充分、必要条件的定义可判定B，利用秦九韶算法可判定C，利用正态分布曲线的性质可判定D.【详解】对于A选项，若，则，所以，不能推出，故A错误；对于B选项，成立时，必有成立，反之，取，则成立，但不成立，因此“”是“”的必要不充分条件，B错误；对于选项C，因为，所以可以把多项式写成如下形式：，按照从内而外的顺序，依次计算一次多项式当的值：，，，，故C正确；对于选项D，，所以，故D错误.故选：C.6.塑料袋给我们生活带来了方便，但塑料在自然界可停留长达200~400年之久，给环境带来了很大的危害，国家发改委、生态环境部等9部门联合发布《关于扎实推进污染物治理工作的通知》明确指出，2021年1月1日起，禁用不可降解的塑料袋、塑料餐具及一次性塑料吸管等，某品牌塑料袋经自然降解后残留量与时间年之间的关系为，其中为初始量，为光解系数.已知该品牌塑料袋2年后残留量为初始量的.该品牌塑料袋大约需要经过（）年，其残留量为初始量的10%.（参考数据：，）A.20 B.16 C.12 D.7【答案】B【解析】【分析】由，解方程即可.【详解】依题意有时，，则，当时，有，，.故选：B7.在中，已知，，，则向量在方向上的投影为（）．A. B.2 C. D.【答案】C【解析】【分析】利用三角形内角和及正弦定理求得、，再根据向量投影的定义求结果.【详解】由题设，则，可得，所以向量在方向上的投影为.故选：C8.设、是两条不相同的直线，、是两个不重合的平面，则下列命题错误的是（）A.若，，，则B.若，，则C.若、是异面直线，，，，，则.D.若，，则【答案】D【解析】【分析】利用线面平行和线面垂直的性质可判断A选项；利用线面平行的性质和面面垂直的判定定理可判断B选项；利用线面平行和面面平行的判定定理可判断C选项；根据已知条件直接判断线面位置关系，可判断D选项.【详解】对于A选项，因为，，则，因为，过直线作平面，使得，则，如下图所示：因为，，则，故，A对；对于B选项，因为，过直线作平面，使得，则，如下图所示：因为，则，因为，则，B对；对于C选项，因为，过直线作平面，使得，则，如下图所示：因为，，，则，又因为、是异面直线，，且，，假设，则，与已知条件矛盾，假设不成立，故、相交，又因为，因此，，C对；对于D选项，若，，则或，D错.故选：D.9.某人根据自己爱好，希望从中选2个不同字母，从中选3个不同数字编拟车牌号，要求前3位是数字，后两位是字母，且数字2不能排在首位，字母和数字2不能相邻，那么满足要求的车牌号有（）A.198个 B.180个 C.216个 D.234个【答案】A【解析】【分析】分别算出2在首位、2与Z相邻情况下的车牌号数量，再求任选数字和字母得到的车牌号，应用间接法求满足要求的车牌号.【详解】当2首位时，在任选两个数在余下两个数字位上全排有，从任选两个字母在字母位上全排有；当2与Z相邻时，即2在数字位的最后，Z在字母位的最前面，再从任选两个数在余下两个数字位上全排有，从任选一个字母放在字母位的最后有；所以当2在首位和2与Z相邻的情况共有种，而任选3个数字在数字位全排，任选2个字母在字母位全排共有种，所以满足要求的车牌号有种.故选：A10.函数的图象向左平移个单位长度后与原图象关于轴对称，则下列结论错误的是（）A. B.的一个周期是C.是偶函数 D.在上单调递减【答案】C【解析】【分析】根据三角函数图象平移变换结合平移后图象性质可得，即可得，由此将代入可判断A；根据周期性定义可判断B；求出的表达式结合偶函数定义判断C；结合x的范围，确定，结合余弦函数单调性，判断D.【详解】函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，依题意，，即，则，解得，而，于是，，对于A，，A正确；对于B，，即的一个周期是，B正确；对于C，，不妨取，此时，此时函数不是偶函数，C错误；对于D，由，得，在上递减，则在上递减，D正确.故选：C11.已知，，，则a，b，c的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】观察得到相同结构，从而构造，，变形后，求导得到其单调性，进而比较出大小.【详解】，，，令，，则，令，，则，令，，则在上恒成立，故在上单调递增，又，故在上恒成立，将中换为可得，，即，故在上恒成立，所以在上单调递增，由复合函数单调性可知在上单调递增，故，即.故选：D【点睛】构造函数比较大小是高考热点和难点，结合代数式的特点，选择适当的函数，通过导函数研究出函数的单调性，从而比较出代数式的大小.12.高斯是德国著名数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用他名字定义的函数称为高斯函数，其中表示不超过x的最大整数，如，，已知数列满足，，，若，为数列的前n项和，则（）A.2026 B.2025 C.2024 D.2023【答案】B【解析】【分析】根据递推公式证明数列为等比数列，然后由等比数列通项公式可得，利用累加法求，再对进行放缩求，最后由裂项相消法求出，根据高斯函数可得答案.【详解】由得，又，所以数列是以4为首项和公比的等比数列，故，由累加法得，所以，∵，又，∴，令，，，∴，代入得.故选：B．【点睛】本题难点在于考察知识点多，解答过程曲折不易思考，每个知识点的考察难度不算太大，这就要求学生对数列知识掌握全面，并且对问题掌握一定的分析方法.第II卷（非选择题）二、填空题（5*4=20分）13.若，满足约束条件则的最大值为____________．【答案】【解析】【分析】画出可行域，通过平移基准直线到可行域边界位置，由此求得的最大值.【详解】，画出可行域如下图所示，由图可知，当时，取得最大值为.故答案为：14.已知等差数列前项和，，，成等比数列，则数列公差_______________.【答案】或【解析】【分析】由，可求出，再由等比数列可建立关系式，求出.【详解】由，可知，即，又，，成等比数列，所以，即，解得或，故答案为：或15.的展开式中，的系数为__________（用数字作答）．【答案】70【解析】【详解】的展开式的通项公式为，令得，令得，∴的展开式中，的系数为,故答案为.16.如图，在△ABC所在平面内，分别以AB，BC为边向外作正方形ABEF和正方形BCHG．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S．已知，且asinA＋csinC＝4asinCsinB，则FH＝_____________．【答案】【解析】【分析】通过正弦定理化简已知条件，再结合面积公式和余弦定理即可求出的长度.【详解】由题意，在中，，，由正弦定理，，∵，∴，连接如下图所示，在中，由余弦定理，，又，∴，∴．故答案为：.三、解答题（本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（一）必考题：共60分．17.在中，，D为中点.（1）若，求；（2）若，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据三角形的余弦定理结合已知条件即可求解；（2）两次利用三角形的正弦定理列式求解即可.【小问1详解】如图所示：因为，所以，所以，所以，在中，由余弦定理的推论得：，在中，由余弦定理的推论得：，所以，因为是边的中点，所以，代入上式整理得，因为，所以，解得或（舍去），所以；【小问2详解】在中，由正弦定理得：，又，，，所以，即，在中，由正弦定理得：，，，所以.18.为了解某一地区新能源电动汽车销售情况，一机构根据统计数据，用最小二乘法得到电动汽车销量（单位：万台）关于（年份）的线性回归方程，且销量的方差为，年份的方差为．（1）求与的相关系数，并据此判断电动汽车销量与年份的线性相关性的强弱．（2）该机构还调查了该地区90位购车车主的性别与购车种类情况，得到的数据如下表：性别购买非电动汽车购买电动汽车总计男性39645女性301545总计692190依据小概率值的独立性检验，能否认为购买电动汽车与车主性别有关？（3）在购买电动汽车的车主中按照性别进行分层抽样抽取7人，再从这7人中随机抽取3人，记这3人中男性的人数为，求的分布列和数学期望．①参考数据：．②参考公式：线性回归方程为，其中；相关系数，若，则可判断与线性相关较强；，其中．附表：0.100.050.0100.0012.7063.8416.63510.828【答案】（1）电动汽车销量与年份的线性相关性的较强；（2）依据小概率值的独立性检验，认为购买电动汽车与车主性别有关；（3）分布列见解析，数学期望为.【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用线性回归方程，结合相关系数公式计算作答.（2）根据给定的列联表求出的观测值，再与临界值表比对作答.（3）利用分层抽样求出男女性人数，再求出的可能值及各个值对应的概率，列出分布列并求出方差作答.【小问1详解】由，得，由，得，因为线性回归方程，则，即，因此相关系数，所以电动汽车销量与年份的线性相关性的较强.【小问2详解】零假设：购买电动汽车与车主性别无关，由表中数据得：，依据小概率值独立性检验，推断不成立，即认为购买电动汽车与车主性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.05.【小问3详解】按购买电动汽车的车主进行分层抽样，抽取的7人中男性有人，女性有5人，则的可能值为，，所以的分布列为：012的数学期望.19.如图，平面四边形中，，是上的一点，是的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且.（1）证明：平面平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）要证平面平面，只需证平面，而，所以只需证，而由已知的数据可证得为等边三角形，又由于是的中点，所以，从而可证得结论；（2）由于在中，，而平面平面，所以点在平面的投影恰好为的中点，所以如图建立空间直角坐标系，利用空间向量求解.【详解】（1）由，所以平面四边形为直角梯形，设，因为.所以在中，，则，又，所以，由，所以为等边三角形，又是的中点，所以，又平面，则有平面，而平面，故平面平面.（2）解法一：在中，，取中点，所以，由（1）可知平面平面，平面平面，所以平面，以为坐标原点，方向为轴方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，设平面的法向量，由得取，则设直线与平面所成角大小为，则，故直线与平面所成角的正弦值为.解法二：在中，，取中点，所以，由（1）可知平面平面，平面平面，所以平面，过作于，连，则由平面平面，所以，又，则平面，又平面所以，在中，，所以，设到平面的距离为，由，即，即，可得，设直线与平面所成角大小为，则.故直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】此题考查的是立体几何中的证明面面垂直和求线面角，考查学生的转化思想和计算能力，属于中档题.20.已知椭圆：经过，两点，M，N是椭圆上异于T的两动点，且，直线AM，AN的斜率均存在.并分别记为，.（1）求证：为常数；（2）证明直线MN过定点.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据椭圆过A和T求出椭圆的标准方程.根据知与关于直线AT对称，设任一点为，求出其关于AT对称后的点的坐标，表示出即可证明；（2）设点，：．联立AM和椭圆方程，求出，同理求出，根据（1）中的值得AM和AN斜率关系.求出MN的斜率，写出MN的方程，化简该方程为直线方程的斜截式即可判断其经过定点．【小问1详解】∵椭圆过A和T，∴解得，∴椭圆的方程为：，由知与关于直线对称．在上任取一点，设关于直线AT对称的点为，则，解得，从而，于是．【小问2详解】设点，：．由得，∴，从而．同理，．由(1)有，故，，为方便，记，则，，∴，即．由此可知，当变化时，直线过定点．【点睛】本题综合考察圆锥曲线里面的定值和定点问题.第一问关键是将这个已知条件转化为直线AM和直线AN关于直线AT对称；第二问的关键是结合韦达定理直接求出M和N的坐标，直接写出MN的方程，从而证明其经过定点．21.已知函数，其中是自然对数的底数．（1）求函数的单调区间和最值；（2）证明：函数有且只有一个极值点；（3）当时，证明：．【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）求导，利用导数判断函数的单调区间和最值即得；（2）求出的导函数取通过讨论的三种不同范围，结合零点存在定理证明三种情况下函数有且只有一个零点，得到函有且只有一个极值点；（3）设导函数的零点，由整理得出：从而，取，将分子整理成关于的一个二次函数形式，通过证明其对应方程判别式小于等于零得出分子大于等于零，得出，故得.【小问1详解】由求导可得：因故，当时，，故在上单调递增；当时，，故在上单调递减；所以函数的单调递增区间为，递减区间为，最小值为，无最大值.【小问2详解】因，其定义域为，取则，因故，则在上单调递增，①当时，故函数内有且仅有一个变号零点，则此时，函数有且仅有一个极值点；②当时，因因在上单调递增，故函数有且仅有一个变号零点，则此时，函数有且仅有一个极值点；③当时，，又因，，，即，故函数在内有且仅有一个变号零点，则此时，函数有且仅有一个极值点；综上所述，函数有且仅有一个极值点.【小问3详解】由（2）可知，当时，函数有且仅有一个零点，设为，则又由（2）函数有最小值为.由可得：，即两边取自然对数得：，故于是，不妨设则，故得，则，对于函数，其对应方程的判别式，设，则恒成立，故函数在上单调递增，则，即，从而，于是，故有恒成立，故恒成立，所以【点睛】关键点睛：本题考查了函数的零点，导数的应用以及不等式恒成立问题.第（2）题的关键在于，要找到的临界点