同构函数课件高三数学二轮复习

2025高考数学二轮复习同构函数同构函数问题是近几年高考的热点问题.同构函数问题是指在不等式、方程、函数中,通过等价变形形成相同形式,再构造函数,利用函数的性质解决问题,常见的同构有双变量同构和指对同构,一般都是压轴题,难度较大.在解决指数函数与对数函数的混合不等式恒成立求参数范围或证明指对不等式时，使用同构法会达到意想不到的效果.如何构造同构函数呢？一般情况下含ex和lnx的函数，主要是统一化为左边或化为右边构造同构式.同构式需要构造这样一个母函数，这个函数既能满足指数与对数互化，又能满足单调性和最值易求等特点，因此常见的同构形式大多为y＝xlnx，y＝xex，或其同族函数.经过同构变形，再结合复合函数的单调性，可以快速解决证明不等式、恒成立求参数的取值范围等问题.同构的概念：通过观察式子结构，对式子进行变形转化，找到式子两边对应的同一个函数，将问题化繁为简。像这种找到函数模型的方法，我们就称为同构法.同构法可解决求参数的取值范围、零点的个数、证明不等式等问题。在遇到指对混合的函数问题中，如何进行同构变形？

一般地，当指数，对数出现在同一个式子中，矛盾无法调和时，常利用对数恒等式，做到指数或对数的相互转化，达到结构的统一，从而构造函数解决。指对同构的本质：指、幂、对三种函数的互相转化

指幂幂对

指对两边分，同指又同真，指幂幂对型，同构得真身。

2.积型：3.商型：1.和差型：指对混合型的同构形式

角度一双变量同构型例1(1)若实数a,b满足4a+log3a=8b+3log27b,则(

)C.a>b3

D.a<b3A解析

由题意知a>0,b>0,∵4a=22a,8b=23b,3log27b=log3b,∴22a+log3a=23b+log3b,∴22a+log3a+log32=23b+log3b+log32,即22a+log32a=23b+log32b,∵y=log3x在(0,+∞)内单调递增,∴log32b<log33b,∴22a+log32a<23b+log33b.设f(x)=2x+log3x,则f(2a)<f(3b),∵y=2x与y=log3x在(0,+∞)内单调递增,∴f(x)在(0,+∞)内单调递增,∴2a<3b,即a<.故选A.(2)(2024福建福州模拟)已知函数f(x)=x-1-alnx(a∈R),g(x)=.①当a=-2时,求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程;②若a<0,且对任意x1,x2∈(0,1],都有|f(x1)-f(x2)|<4|g(x1)-g(x2)|,求实数a的取值范围.角度二指对跨阶同构型例2(2024湖南长沙模拟)已知函数f(x)=x(aex-1),a∈R.(1)当a=1时,求f(x)的极小值;(2)若g(x)=f(x)+(2-lnx-x)e3+x,求证:当a>1时,g(x)>0.(1)解

当a=1时,f(x)=x(ex-1),则f'(x)=ex(x+1)-1,当x>0时,f'(x)>0,函数f(x)在(0,+∞)内单调递增;当x<0时,0<ex<1,x+1<1,则f'(x)<0,f(x)在(-∞,0)内单调递减,所以函数f(x)在x=0处取得极小值,为f(0)=0.(2)证明

依题意,g(x)=axex+(2-ln

x-x)e3的定义域为(0,+∞),当a>1时,g(x)>xex+(2-ln

x-x)e3,则只需证xex+(2-ln

x-x)e3≥0,只需证ex+ln

x+(2-ln

x-x)e3≥0,只需证ex+ln

x-2-(x+ln

x-2)e≥0.令t=x+ln

x-2,因为x∈(0,+∞),则t∈R.只需证et-et≥0,令h(t)=et-et,所以h'(t)=et-e.则当t∈(-∞,1)时,h'(t)<0,h(t)单调递减;当t∈(1,+∞)时,h'(t)>0,h(t)单调递增.所以h(t)min=h(1)=0,所以et-et≥0恒成立,即当a>1时,g(x)>0.角度三零点同构型D(2)(2024辽宁大连模拟)已知函数f(x)=x2+2x+ex+1+e-x-1+k有且只有一个零点,则k的值为(

)A.-1 B.0 C.1 D.2A解析

f(x)定义域为R,且f'(x)=2x+2+ex+1-e-x-1=x+1+ex+1-[-(x+1)+e-(x+1)],令g(x)=x+ex,则g'(x)=1+ex>0恒成立,故g(x)=x+ex在R上单调递增,当x+1>-(x+1),即x>-1时,f'(x)>0,f(x)单调递增,当x+1<-(x+1),即x<-1时,f'(x)<0,f(x)单调递减,故f(x)在x=-1处取得极小值,也是最小值,故要想满足f(x)有且只有一个零点,只需f(-1)=0,即1-2+e-1+1+e1-1+k=0,解得k=-1.故选A.针对训练1.(2024河北沧州模拟)已知函数f(x)=lnx-ax+1,a∈R.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若∀x>0,f(x)≤xe2x-2ax恒成立,求实数a的取值范围.(2)设g(x)=ex-x-1,则g'(x)=ex-1,在区间(-∞,0)内,g'(x)<0,g(x)单调递减,在区间(0,+∞)内,g'(x)>0,g(x)单调递增,所以g(x)≥g(0)=e0-0-1=0,所以ex≥x+1(当且仅当x=0时等号成立).设g(x)=ex-x-1,则g'(x)=ex-1,当x>0时,g'(x)>0,函数g(x)在(0,+∞)内单调递增,当x<0时,g'(x)<0,函数g(x)在(-∞,0)内单调递减,又g(0)=0,所以ex≥x+1,当且仅当x=0时取等号.令t(x)=ln

x+3x,因为y=ln

x,y=3x在(0,+∞)内单调递增,