第01讲一次函数的概念与图像（3个知识点3种题型分层练习）（原卷版）

第01讲一次函数的概念与图像（3个知识点+3种题型+分层练习）知识导图知识清单知识点1．一次函数的定义（1）一次函数的定义：一般地，形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数．（2）注意：①又一次函数的定义可知：函数为一次函数⇔其解析式为y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的形式．②一次函数解析式的结构特征：k≠0；自变量的次数为1；常数项b可以为任意实数．③一般情况下自变量的取值范围是任意实数．④若k＝0，则y＝b（b为常数），此时它不是一次函数．知识点2．一次函数的图象（1）一次函数的图象的画法：经过两点（0，b）、（﹣，0）或（1，k+b）作直线y＝kx+b．注意：①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确．②一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线（正比例函数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象．如x＝a，y＝b分别是与y轴，x轴平行的直线，就不是一次函数的图象．（2）一次函数图象之间的位置关系：直线y＝kx+b，可以看做由直线y＝kx平移|b|个单位而得到．当b＞0时，向上平移；b＜0时，向下平移．注意：①如果两条直线平行，则其比例系数相等；反之亦然；②将直线平移，其规律是：上加下减，左加右减；③两条直线相交，其交点都适合这两条直线．知识点3．一次函数图象与系数的关系由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．①k＞0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、三象限；②k＞0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在一、三、四象限；③k＜0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、四象限；④k＜0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在二、三、四象限．题型强化题型一．一次函数的定义1．（2024春•普陀区期末）下列函数中，是的一次函数的是A． B． C． D．2．（2024春•嘉定区期中）如果函数是一次函数，那么的取值范围为．3．（2024秋•金凤区校级期中）已知函数．（1）当为何值时，这个函数是关于的一次函数？（2）当为何值时，这个函数是关于的正比例函数？题型二．一次函数的图象4．（2024春•崇明区期末）一次函数的图象不经过A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．（2024春•杨浦区期中）如图，一次函数的图象与轴、轴分别相交于、．两点，那么当时，自变量的取值范围是．6．（上海期末）在平面直角坐标系中画出函数的图象．（1）在图象上标出横坐标为的点，并写出它的坐标；（2）在图象上标出和轴的距离是2个单位长度的点，并写出它的坐标．题型三．一次函数图象与系数的关系7．（2024春•金山区校级月考）若一次函数的函数值随自变量的值增大而增大，则的取值范围是A． B． C． D．8．（2024春•徐汇区期中）若函数的图象不经过第四象限，那么的取值范围是．9．已知关于的函数．（1）当满足什么条件时，它是正比例函数？（2）当满足什么条件时，随的增大而增大？（3）当满足什么条件时，它的图象经过第一、二、四象限？分层练习一、单选题1．已知一次函数，且随的增大而减小，则的取值范围是（

）A． B． C． D．2．已知直线y=（k﹣2）x+k不经过第三象限，则k的取值范围是（）A．k≠2 B．k＞2 C．0≤k＜2 D．k≥03．如图，是正比例函数图象上的点，且在第一象限，过点作轴于点，以为斜边向上作等腰，若，则的坐标为（

）A． B． C． D．4．如图，函数和的图象相交于点，则关于x的不等式的解集是()A．B．C．D．5．如图，直线与直线相交于点．直线与y轴交于点A．一动点C从点A出发，先沿平行于x轴的方向运动，到达直线上的点处后，改为垂直于x轴的方向运动，到达直线上的点处后，再沿平行于x轴的方向运动，到达直线上的点处后，又改为垂直于x轴的方向运动，到达直线上的点处后，仍沿平行于x轴的方向运动，…照此规律运动，动点C依次经过点，，，，，，…，，，…则当动点C到达处时，则为（

）A． B． C． D．6．如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，直线的解析式为，直线交轴于点，以为边作第一个等边三角形，交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，以为边作第二个等边三角形△，交直线于点，，顺次这样做下去，第2020个等边三角形的边长为（）

A． B． C．4038 D．4040二、填空题7．已知一次函数y＝kx+3，若y随x的增大而减小，则k的取值范围是．8．已知一次函数的图象经过，两点，则．（填“”或“”）9．一次函数的图象经过原点，则y随x的增大而.（填“增大”或“减小”）10．不论k为何值，直线恒过定点．11．已知点在直线上，则代数式的值为．12．点P(3，a)、Q(,b)在一次例函数的图象上，则a与b的大小关系是．13．请写出一个满足下列条件的一次函数的解析式：①图象与轴的交点在轴的负半轴；②随的增大而增大．14．某车站规定旅客可以免费携带不超过20千克的行李，超过部分每千克收取1.5元的行李费，则旅客需交的行李费（元）与携带行李重量（千克）（）之间的关系式为．15．已知无论n取什么实数，点P(n，4n3)都在直线l上，若Q(a，b)是直线l上的点，则（4ab）2的值等于．16．已知关于x的一次函数同时满足下列两个条件：函数y随x的增大而减小；当x=0时，对应的函数值，你认为符合要求的一次函数的解析式可以是(写出一个即可)．17．平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，其中，满足方程组，已知点在直线的下方，且点不在第三象限，则的取值范围为．18．如图，点P是函数图象上的一点，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，过点P作x轴、y轴的垂线与该直线分别交于C、D两点，则的值为．三、解答题19．已知一次函数的图象过点．(1)求的值．(2)当时，求的最大值．20．某体育用品店的“某品牌衬衫”每天销售20件，每件衬衫盈利40元．该体育用品店决定降价销售该品牌衬衫，经过市场调查发现：如果衬衫每降价1元，则每天多售出2件，设该品牌衬衫每件降价x元，每天销售y件．(1)直接写出y与x之间的函数关系式，不要求写出自变量的取值范围；(2)如果该体育用品店销售该品牌衬衫每天盈利1250元，那么衬衫每件降价了多少元?21．如图，直线与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B，平行于x轴的直线交反比例函数的图象于点M，交于点N，连接．(1)求m的值和反比例函数的解析式；(2)观察图象，直接写出当时不等式的解集；22．如图①，公路上依次有A、B、C三个车站，一辆汽车从A站出发以速度匀速驶向B站，到达B站后不停留，以速度匀速驶向C站，汽车行驶路程y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数图象如图②所示．(1)__________千米/小时，__________千米/小时；(2)当汽车在B、C两站之间匀速行驶时，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(3)若汽车在某一段路程内刚好用分钟行驶了千米，直接写出这段路程开始时x的值．23．已知，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点．

(1)求一次函数和反比例函数的解析式，并在网格中画出这个一次函数的图象（不需要列表）；(2)根据函数图象直接写出不等式的解集；(3)平面内一点，连接、，求的面积．24．问题探究：（1）将一直角梯形放在如图1所示的正方形网格（图中每个小正方形的边长均为一个单位长度）中，梯形的顶点均在格点上，请你在图中作一条直线l，使它将梯形分成面积相等的两部分；（画出一种即可）（2）如图2，，点A、D在上，点B、C在上，连接、，交于点O，连接、．试说明：；问题解决：（3）如图3，在平面直角坐标系中，不规则五边形是李大爷家的一块土地的示意图，顶点B在y轴正半轴上，边在x轴正半轴上，平行于x轴，的中点P处有一口灌溉水井，现结合实际耕种需求，需在上找一点Q，使将这块土地的面积分为相等的两部分，用于耕种两种不同的作物，并沿修一条灌溉水渠（水渠的宽度忽略不计）．①请你利用有刻度的直尺在图中画出的位置，并简要说明作图过程；②若点A的坐标为，，，，，请求出直线的解析式．25．如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点A、B，与x轴交于点C，．（1）求点A的坐标与反比例函数的表达式．（2）设直线AB与y轴相交于点D，经过计算可知点B的坐标为．若点Q是y轴上一点，是否存在点Q，使得？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．（3）求的x的取值范围．26．通话、购物、看书等，已经成为现代人生活的一个重要组成部分，让现代人的生活更为丰富和便捷．通讯公司提供了两种话费收费套餐供客户选择，如下表．项目套餐月租费（元）每分钟通话费（元）套餐A套餐B0小明仔细阅读了通讯公司的话费收费套餐方案说明，发现话费与通话时间有关联．小明设采用套餐的通话费用为（元）采用套餐的通话费用为（元），通话时间为（分钟）．(1)请分别直接写出（元）与（分钟），（元）与（分钟）之间的关系式，并在如图的平面直角坐标系中画出两个关系式分别对应的图象；(2)求当通话时间为多少分钟时，套餐，的通话费用恰好相同；(3)如果小明每个月的通话时间都不少于分钟，请帮助小明从，中选择使用哪一种套餐更省钱？27．北京冬奥会上，由于中国冰雪健儿们的发挥出色，中国金牌总数位列第三，向世界证明了中国是冰雪运动强国！青蛙公主谷爱凌发挥出色一人斩获两金一银．在数学上，我们不妨约定：在平面直角坐标系中，将点称为“爱凌点”，