2024-2025学年福建省晋江市高二上册期中考试数学检测试题（附解析）

2024-2025学年福建省晋江市高二上学期期中考试数学检测试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.点关于平面对称的点的坐标是（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】根据空间直角系对称的特征，直接求出答案即可.【详解】点关于平面对称的点的坐标是.故选：B2.已知直线过点，且一个方向向量为，则直线的方程为（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】根据直线的方向向量定义求解即可．【详解】设是直线上任意一点，因为直线过点，且一个方向向量为，所以，化简得.故选：C．3.已知双曲线过点，且与双曲线有相同的渐近线，则双曲线的标准方程为（）A. B.C. D.【正确答案】A【分析】由题设双曲线的方程为，进而待定系数求解即可.【详解】由双曲线与双曲线有相同的渐近线，故可设双曲线的方程为，又因为过点，所以，解得，所以，双曲线的标准方程是．故选：A．4.已知直线与直线平行，则与之间的距离为（）A.2 B.3 C.4 D.5【正确答案】A【分析】根据两条直线平行，求出值，再应用平行线间的距离公式求值即可.【详解】因为直线与直线平行，所以，解之得.于是直线，即，所以与之间距离为.故选：A5.已知三棱柱的侧棱长为2，底面是边长为2的正三角形，，若和相交于点．则（）A. B.2 C. D.【正确答案】D【分析】利用空间向量的基本运算可得，再由夹角以及模长运算即可得结果.【详解】如下图所示：根据题意可知令，且，；可得；所以.故选：D6.已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于两点，若的中点坐标为，则椭圆的方程为（）A. B.C. D.【正确答案】C【分析】点差法得到，从而得到，结合，求出，得到椭圆方程.【详解】由题意，设，代入椭圆方程，可得两式相减可，变形可得，又过点的直线交椭圆于两点，且的中点为，所以，代入上式可得，，又，解得，所以椭圆的方程为.故选：C7.已知，是椭圆的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，为等腰直角三角形，且，则C的离心率为（

）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】根据题意，求得方程为，以及，代入直线方程求得，结合离心率的定义，即可求解.【详解】如图所示，由椭圆，得到左顶点，又由过点且斜率为的直线，可得方程为，因为为等腰直角三角形，且，可得，代入直线，可得，整理得，所以椭圆的离心率为.故选：A.8.已知圆：关于直线对称，过点作圆的切线，切点分别为，则的最小值为（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】首先由圆关于直线对称，则圆心在直线上，从而得到，即确定在直线上，再利用倍角公式，用表示，即，再利用几何意义，即可求出的最小值.【详解】由圆：，即可得圆心，半径，由圆：关于直线对称，可得圆心在直线上，所以，即，所以在直线，又过点作圆的两条切线，切点分别为，则，又在直线，则可表示到直线上点的距离的平方，所以的最小值为，所以的最小值为，故选：C.关键点点睛：本题的关键点是将求的最小值转化为求直线上的动点到圆：的最小值问题.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知向量，，，则下列结论正确的是（）A.向量与向量的夹角为 B.C.向量在向量上的投影向量为 D.向量与向量，共面【正确答案】BD【分析】对于A，利用空间向量夹角公式计算即可判断；对于B，利用向量垂直的充要条件计算判断即得；对于C，利用投影向量计算公式即可判断；对于D，利用共面向量基本定理即可判断.【详解】对于A，因，则，因，则，故A错误；对于B，因，则，故，即B正确；对于C，根据投影向量的定义可知，向量在向量上的投影向量为:，故C错误；对于D，由向量，，，可知，故向量与向量，共面，所以D正确．故选：BD.10.已知直线：，圆：，以下正确的是（）A.与圆不一定存在公共点B.圆心到的最大距离为C.当与圆相交时，D.当时，圆上有三个点到的距离为【正确答案】ABD【分析】对A，根据直线与圆的位置关系，求圆心到直线的距离判断；对于B，由于直线恒过定点，所以当时，圆心到直线的距离最大，从而可求出其最大值；对C，根据直线与圆的位置关系求解判断；对D，求出圆心到直线的距离，进而判断.【详解】对于A，圆心到直线的距离为，当，即，解得或，此时直线与圆相离，没有公共点，故A正确；对于B，因为直线，即，所以直线过定点，当时，圆心到直线的距离最大，最大值为，故B正确；对于C，当直线与圆相交时，则，解得，故C错误；对于D，当时，直线，圆心到直线的距离为，所以圆上有三个点到直线的距离为，故D正确.故选：ABD.11.已知双曲线的一条渐近线的方程为，上、下焦点分别为，下列判断正确的是（）A.的方程为B.的离心率为C.若点为的上支上的任意一点，，则的最小值为D.若点为的上支上的一点，则△的内切圆的半径为【正确答案】ACD【分析】根据渐近线方程求，根据双曲线方程求离心率，即可判断AB，根据双曲线的定义，结合数形结合判断C，根据双曲线方程求点的坐标，再根据的面积和周长，即可求内切圆的半径，判断D.【详解】A.由双曲线方程C:y2a又双曲线的一条渐近线方程为，所以，所以的方程为，故A正确；B.由双曲线的方程，可知，，，则，所以离心率，故B错误；C.，，，当点三点共线且依序排列时，等号成立，所以的最小值为，故C正确；D.D.的方程为，当时，，，，计算可得，，，所以的面积为，的周长为，设△的内切圆的半径为，则，得，故D正确.故选：ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知，两点，则以线段为直径的圆的标准方程为_________．【正确答案】【分析】根据给定条件，求出圆心和半径即可求出圆的标准方程.【详解】依题意，以线段为直径的圆的圆心为，半径，所以所求圆的标准方程为.故13.过双曲线的两个焦点分别作实轴的垂线，交于四个点，若这四个点恰为一个正方形的顶点，则的离心率为__________.【正确答案】.【分析】由双曲线的几何性质确定之间的等式关系，即可求解.【详解】解法一：不妨设双曲线，令，可得，所以AB=2b依题意可得，，所以，又，所以，解得：，又因为，所以.解法二：如图，连结，在中，所以离心率解法三：，依题意知在曲线上，故，整理得（取正），所以，故答案为.14.古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面上到两定点A，B的距离之比为常数的点的轨迹是—个圆心在直线上的圆.该圆被称为阿氏圆，如图，在长方体中，，点E在棱上，，动点P满足，若点P在平面内运动，则点P对应的轨迹的面积是___________；F为的中点，则三棱锥体积的最小值为___________.【正确答案】①.②.【分析】建立空间直角坐标系，根据，可得对应的轨迹方程；先求的面积，其是固定值，要使体积最小，只需求点到平面的距离的最小值即可.【详解】分别以轴建系，设，而,,，,.由,有，化简得对应的轨迹方程为.所以点P对应的轨迹的面积是.易得的三个边即是边长为为的等边三角形，其面积为，，设平面的一个法向量为，则有，可取平面的一个法向量为，根据点的轨迹，可设，，所以点到平面的距离，所以故；四、解答题：本题共5小题，77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在平面直角坐标系中，已知圆M的圆心在直线上，且圆M与直线相切于点.（1）求圆M的方程；（2）过坐标原点O的直线被圆M截得的弦长为，求直线的方程.【正确答案】（1）（2）或.【分析】（1）根据直线与圆的相切的关系得出圆心与切点连线方程，联立方程组计算可得圆心坐标，根据两点距离公式计算半径即可得圆M的标准方程；（2）根据弦长公式可得圆心M到直线的距离，分类讨论直线斜率是否存在，并点到直线的距离公式计算斜率即可.【小问1详解】易知过点且与直线垂直的直线斜率为，故圆心M与切点连线方程为，联立解得，所以；所以圆M的半径为，所以圆M的方程为.【小问2详解】如图，由（1）可知圆M的方程为，因为直线被圆M截得的弦长为，所以M到直线的距离为，若直线的斜率不存在，则方程为，此时圆心到直线的距离为1，不符合题意；若直线的斜率存在，设方程为，则，即，解得或，所以直线的方程为或.16.如图，已知在四棱锥中，平面，四边形为直角梯形，，，点是棱上靠近端的三等分点，点是棱上一点.（1）证明：平面；（2）求点到平面的距离；（3）求平面与平面夹角的余弦值.【正确答案】（1）证明见解析（2）（3）.【分析】（1）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量研究线面关系即可；（2）根据（1）的结论及点到面的距离公式计算即可；（3）利用空间向量计算面面夹角即可.【小问1详解】以点为坐标原点，分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则.，设平面的一个法向量为，则，即，令，得，则.又，可得，因为平面，所以平面.【小问2详解】因为平面，所以点到平面的距离等于点A到平面的距离.易知，则点A到平面的距离为.【小问3详解】易知，设平面一个法向量为，则，即，令，则.设平面与平面的夹角为，则故平面与平面的夹角的余弦值为.17.已知圆M：(x＋1)2＋y2=1，圆N：(x－1)2＋y2=9，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C（1）求C的方程；（2）l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.【正确答案】（1）；（2）见解析.【分析】（1）根据椭圆的定义求出方程；（2）先确定当圆P的半径最长时，其方程为，再对直线l进行分类讨论求弦长.【详解】（1）依题意，圆M的圆心，圆N的圆心，故，由椭圆定理可知，曲线C是以M、N为左右焦点的椭圆（左顶点除外），其方程为；（2）对于曲线C上任意一点，由于（R为圆P的半径），所以R=2，所以当圆P的半径最长时，其方程为；若直线l垂直于x轴，易得；若直线l不垂直于x轴，设l与x轴交点为Q，则，解得，故直线l：；有l与圆M相切得，解得；当时，直线，联立直线与椭圆的方程解得；同理，当时，.18.离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标，设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与相邻的顶点，且平面，，…平面和平面为多面体的所有以为顶点的面．现给出如图所示的三棱锥．（1）求三棱锥在各个顶点处的离散曲率的和；（2）若平面，，三棱锥在顶点处的离散曲率为．①求直线与直线所成角的余弦值；②点在棱上，直线与平面所成角的余弦值为，求的长度．【正确答案】（1）2（2）①；②【分析】（1）根据所给的定义，表示，再相加，即可求解；（2）①将三棱锥补成正方体，即可求解异面直线所成的角；②首先根据垂直关系，构造线面角，再设，，，再利用余弦定理求，再由余弦值，转化为正切值，即可求解.【小问1详解】根据离散曲率的定义得，，，，所以【小问2详解】①因为平面，平面，所以，且，，平面,所以平面，平面,所以，所以，所以，所以，如图，将三棱锥补成正方体，因为，连结，所以异面直线与所成的角为或其补角，而是等边三角形，所以，，所以直线与直线所成角的余弦值为；过点作于点，连结，因为平面，所以平面，所以为直线与平面所成的角，依题意可得，，，，所以,，设，，，在中，，又，所以，所以，所以，解得：或（舍）故.关键点点睛：本题考察新定义，关键一是理解新定义，确定图形的几何关系，关键二是利用定义法表示线线角和线面角.19.已知椭圆的左､右焦点分别为，离心率为，且经过点.（1）求的方程；（2）过且不垂直于坐标轴的直线交于两点，点为的中点，记的面积为的面积为，求的取值范围.【正确答案】（1）（2）【分析】（1）利用离心率公式以及点在椭圆上即可求解；（2）解法一：设，利用三角形的面积公式，将面积之比表示为点的纵坐标之比，利用韦达定理可求出的纵坐标之比的取值