2023-2024学年广东省深圳实验学校初中部九年级上学期开学考数学试题及答案

试题PAGE1试题深圳实验学校初中部2023-2024学年第一学期九年级开学考数学试卷一．选择题（每题3分，共30分）1.下列新能源汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.2.已知，则下面结论成立的是（）A. B. C. D.3.如果，那么下列运算正确的是（）A B. C. D.4.如图，在中，点D在边上，过点D作，交于点E．若，则的值是（）A. B. C. D.5.如图，在已知的中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线交于点D，连接．若，则的度数为（）A. B. C. D.6.如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是A. B. C. D.7.如图，在直角坐标系中，菱形的顶点A的坐标为，．将菱形沿x轴向右平移1个单位长度，再沿y轴向下平移1个单位长度，得到菱形，其中点的坐标为（）A. B. C. D.8.如图，D、E、F分别是各边中点，则以下说法错误的是（）A.和面积相等B.四边形平行四边形C.若，则四边形是菱形D.若，则四边形是矩形9.若一个菱形的两条对角线长分别是关于的一元二次方程的两个实数根，且其面积为11，则该菱形的边长为（）A. B. C. D.10.如图，在中，，C为线段上一点，且，，将沿翻折，点A落在点D处，延长至点E，连接，且，则的值是（）A. B. C. D.5二．填空题（每题3分，共15分）11.分解因式：_________．12.关于x的分式方程有增根，则___________．13.张师傅去年开了一家超市，今年2月份开始盈利，3月份盈利5000元，5月份盈利达到7200元，从3月到5月，每月盈利平均增长率都相同，则每月盈利的平均增长率是________．14.如图，已知正方形ABCD的边长为5，点E、F分别在AD、DC上，AE=DF=2，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为_______．15.如图，已知中，，点为上一动点，，连接．与交于点，，若，则____________．三．解答题（共55分）16.（1）解方程：；（2）解方程：．17.先化简，再从不等式中选择一个适当的整数，代入求值．18.如图所示，在等腰三角形中，，点在线段上，点在线段上，且，．求证：（1）；（2）．19.如图，老李想用长为栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）．（1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640的羊圈？（2）羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．20.“节能环保，绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜欢骑自行车出行，也给自行车商家带来商机．某自行车行经营的A型自行车去年销售总额为8万元．今年该型自行车每辆售价预计比去年降低200元．若该型车的销售数量与去年相同，那么今年的销售总额将比去年减少10%，求：（1）A型自行车去年每辆售价多少元；（2）该车行今年计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍．已知，A型车和B型车的进货价格分别为1500元和1800元，计划B型车销售价格为2400元，应如何组织进货才能使这批自行车销售获利最多．21.是等边三角形，点是射线上的一点（不与点，重合），连接，在的左侧作等边三角形，将线段绕点逆时针旋转，得到线段,连接．交于点．（1）如图1，当点为中点时，请直接写出线段与的数量关系；（2）如图2．当点在线段的延长线上时，请判断（）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；（3）当，时，请直接写出的长．22.正方形ABCD的边长为4，点E在边AD所在的直线上，连接CE，以CE为边，作正方形CEFG（点D，点F在直线CE的同侧），连接BF．（1）如图1，当点E与点A重合时，______；（2）如图2，当点E在线段AD上时，．①求点F到AD的距离；②求BF的长；（3）若，请直接写出此时AE的长．深圳实验学校初中部2023-2024学年第一学期九年级开学考数学试卷一．选择题（每题3分，共30分）1.下列新能源汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．【详解】解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；故选A．【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟知二者的定义是解题的关键．2.已知，则下面结论成立的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意可得，进一步即可求出.【详解】解：∵，∴，∴；故选：B.【点睛】本题考查了分式的求值，属于基本题目，掌握求解的方法是关键.3.如果，那么下列运算正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据不等式的性质对各选项进行判断．【详解】解：∵，∴，，，，∴A，B，C不符合题意，D符合题意；故选D【点睛】本题考查了不等式的性质：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．4.如图，在中，点D在边上，过点D作，交于点E．若，则的值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用平行线分线段成比例定理的推论得出，即可求解．【详解】解：∵中，，∴，∵∴，故选：A．【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理的推论，解题关键是牢记“平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得对应线段成比例”．5.如图，在已知的中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线交于点D，连接．若，则的度数为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先由等边对等角得出，然后由作图可知是的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得，再根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质求解即可．【详解】解：∵，∴，根据题意得：是的垂直平分线，∴，∴，∴，∴．故选：D．【点睛】本题考查了垂直平分线的作图和性质，等腰三角形的性质和三角形外角的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．6.如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据网格的特点求出三角形的三边，再根据相似三角形的判定定理即可求解．【详解】已知给出的三角形的各边AB、CB、AC分别为、2、、只有选项B的各边为1、、与它的各边对应成比例．故选B．【点睛】此题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理．7.如图，在直角坐标系中，菱形的顶点A的坐标为，．将菱形沿x轴向右平移1个单位长度，再沿y轴向下平移1个单位长度，得到菱形，其中点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】如图，过作轴于，求解，，可得，求解，，可得，再利用平移性质可得．【详解】解：如图，过作轴于，∵菱形的顶点A的坐标为，．∴，，∴，∴，，∴，∵将菱形沿x轴向右平移1个单位长度，再沿y轴向下平移1个单位长度，∴；故选A【点睛】本题考查的是菱形的性质，勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，图形的平移，熟练的求解B的坐标是解本题的关键．8.如图，D、E、F分别是各边中点，则以下说法错误的是（）A.和的面积相等B.四边形是平行四边形C.若，则四边形是菱形D.若，则四边形是矩形【答案】C【解析】【分析】根据中位线的性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形、菱形、矩形的判定定理逐一判断各个选项，即可得到答案．【详解】解：∵点D、E、F分别是△ABC三边的中点，∴DE、DF为△ABC得中位线，∴ED∥AC，且ED＝AC＝AF；同理DF∥AB，且DF＝AB＝AE，∴四边形AEDF一定是平行四边形，故B正确；∴，∴，，∴和的面积相等，故A正确；∵，∴DF＝AB=AE，∴四边形不一定是菱形，故C错误；∵∠A＝90°，则四边形AEDF是矩形，故D正确；故选：C．【点睛】本题考查三角形中位线性质定理和平行四边形、矩形、菱形的判定定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握上述性质定理和判定定理是解题的关键．9.若一个菱形的两条对角线长分别是关于的一元二次方程的两个实数根，且其面积为11，则该菱形的边长为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，得到，根据菱形的面积得到，利用勾股定理以及完全平方公式计算可得答案．【详解】解：设方程的两根分别为a，b，∴，∵a，b分别是一个菱形的两条对角线长，已知菱形的面积为11，∴，即，∵菱形对角线垂直且互相平分，∴该菱形的边长为，故C正确．故选：C．【点睛】本题考查了根与系数的关系以及菱形的性质，完全平方公式，利用根与系数的关系得出是解题的关键．10.如图，在中，，C为线段上一点，且，，将沿翻折，点A落在点D处，延长至点E，连接，且，则的值是（）A. B. C. D.5【答案】B【解析】【分析】如图，过点E作交的延长线于Q，过点O作交的延长线于T，设．可得四边形是矩形，，由，，可得，从而易证，可得，，因此四边形是正方形，，，，，在中，利用勾股定理有，代入构造方程求解即可解答．【详解】如图，过点E作交的延长线于Q，过点O作交的延长线于T，设．∴，∴四边形是矩形，∴，∵，∴，，∵，∴，由折叠可得，∴∴，在和中，，∴，∴，，∴四边形是正方形，∴，∴，．∵由折叠可得，∴，∵在中，∴，解得，即．故选：B【点睛】本题考查正方形中的折叠问题，正方形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理，正确作出辅助线，综合运用相关知识，利用勾股定理构造方程是解题关键．二．填空题（每题3分，共15分）11.分解因式：_________．【答案】【解析】【分析】根据提取公因式法和平方差公式，即可分解因式．【详解】，故答案是：．【点睛】本题主要考查提取公因式法和平方差公式，掌握平方差公式，是解题的关键．12.关于x的分式方程有增根，则___________．【答案】【解析】【分析】等式两边同时乘以公因式，化简分式方程，然后根据方程有增根，求出的值，即可求出．【详解】，解：方程两边同时乘以，得，∴，∵原方程有增根，∴，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查分式方程的知识，解题的关键是掌握分式方程的增根．13.张师傅去年开了一家超市，今年2月份开始盈利，3月份盈利5000元，5月份盈利达到7200元，从3月到5月，每月盈利的平均增长率都相同，则每月盈利的平均增长率是________．【答案】【解析】【分析】设该超市的月平均增长率为x，根据等量关系：三月份盈利额五月份的盈利额列出方程求解即可．【详解】解：设每月盈利平均增长率为x，根据题意得：．解得：，（不符合题意，舍去），故答案为：．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，属于增长率的问题，一般公式为原来的量后来的量，其中增长用＋，减少用−，难度一般．14.如图，已知正方形ABCD的边长为5，点E、F分别在AD、DC上，AE=DF=2，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为_______．【答案】【解析】【分析】先证明，再利用全等角之间关系得出，再由H为BF的中点，又为直角三角形，得出，为直角三角形再利用勾股定理得出BF即可求解．【详解】解：，．∴∠BEA=∠AFD，又∵∠AFD＋∠EAG=90°，∴∠BEA＋∠EAG=90°，∴∠BGF=90°．H为BF的中点，又为直角三角形，．∵DF=2，∴CF=5-2=3．∵为直角三角形．∴BF===．．【点睛】本题主要考查全等三角形判定与性质，勾股定理，直角三角形斜边中线等于斜边一半知识点，解题的关键是熟悉掌握直角三角形斜边中线等于斜边一半．15.如图，已知中，，点为上一动点，，连接．与交于点，，若，则____________．【答案】【解析】【分析】延长，过点作，交的延长线于点，证明，得出，，证明四边形为平行四边形，得出，，求出，根据勾股定理求出，得出，求出，根据勾股定理求出即可．【详解】解：延长，过点作，交的延长线于点，如图所示：，，，，，，，，，，，，，，∴四边形为平行四边形，，，，即，解得：或（舍去），在中根据勾股定理得：，，．故答案为：．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，勾股定理，余角的性质，平行线的判定，平行四边形的判定与性质，作出辅助线，构造全等三角形证明是解题的关键．三．解答题（共55分）16.（1）解方程：；（2）解方程：．【答案】（1）；（2）无解【解析】【分析】（1）直接采用公式法解一元二次方程即可；（2）先去分母化为整式方程，再解整式方程，最后检验即可．【详解】解：（1），，则，；（2），，解得：，检验：当时，，是原方程的增根，原方程无解．【点睛】本题考查了公式法解一元二次方程，解分式方程，熟练掌握运算方法与步骤是解题的关键．17.先化简，再从不等式中选择一个适当的整数，代入求值．【答案】，选择，式子的值为（或选择，式子的值为1）【解析】【分析】先计算括号内的分式减法，再计算分式的除法，然后根据分式有意义的条件选择适当的的值，代入计算即可得．【详解】解：原式，，，，，，且为整数，选择代入得：原式，选择代入得：原式．【点睛】本题考查了分式化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．18.如图所示，在等腰三角形中，，点在线段上，点在线段上，且，．求证：（1）；（2）．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到，利用证明即可；（2）由全等三角形的性质可得，进而得到，即可得证．【小问1详解】证明：，，，，即，在和中，，；【小问2详解】证明：，，，，．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定、等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．19.如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）．（1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640的羊圈？（2）羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．【答案】（1）当羊圈的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为的羊圈；（2）不能，理由见解析．【解析】【分析】（1）设矩形的边，则边，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解；（2）同（1）的方法建立方程，根据方程无实根即可求解．【小问1详解】解：设矩形的边，则边．根据题意，得．化简，得．解得，．当时，；当时，．答：当羊圈的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为的羊圈．【小问2详解】解：不能，理由如下：由题意，得．化简，得．∵，∴一元二次方程没有实数根．∴羊圈的面积不能达到．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程，解一元二次方程是解题的关键．20.“节能环保，绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜欢骑自行车出行，也给自行车商家带来商机．某自行车行经营的A型自行车去年销售总额为8万元．今年该型自行车每辆售价预计比去年降低200元．若该型车的销售数量与去年相同，那么今年的销售总额将比去年减少10%，求：（1）A型自行车去年每辆售价多少元；（2）该车行今年计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍．已知，A型车和B型车的进货价格分别为1500元和1800元，计划B型车销售价格为2400元，应如何组织进货才能使这批自行车销售获利最多．【答案】（1）2000元；（2）A型车20辆，B型车40辆【解析】【分析】（1）设去年A型车每辆售价x元，则今年售价每辆为（x﹣200）元，由卖出的数量相同列出方程求解即可；（2）设今年新进A型车a辆，则B型车（60﹣a）辆，获利y元，由条件表示出y与a之间的关系式，由a的取值范围就可以求出y的最大值．【详解】解：（1）设去年A型车每辆售价x元，则今年售价每辆为（x﹣200）元，由题意，得：，解得：x=2000．经检验，x=2000是原方程的根．答：去年A型车每辆售价2000元；（2）设今年新进A型车a辆，则B型车（60-a）辆，获利y元，由题意，得y=（2000-1500-200）a+（2400-1800）（60-a），y=－300a+36000．∵B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，∴60-a≤2a，∴a≥20．∵y=－300a+36000．∴k=－300＜0，∴y随a的增大而减小．∴a=20时，y最大=30000元．∴B型车的数量为：60-20=40辆．∴当新进A型车20辆，B型车40辆时，这批车获利最大．【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是根据题意列出相应的方程．21.是等边三角形，点是射线上的一点（不与点，重合），连接，在的左侧作等边三角形，将线段绕点逆时针旋转，得到线段,连接．交于点．（1）如图1，当点为中点时，请直接写出线段与的数量关系；（2）如图2．当点在线段的延长线上时，请判断（）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；（3）当，时，请直接写出长．【答案】（1）；（2）仍然成立，理由见解析；（3）或．【解析】【分析】（1）可证得，进一步利用等腰三角形的三线合一得出结果；（2）连接、，可证明，从而，，进而得出，从而得出，从而，结合得出四边形是平行四边形，从而得出；（3）分为两种情形∶当点在的延长线上时，作于，可得出，，从而，进而得出，进一步得出结果；当点在上时，作于，可得出，，进一步得出结果．【小问1详解】解∶∵是等边三角形，点是的中点，∴，，∴，∵是等边三角形，∴，，∴，∴，∴；【小问2详解】解：如图，仍然成立，理由如下∶连接、，

∵和是等边三角形，∴，，，∴，∴，∴，∴，，∴，∴，∴，∵，∴，∴四边形是平行四边形，∴；【小问3详解】解：如图，当点在延长线上时，作⟂于，∵，∴，，∴，∴．由（）知∶，∴，∴，∴，∴，如图