（寒假）新高考数学一轮复习考点精讲+随堂检测03指对幂函数（教师版）

第第页第03课指对幂函数考点01：指数幂的运算【例1】（多选）下列判断正确的有（

）A． B．（其中）C． D．（其中，）【答案】BCD【分析】根据根式的性质判断A，根据分数指数幂的运算性质判断B，C，D.【详解】对于选项A，，A错误；对于选项B，因为，所以，B正确；对于选项C，，C正确；对于选项D，因为，，所以，D正确；故选：BCD.【变式1】计算：(1)；(2)已知：，求的值.【答案】(1)；(2)【分析】（1）利用指数幂的运算性质可求得所求代数式的值；（2）在等式两边平方可得出，再利用平方关系可求得，代入计算可得出的值.【详解】（1）解：原式.（2）解：因为，则，所以，，所以，，可得，，因此，.考点02：对数的运算【例2】已知，，则（

）A． B． C．25 D．5【答案】A【分析】由指对互换，表示出，代入原式即可.【详解】由，.故选：A.【变式3】（多选）已知，，则（

）A．B．C．D．【答案】ACD【详解】对A：，A正确；对B：，B错误；对C：，C正确；对D：，D正确.故选：ACD.考点03：指对幂函数的定义【例3】幂函数是偶函数，且在上为增函数，则函数解析式为_________．【答案】或【分析】根据幂函数的定义和性质得到关于的不等式组，解得即可求出的值.【详解】是幂函数，也是偶函数，且在上为增函数，且为偶数，解得或，当时，，当时，.故答案为：或【变式3】已知幂函数，其图像与坐标轴无交点，则实数m的值为__________．【答案】【分析】根据幂函数定义，由求得m，再根据函数图象与坐标轴无交点确定即可.【详解】由幂函数知，得或.当时，图象与坐标轴有交点，当时，与坐标轴无交点，∴.故答案为:考点04：定义域和值域【例4】下列函数中，定义域和值域不相同的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据一次函数、反比例函数、幂函数和分段函数的性质，逐个选项进行判断即可得到答案.【详解】对于A：函数的定义域为，值域也为，不符合题意；对于B：函数的定义域和值域都为，不符合题意；对于C：的定义域和值域都为，不符合题意；对于D：的定义域为；当时，；当时，；所以值域为，定义域和值域不相同，符合题意；故选：D．【变式4】已知函数的值域是，则实数m的取值范围是______．【答案】．【分析】分别求出和时的取值范围，然后由值域可得集合的关系，从而得参数范围．【详解】时，且，即，因此时，的取值范围应包含，又时，，所以．故答案为：．【变式5】已知函数，，则其值域为_______．【答案】【分析】令，将问题转化为求二次函数在区间上的值域问题，结合二次函数单调性，即可求解.【详解】令，∵，∴，∴，，又关于对称，开口向上，所以在上单调递减，在上单调递增，且，时，函数取得最小值，即，时，函数取得最大值，即，.考点05：图象的问题【例5】已知，且，则函数与的图象只可能是（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据对数函数的性质结合条件分析即得.【详解】当时，函数为增函数，且直线与y轴的交点的纵坐标大于1；当时，函数为减函数，且直线与y轴的交点的纵坐标在0到1之间，只有C符合，故选：C．【变式6】已知函数的大致图象如下图，则幂函数在第一象限的图象可能是（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据对数函数的图象，求得参数范围；再根据幂函数的图象，即可容易判断.【详解】由的图象可知，，所以，得，，所以，所以幂函数在第一象限的图象可能为.故选：B.考点06：定点问题【例6】（多选）下列函数的图象过定点的有（

）A．B．C．D．【答案】AD【分析】在每个选项中令，计算函数值，即可判断答案.【详解】根据题意，在每个选项中令，选项A中，，故函数图象过点，A正确.选项B中，，故函数图象不过定点，B错误.选项C中，，，故，故图象不过定点，C错误.选项D中，，故函数图象过点，D正确.故选：AD.【变式7】已知函数且的图象恒过定点，点在幂函数的图象上，则（

）A． B．2 C．1 D．【答案】B【详解】函数中，令，解得，此时，所以函数y的图象恒过定点，又点P在幂函数的图象上，所以，解得，所以，.故选：B.【变式8】函数的图象恒过定点A，若点A在直线上，其中，则的最小值为_________．【答案】【分析】根据指数函数图象的特点，求出点顶点，得到，再由，利用基本不等式即可求解.【详解】令，可得，此时，所以函数图象恒过定点，因为点A在直线上，所以，所以，所以，当且仅当，即时等号成立.综上，的最小值为.故答案为：.考点07：比较大小【例7】设，，，则，，的大小关系是（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据指数幂以及对数的运算性质，可得，，进而根据指数函数以及对数函数的性质，即可得出答案.【详解】因为，，所以，.故选：A.【变式9】设，，，则（

）A．B．C．D．【答案】A【详解】由题知，，，，所以.故选：A.【变式10】已知，，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】易知，，，而，故，又因为，，故，即，所以，故选：D.考点08：解不等式【例8】函数，，则的定义域是_________．【答案】【详解】的定义域需要满足，解得，故的定义域为，故答案为：考点09：已知单调性求参数【例9】已知在上单调递减，则的取值范围是__________．【答案】【分析】利用函数的单调性的性质，求得的范围，即得所求．【详解】若函数在上是单调减函数，则，解得，即，故答案为：．【变式11】若函数在上是减函数，则实数a的取值范围是__________.【答案】【分析】根据函数的单调性结合对数函数的定义域可直接列式求解.【详解】令，则在上单调递增，若在上是减函数，则在上是减函数且恒大于0，从而有，解得.故答案为：.【变式12】已知函数（且）在区间上单调递减，则实数a的取值范围是___________.【答案】或.【分析】将复合函数看做，，然后分和两种情况讨论内外函数的单调性，根据单调性列不等式求解即可.【详解】复合函数可以看做，，当时，外函数单调递增，所以内函数在上单调递减，则，解得；当时，外函数单调递减，所以内函数在上单调递增，则，解得；综上所述，或.故答案为：或.考点10：函数的实际应用【例10】企业在生产中产生的废气要经过净化处理后才可排放，某企业在净化处理废气的过程中污染物含量P（单位：）与时间t（单位：h）间的关系为（其中，k是正的常数）．如果在前10h消除了20%的污染物，则20h后废气中污染物的含量是未处理前的（

）A．40% B．50% C．64% D．81%【答案】C【分析】由，得污染物含量的初始值为，根据得，得，代入，即可求出答案.【详解】当时，；当时，，即，得，所以；当时，.故选：C【变式13】基本再生数与世代间隔是新冠肺炎的流行病学基本参数，基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：（其中是自然对数的底数）描述累计感染病例数随时间（单位：天）的变化规律，指数增长率与，近似满足.有学者基于已有数据估计出，，据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加倍需要的时间约为（

）（参考数据：，）A．天 B．天 C．天 D．天【答案】B【分析】根据所给模型求得，令，求得，根据条件可得方程，然后解出即可．【详解】把，代入，可得，，当时，，则，两边取对数得，解得．故选：B.【变式14】现代研究结果显示，饮茶温度最好不要超过．一杯茶泡好后置于室内，分钟、分钟后测得这杯茶的温度分别为、，给出三个茶温（单位：）关于茶泡好后置于室内时间（单位：分钟）的函数模型：①；②；③．根据生活常识，从这三个函数模型中选择一个，模拟茶温（单位：）关于茶泡好后置于室内时间（单位：分钟）的关系，并依此计算该杯茶泡好后到饮用至少需要等待的时间为（

）（参考数据：，）A．分钟 B．分钟 C．分钟 D．分钟【答案】C【详解】根据生活常识，茶温一般不低于室温，若选择模型①或模型②，茶温在一定时间后会低于室温，不合乎题意，故选择模型③较为合适，则，解得，此时，由可得.故选：C.指对幂函数随堂检测1.若的图像如图，（，是常数），则（

）

A．，B．，C．，D．，【答案】D【分析】根据指数函数的性质得到，，即可求出的取值范围.【详解】由图可知函数在定义域上单调递减，所以，则，所以在定义域上单调递增，又，即，所以.故选：D2．（多选）下列运算正确的是（

）A． B．C．若，则 D．若，则【答案】BCD【分析】根据对数的运算性质可判断A，C；根据根式和分数指数幂的运算判断B；根据指数式和对数式的互化以及对数运算可判断D.【详解】对于A，，A错误；对于B，，B正确；对于C，若，则，故，C正确；对于D，若，则，则，D正确，故选：BCD3．已知函数（且）的图像过定点，且角的终边过点，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：由题意在中，且，当时，，∴过定点，∵角的终边过点∴由三角函数的定义可得，，，∴，故选：A4．幂函数在区间上单调递减，则下列说法正确的是（

）A． B．是减函数C．是奇函数 D．是偶函数【答案】C【分析】根据幂函数的定义及单调性可判断AB，再由奇函数的定义判断CD.【详解】函数为幂函数，则，解得或.当时，在区间上单调递增，不满足条件，排除A；当时，在区间上单调递减，满足题意.函数在和上单调递减，但不是减函数，排除B；因为函数定义域关于原点对称，且，所以函数是奇函数，不是偶函数，故C正确，D错误.故选：C.5．（多选）已知函数,下列说法正确的是(

)A．若定义域为R,则 B．若值域为R,则C．若最小值为0,则 D．若最大值为2,则【答案】BCD【分析】根据对数函数的单调性以及二次函数的性质逐项分析计算即可.【详解】对于A，若函数定义域为R,则恒成立,当时,恒成立,满足题意,当时,则有,解得,所以实数的取值范围为,故选项A错误；对于B，若函数值域为R,则能取尽大于零的所有实数，当时,,不满足题意，当时,则有,解得，所以若值域为R,则,故选项B正确；对于C，若函数最小值为0,则有最小值1，由二次函数的图象和性质得,解得,故选项C正确;对于D，若函数最大值为2,则有最大值4,由二次函数的图象和性质得,解得,故选项D正确.故选:BCD.6．已知集合