（寒假）新高考数学一轮复习考点精讲+随堂检测12双曲线方程及其性质（教师版）

资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】第第页资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】第12课双曲线方程及其性质考点01双曲线的定义及标准方程【例1】设是双曲线左支上的动点，分别为左右焦点，则（

）A．B．C．4D．【答案】A【分析】利用双曲线的方程的特点和双曲线的定义即可求解.【详解】由，得解得．因为是双曲线左支上的动点，所以.由双曲线的定义可知．故选：A.【变式1-1】如果双曲线上一点到它的右焦点的距离是，那么点到它的左焦点的距离是（

）A．B．C．或D．不确定【答案】C【分析】根据双曲线的定义即可求得答案.【详解】设双曲线的左、右焦点为，则；则，由双曲线定义可得，即，所以或，由于，故点到它的左焦点的距离是或，故选：C【变式1-2】已知点，动点满足，则动点的轨迹方程为（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】由双曲线的定义可知，动点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支，利用待定系数法求轨迹方程.【详解】，，又动点满足，动点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支，设双曲线方程为，则有，动点的轨迹方程为．故选：A．考点02根据方程表示圆、椭圆、双曲线求参数【例2】已知方程表示的焦点在y轴的双曲线，则m的取值范围是（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】先化为双曲线的标准方程，再建立不等式求解即可.【详解】方程可化为：，由方程表示的焦点在y轴的双曲线，得，解得.故选：C.【变式2-1】“”是“表示双曲线”的（

）．A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据方程表示双曲线以及充分、必要条件等知识确定正确答案.【详解】当，即或时，表示双曲线，所以“”是“表示双曲线”的充分不必要条件．故选：B【变式2-2】（多选）已知方程表示的曲线为C，则下列四个结论中正确的是（

）A．当时，曲线C是椭圆B．当或时，曲线C是双曲线C．若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则D．若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则【答案】BCD【分析】根据给定条件，利用椭圆、双曲线方程的特征逐项判断作答.【详解】对于A，当时，，则曲线是圆，A错误；对于B，当或时，，曲线是双曲线，B正确；对于C，若曲线是焦点在轴上的椭圆，则，解得，C正确；对于D，若曲线是焦点在轴上的双曲线，则，解得，D正确．故选：BCD考点03双曲线的焦点三角形问题【例3】已知双曲线的左焦点为为坐标原点，右焦点为，点为双曲线右支上的一点，且的周长为为线段的中点，则（

）A．1B．2C．3D．4【答案】B【分析】根据右焦点为，得到，进而得到，再根据的周长为得到，然后利用三角形中位线求解.【详解】解：因为右焦点为，所以，又因为，则，又因为，则，所以为坐标原点，且为线段的中点，所以，故选：B【变式3-1】设，是双曲线的左､右焦点，过的直线交双曲线的左支于，两点，若直线为双曲线的一条渐近线，，则的值为（

）A．11B．12C．14D．16【答案】C【分析】根据双曲线的标准方程可得,再由双曲线的定义可得，得到,再根据得到答案.【详解】根据双曲线的标准方程，得,由直线为双曲线的一条渐近线，得,解得,得.由双曲线的定义可得①，②，①②可得,因为过双曲线的左焦点的直线交双曲线的左支于,两点,所以,得.故选：C.

【变式3-2】已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的右支相交于A，B两点，，且的周长为10，则双曲线C的焦距为．【答案】【分析】根据双曲线的定义，解得，然后根据的周长为10，解得各边长，最后根据余弦定理求解即可；【详解】

设，，，根据双曲线的定义可知：，可得，有，解得，在和中，由余弦定理有，解得，可得双曲线的焦距为．故答案为：.考点04双曲线的简单几何性质【例4】已知双曲线与，下列说法正确的是（）A．两个双曲线有公共顶点B．两个双曲线有公共焦点C．两个双曲线有公共渐近线D．两个双曲线的离心率相等【答案】C【分析】根据双曲线方程可得答案.【详解】双曲线的焦点和顶点都在x轴上，而双曲线的焦点和顶点都在y轴上，故A、B错误；双曲线的渐近线方程为，双曲线的渐近线方程为，故C正确；双曲线的离心率，而双曲线的离心率，故D错误.故选：C.【变式4-1】已知离心率为的双曲线C：的左、右焦点分别为，M是双曲线C的一条渐近线上的点，且，O为坐标原点，若，则双曲线的实轴长是（

）A．32B．16C．84D．4【答案】B【分析】根据，求出，，再根据以及求出即可得解.【详解】由题意知，不妨令点在渐近线上，由题意可知，所以，由，可得，即，又，，所以，所以双曲线C的实轴长为16.故选：B．【变式4-2】已知双曲线的离心率为，虚轴长为4，则的方程为（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】曲线方程化为标准方程为，再根据已知列出方程组求出即得解.【详解】曲线方程化为标准方程为，则依题意可得解得.所以的方程为.故选：D．考点05求双曲线离心率【例5】已知双曲线的右焦点为，过点的直线与双曲线的右支交于，两点，且，点关于原点的对称点为点，若，则双曲线的离心率为（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】由双曲线的性质可得四边形为矩形，然后结合双曲线的定义及的勾股定理可得，，再由的勾股定理即可求得结果.【详解】设双曲线的左焦点为，连接，，，如图所示，

又因为，所以，所以四边形为矩形，设，则，由双曲线的定义可得：，，又因为为直角三角形，所以，即，解得，所以，，又因为为直角三角形，，所以，即：，所以，即.故选：D.【变式5-1】已知双曲线（，），直线的斜率为，且过点，直线与轴交于点，点在的右支上，且满足，则的离心率为（

）A．B．2C．D．【答案】D【分析】首先写出直线点斜式方程并求出点，由向量线性运算的坐标表示可以求出，将其代入双曲线方程即可求解.【详解】由题意知直线的方程为，令，得，所以．又因为，不妨设，所以有，解得，所以，将其代入双曲线方程，化简得，解得或（舍去），所以的离心率．故选：D.【变式5-2】设，是双曲线C：的左、右焦点，过的直线与C的左、右两支分别交于A，B两点，点M在x轴上，，平分，则C的离心率为（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】由题意，结合双曲线的定义以及角平分线定理可得，，，，，，在，中，由余弦定理结合，计算可得答案.【详解】

可知，，得，设，则，由双曲线的定义可知：.因为平分，所以，故，又，即有，，，，，在，中，由余弦定理可得，，，由，可得.故选：C.考点06求双曲线离心率的取值范围【例6】已知点F是双曲线（）的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据双曲线的对称性结合题意可得为等腰三角形，由此可得，进而得到关于的齐次式，即可求解离心率.【详解】由题意可知即为等腰三角形，

故是锐角三角形，只需，将代入可得，故在中，，，则，化简整理，得，∴，∴，又，∴，故选：B.【变式6-1】已知双曲线的左、右焦-1点分别为，，若在上存在点不是顶点，使得，则的离心率的取值范围为（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】由题意判断P点在双曲线右支上，推出，可得，从而利用在中求出，再结合三角形内角和推出，继而推出，由此可得答案.【详解】设与y轴交于Q点，连接，则，

因为，故P点在双曲线右支上，且，故，而，故，在中，，即，故，由，且三角形内角和为，故，则，即，即，所以的离心率的取值范围为，故选：A【变式6-2】已知双曲线为左焦点，分别为左､左顶点，为右支上的点，且（为坐标原点）.若直线与以线段为直径的圆相交，则的离心率的取值范围为（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】由题意可推出，设，由勾股定理可得，结合直线与以线段为直径的圆相交可得，由此结合的根的分布，列不等式即可求得答案.【详解】设双曲线的右焦点为，则，则，

为右支上的点，取的中点为B，连接，则，设，则，则，在中，，即，又直线与以线段为直径的圆相交，故，设，则，则需使，解得，即双曲线离心率的范围为，即的离心率的取值范围为，故选：D考点07双曲线的渐近线【例7】已知双曲线C：的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点，则C的方程为（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】由题意可得，结合渐近线方程列式求，进而可得结果.【详解】设双曲线C的半焦距为，由椭圆可得，由题意可得，解得，所以双曲线C：，即.故选：D.【变式7-1】过双曲线的左焦点F作C的其中一条渐近线的垂线l，垂足为M，l与C的另一条渐近线交于点N，且，则C的渐近线方程为（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据题意及图形可求出渐进线的倾斜角，即可得答案.【详解】如图，设双曲线右焦点为，OM，ON为双曲线的两条渐进线.由题意可知，，又，则M为FN中点，则为等腰三角形，则，又，则.所以双曲线的渐进线方程为：.故选：B

【变式7-2】已知，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线分别交双曲线左、右两支于A，B两点，点C在x轴上，，平分，则双曲线的渐近线方程为（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据共线向量的性质、角平分线的性质，结合双曲线的定义、余弦定理、双曲线的渐近线方程进行求解即可.【详解】因为，所以∽．设，则，设，则，．因为平分，由角平分线定理可知，，所以，所以．由双曲线定义知，即，解得．又由，得，所以，即是等腰三角形．由余弦定理知，即，化简得，所以，则双曲线的渐近线方程为．

故选：D【点睛】关键点睛：解决本题的关键是利用角平分线性质和共线向量的性质.考点08双曲线的弦长问题【例8】已知双曲线C：的渐近线方程为，左、右焦点分别为，，过点且斜率为的直线l交双曲线的右支于M，N两点，若的周长为36，则双曲线C的方程为（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】由题意可得，则直线为，代入双曲线方程中，利用弦长公式求出，再由双曲线的定义和的周长为36，可求出，从而可求出双曲线的方程.【详解】因为双曲线的渐近线方程为，所以，则双曲线方程为，，，所以直线为，设，由，得，则，所以，因为，，所以，因为的周长为36，所以，所以，得，所以双曲线方程为，故选：D【变式8-1】设动点与点之间的距离和点到直线的距离的比值为，记点的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程；(2)若为坐标原点，直线交曲线于两点，求的面积.【答案】(1)；(2)【分析】（1）根据题意，结合距离公式列出方程，整理即可得到曲线的方程；（2）联立方程组，设，利用弦长公式和点到直线的距离公式，结合三角形的面积公式，即可求解.【详解】（1）解：由动点与点之间的距离和到直线：的距离的比值为，可得，整理得，即曲线的方程为.（2）解：联立方程组，整理得，设，，可得，，所以，又由点到直线的距离，所以的面积.考点9双曲线的中点弦问题【例9】已知双曲线C：，若双曲线C的一条弦的中点为，则这条弦所在直线的斜率为（

）A．B．C．1D．【答案】D【分析】运用点差法，结合一元二次方程根与系数的关系进行求解判断即可.【详解】设该弦为，设，则有，两式相减，得，因为双曲线C的一条弦的中点为，所以，因此由，即这条弦所在直线的斜率为，方程为，代入双曲线方程中，得，因为，所以该弦存在，故选：D【变式9-1】已知双曲线的中心在原点，且它的一个焦点为，直线与其相交于、两点，线段中点的横坐标为，求此双曲线的方程．【答案】【分析】设双曲线的方程为，利用点差法求出的关系，再结合，求出，即可得解.【详解】设双曲线的方程为，由题意可得，设，，由直线与其相交于、两点，线段中点的横坐标为，得的中点为，则，由且，两式相减得，则，即，所以，联立，解得，，故所求双曲线的方程为．考点10直线与双曲线的综合问题【例10】已知点，，动点满足直线与的斜率之积为，记动点的轨迹为曲线．(1)求曲线的方程；(2)过点的直线与曲线交于两点，直线与相交于．求证：点在定直线上．【答案】(1)；(2)证明见解析【分析】（1）利用可整理得到轨迹方程；（2）设，，表示出直线的方程，联立后可整理得到，联立与双曲线方程可得韦达定理的结论，利用可整理得到所求定直线.【详解】（1），，，整理可得：，又，曲线的方程为：.（2）

由题意知：直线斜率不为，则可设，设，则直线，直线，由得：，由得：，则，即，，，，，解得：，即点在定直线上.【变式10-1】如图，已知点和点在双曲线上，双曲线的左顶点为，过点且不与轴重合的直线与双曲线交于，两点，直线，与圆分别交于，两点.

(1)求双曲线的标准方程；(2)设直线，的斜率分别为，，求的值；(3)证明：直线过定点.【答案】(1)；(2)；(3)直线过定点,证明见解析.【分析】（1）根据双曲线上的点求标准方程；（2）利用韦达定理运算求解即可；（3）利用联立方程组，结合韦达定理求得的坐标，猜想过定点，并用三点共线与斜率的关系证明求解.【详解】（1）因为点和点在双曲线上，所以，解得，所以双曲线的标准方程为.（2）由题可知，直线的斜率不等于零，故可设直线的方程为，设，联立，整理得，若，即，直线的斜率为，与渐近线平行，此时直线与双曲线有且仅有一个交点，不满足题意，所以，所以，，因为,所以，所以.（3）（i）当轴时，且，所以，则，联立，整理得，即，解得或，当时，，所以，由于对称性，，此时直线过定点；（ii）当不垂直于轴时，以下证明直线仍过定点设为，因为，所以联立，即，所以，解得或，当时，，所以,同理，将上述过程中替换为可得，所以，，因为，所以，所以，所以三点共线，即此时直线恒过定点，综上直线过定点.双曲线方程及其性质随堂检测1.已知双曲线与双曲线，则两双曲线的（

）A．实轴长相等 B．虚轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等【答案】D【分析】通过的范围，结合曲线，求解焦距，实半轴长，虚半轴长，判断选项即可．【详解】的实半轴的长为5，虚半轴的长为3，实数满足，曲线是双曲线，实半轴的长为，虚半轴的长为，显然两条曲线的实轴的长与虚轴的长不相等，所以A、B均不正确；焦距为：，焦距相等，所以D正确；离心率为：和，不相等，所以C不正确．故选：D．2.（多选）若方程所表示的曲线为，则下面四个说法中正确的是（

）A．若，则为椭圆B．若为椭圆，且焦点在轴上，则C．曲线可能是圆D．若为双曲线，则【答案】BC【分析】根据椭圆，圆，双曲线方程的特征，列不等式求解，即可判断选项.【详解】方程所表示的曲线为.A.当，取时，方程为，表示圆，错误；B.若为椭圆，且焦点在y轴上，则，即，所以B正确；C.时，方程为，表示圆，所以C正确；.若为双曲线，可得，解得或，所以D错误.故选：BC3.双曲线C：的右顶点为，点均在C上，且关于y轴对称.若直线AM，AN的斜率之积为，则的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据已知条件列方程，化简求得，进而求得双曲线的离心率.【详解】依题意，设，则，且，而，，，所以.故选：A4.已知点，，动点P满足，当点P的纵坐标是时，额点P到坐标原点的距离为．【答案】【分析】首先求动点的轨迹方程，再求点的坐标，即可求的值.【详解】由题意可知，点的轨迹是以为焦点的双曲线的左支，其中，，，则动点的轨迹方程是