2025年高考数学复习之小题狂练600题（选择题）：相等关系与不等关系（10题）

第1页（共1页）2025年高考数学复习之小题狂练600题（选择题）：相等关系与不等关系（10题）一．选择题（共10小题）1．（2024•浙江模拟）已知实数x，y满足x＞3，且xy+2x﹣3y＝12，则x+y的最小值为（）A．1+26 B．8 C．62 D2．（2024•门头沟区一模）设a＞0，b＞0，则“lg（a+b）＞0”是“lg（ab）＞0”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件3．（2024•海淀区二模）设a，b∈R，ab≠0，且a＞b，则（）A．ba＜ab C．sin（a﹣b）＜a﹣b D．3a＞2b4．（2024•邵阳三模）已知集合M＝{x|y=lgx}，N＝{y|y＝6﹣7x}，则M∩NA．（1，6） B．[1，6） C．（1，7） D．[1，7）5．（2024•安徽三模）已知x＞0，y＞0，且2x+y＝1，则y2A．4 B．42 C．42+1 6．（2024•香坊区校级模拟）已知集合A={x|x+1x-3＞0}，B＝{x|log2x≥1}，则（∁UA．[2，3] B．（2，3） C．（﹣∞．﹣1]∪（2，+∞） D．（2，+∞）7．（2024•湖北模拟）设集合A＝{x|x2﹣3x＜0}，B＝{x|log2x＞1}，则A∩（∁RB）＝（）A．（0，2） B．（0，2] C．（1，2] D．（2，3）8．（2024•故城县校级模拟）对于实数a，b，c，下列说法正确的是（）A．若a＞b，则1aB．若a＞b，则ac2＞bc2 C．若a＞0＞b，则ab＜a2 D．若c＞a＞b，则a9．（2024•子长市校级三模）若正数x，y满足3x+1y=2，则A．4 B．6 C．8 D．1010．（2024•北京模拟）已知集合M＝{x|log2x＜2}，N＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，则M∩N＝（）A．（0，4） B．（0，2） C．（﹣1，4） D．（﹣1，2）

2025年高考数学复习之小题狂练600题（选择题）：相等关系与不等关系（10题）参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．（2024•浙江模拟）已知实数x，y满足x＞3，且xy+2x﹣3y＝12，则x+y的最小值为（）A．1+26 B．8 C．62 D【考点】基本不等式及其应用．【专题】转化思想；转化法；不等式的解法及应用；数学运算．【答案】A【分析】根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解．【解答】解：xy+2x﹣3y﹣6＝（x﹣3）（y+2），则（x﹣3）（y+2）＝6，故x＞3，y＞﹣2，故x+y＝x﹣3+y+2+1≥2(x-3)(y-2)+1=2故选：A．【点评】本题主要考查基本不等式的公式，属于基础题．2．（2024•门头沟区一模）设a＞0，b＞0，则“lg（a+b）＞0”是“lg（ab）＞0”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】指、对数不等式的解法；对数的运算性质；充分条件与必要条件．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；简易逻辑；逻辑推理；数学运算．【答案】B【分析】利用特殊值法，和对数函数的性质与逻辑关系进行判断选项．【解答】解：若a＞0，b＞0，由lg（a+b）＞0，取a=3，b=13，但是lg（而lg（ab）＞0，则ab＞1，又a＞0，b＞0，则a，b中至少有一个大于1，若都小于等于1，根据不等式的性质可知，乘积也小于等于1，与乘积大于1矛盾，则a+b＞1，故lg（a+b）＞0，所以lg（a+b）＞0是lg（ab）＞0的必要而不充分条件．故选：B．【点评】本题主要考查了充分条件和必要条件的定义，考查了对数函数的性质，属于基础题．3．（2024•海淀区二模）设a，b∈R，ab≠0，且a＞b，则（）A．ba＜ab C．sin（a﹣b）＜a﹣b D．3a＞2b【考点】等式与不等式的性质；不等关系与不等式．【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；数学抽象．【答案】C【分析】结合不等式性质检验选项A，结合基本不等式检验选项B，结合函数单调性检验选项C；举出反例检验选项D．【解答】解：因为a＞b，ab≠0，当a＝1，b＝﹣1时，A显然错误；|ba+ab|＝|ba|+|ab|≥2|ab⋅b令f（x）＝x﹣sinx，x＞0，则f′（x）＝1﹣cosx≥0，即f（x）在（0，+∞）上单调递增，所以f（x）＞f（0）＝0，故x＞sinx，所以a﹣b＞sin（a﹣b），C正确；当a＝﹣2，b＝﹣3时，D显然错误．故选：C．【点评】本题主要考查了基本不等式及不等式性质，函数单调性在函数值大小比较中的应用，属于中档题．4．（2024•邵阳三模）已知集合M＝{x|y=lgx}，N＝{y|y＝6﹣7x}，则M∩NA．（1，6） B．[1，6） C．（1，7） D．[1，7）【考点】指、对数不等式的解法；指数函数的值域；交集及其运算．【专题】整体思想；定义法；集合；数学抽象．【答案】B【分析】先分别求出集合M，N，然后结合集合的交集运算即可求解．【解答】解：集合M＝{x|y=lgx}＝{x|x≥1}，N＝{y|y＝6﹣7x}＝{y|y＜6}则M∩N＝[1，6）．故选：B．【点评】本题主要考查了集合交集运算，属于基础题．5．（2024•安徽三模）已知x＞0，y＞0，且2x+y＝1，则y2A．4 B．42 C．42+1 【考点】运用基本不等式求最值．【专题】转化思想；综合法；不等式；数学运算．【答案】D【分析】根据条件可得出y2【解答】解：∵x＞0，y＞0，且2x+y＝1，∴y2+xxy=y∴y2+xxy故选：D．【点评】本题考查了“1的代换”，基本不等式求最值的方法，是基础题．6．（2024•香坊区校级模拟）已知集合A={x|x+1x-3＞0}，B＝{x|log2x≥1}，则（∁UA．[2，3] B．（2，3） C．（﹣∞．﹣1]∪（2，+∞） D．（2，+∞）【考点】交、并、补集的混合运算；指、对数不等式的解法；其他不等式的解法．【专题】转化思想；转化法；集合；数学运算．【答案】A【分析】先求出集合A，B，再结合交集、补集的运算，即可求解．【解答】解：集合A={x|x+1x-3＞0}={x|x＞3或则∁UA＝{x|﹣1≤x≤3}，B＝{x|log2x≥1}＝{x|x≥2}，故（∁UA）∩B＝[2，3]．故选：A．【点评】本题主要考查集合的运算，属于基础题．7．（2024•湖北模拟）设集合A＝{x|x2﹣3x＜0}，B＝{x|log2x＞1}，则A∩（∁RB）＝（）A．（0，2） B．（0，2] C．（1，2] D．（2，3）【考点】交、并、补集的混合运算；指、对数不等式的解法；一元二次不等式及其应用．【专题】转化思想；转化法；集合；数学运算．【答案】B【分析】根据已知条件，结合集合的运算，即可求解．【解答】解：集合A＝{x|x2﹣3x＜0}＝{x|0＜x＜3}，B＝{x|log2x＞1}＝{x|x＞2}，则∁RB＝{x|x≤2}，故A∩（∁RB）＝（0，2]．故选：B．【点评】本题主要考查集合的运算，属于基础题．8．（2024•故城县校级模拟）对于实数a，b，c，下列说法正确的是（）A．若a＞b，则1aB．若a＞b，则ac2＞bc2 C．若a＞0＞b，则ab＜a2 D．若c＞a＞b，则a【考点】不等关系与不等式；等式与不等式的性质．【专题】计算题；转化思想；综合法；不等式的解法及应用；数学运算．【答案】C【分析】根据不等式的基本性质及恰当的特殊值可逐一判断．【解答】解：对于A选项，若a＝0或b＝0，1a或1b显然无意义．故对于B选项，若c＝0，则ac2＝bc2．故B选项错误；对于C选项，因为a＞0＞b，所以各项同时乘以a得a2＞0＞ab．故C正确；对于D选项，因为c＞a＞b，所以﹣c＜﹣a＜﹣b，所以0＜c﹣a＜c﹣b，所以0＜c-a(c-a)(c-b)＜c-b(c-a)(c-b)，即所以无法满足同向可乘性的条件．故D错误．故选：C．【点评】本题考查了不等式的基本性质，是基础题．9．（2024•子长市校级三模）若正数x，y满足3x+1y=2，则A．4 B．6 C．8 D．10【考点】基本不等式及其应用．【专题】整体思想；综合法；不等式的解法及应用；数学运算．【答案】C【分析】由已知利用乘1法，结合基本不等式即可求解．【解答】解：因为正数x，y满足3x则3x+y=12（3x+y）（3x+1y）=1当且仅当x＝y＝2时取等号．故选：C．【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．10．（2024•北京模拟）已知集合M＝{x|log2x＜2}，N＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，则M∩N＝（）A．（0，4） B．（0，2） C．（﹣1，4） D．（﹣1，2）【考点】指、对数不等式的解法；交集及其运算．【专题】集合思想；定义法；集合；数学运算．【答案】B【分析】分别解不等式可得集合M与N，进而可得M∩N．【解答】解：∵M＝{x|log2x＜2}＝（0，4），N＝{x|x2﹣x﹣2＜0}＝（﹣1，2），∴M∩N＝（0，2）．故选：B．【点评】本题考查交集及其运算，考查不等式的解法，是基础题．

考点卡片1．交集及其运算【知识点的认识】由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的交集，记作A∩B．符号语言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．A∩B实际理解为：x是A且是B中的相同的所有元素．当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集．运算性质：①A∩B＝B∩A．②A∩∅＝∅．③A∩A＝A．④A∩B⊆A，A∩B⊆B．⑤A∩B＝A⇔A⊆B．⑥A∩B＝∅，两个集合没有相同元素．⑦A∩（∁UA）＝∅．⑧∁U（A∩B）＝（∁UA）∪（∁UB）．【解题方法点拨】解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩图．【命题方向】掌握交集的表示法，会求两个集合的交集．命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函数的定义域，值域，函数的单调性、复合函数的单调性等联合命题．2．交、并、补集的混合运算【知识点的认识】集合交换律A∩B＝B∩A，A∪B＝B∪A．集合结合律（A∩B）∩C＝A∩（B∩C），（A∪B）∪C＝A∪（B∪C）．集合分配律A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C），A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）．集合的摩根律∁U（A∩B）＝∁UA∪∁UB，∁U（A∪B）＝∁UA∩∁UB．集合吸收律A∪（A∩B）＝A，A∩（A∪B）＝A．集合求补律A∪∁UA＝U，A∩∁UA＝∅．【解题方法点拨】直接利用交集、并集、全集、补集的定义或运算性质，借助数轴或韦恩图直接解答．【命题方向】理解交集、并集、补集的混合运算，每年高考一般都是单独命题，一道选择题或填空题，属于基础题．3．充分条件与必要条件【知识点的认识】1、判断：当命题“若p则q”为真时，可表示为p⇒q，称p为q的充分条件，q是p的必要条件．事实上，与“p⇒q”等价的逆否命题是“￢q⇒￢p”．它的意义是：若q不成立，则p一定不成立．这就是说，q对于p是必不可少的，所以说q是p的必要条件．例如：p：x＞2；q：x＞0．显然x∈p，则x∈q．等价于x∉q，则x∉p一定成立．2、充要条件：如果既有“p⇒q”，又有“q⇒p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“p⇔q”．p与q互为充要条件．【解题方法点拨】充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的既不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．【命题方向】充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广．4．等式与不等式的性质【知识点的认识】1．不等式的基本性质（1）对于任意两个实数a，b，有且只有以下三种情况之一成立：①a＞b⇔a﹣b＞0；②a＜b⇔a﹣b＜0；③a＝b⇔a﹣b＝0．（2）不等式的基本性质①对称性：a＞b⇔b＜a；②传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c；③可加性：a＞b⇒a+c＞b+c．④同向可加性：a＞b，c＞d⇒a+c＞b+d；⑤可积性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc；⑥同向整数可乘性：a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd；⑦平方法则：a＞b＞0⇒an＞bn（n∈N，且n＞1）；⑧开方法则：a＞b＞0⇒na＞nb（n∈N，且5．不等关系与不等式【知识点的认识】不等关系就是不相等的关系，如2和3不相等，是相对于相等关系来说的，比如42与84就是相等关系．而不等式就包含两层意思，第一层包含了不相等的关系，第二层也就意味着它是个式子，比方说a＞b，a﹣b＞不等式定理①对任意的a，b，有a＞b⇔a﹣b＞0；a＝b⇒a﹣b＝0；a＜b⇔a﹣b＜0，这三条性质是做差比较法的依据．②如果a＞b，那么b＜a；如果a＜b，那么b＞a．③如果a＞b，且b＞c，那么a＞c；如果a＞b，那么a+c＞b+c．推论：如果a＞b，且c＞d，那么a+c＞b+d．④如果a＞b，且c＞0，那么ac＞bc；如果c＜0，那么ac＜bc．【命题方向】例1：解不等式：sinx≥1解：∵sinx≥1∴2kπ+π6≤x≤2kπ+5π6∴不等式sinx≥12的解集为{x|2kπ+π6≤x≤2kπ+5π这个题很典型，考查了不等式和三角函数的相关知识，也体现了一般不等式喜欢与函数联结的特点，这个题只要去找到满足要求的定义域即可，先找一个周期的，然后加上所以周期就是最后的解．例2：当ab＞0时，a＞b⇔1a证明：由ab＞0，知1ab＞又∵a＞b，∴a⋅1ab＞b⋅若1a＜∴a＞b．这个例题就是上面定理的一个简单应用，像这种判断型的题，如果要判断它是错的，直接举个反例即可，这种技巧在选择题上用的最广．6．基本不等式及其应用【知识点的认识】基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等于它们的算术平均数．公式为：a+b2≥ab（a≥0，b≥0），变形为ab≤（a+b2）2或者a+b实例解析例1：下列结论中，错用基本不等式做依据的是．A：a，b均为负数，则2ab+b2a≥2．B：x2+2x2解：根据均值不等式解题必须满足三个基本条件：“一正，二定、三相等”可知A、B、D均满足条件．对于C选项中sinx≠±2，不满足“相等”的条件，再者sinx可以取到负值．故选：C．A选项告诉我们正数的要求是整个式子为正数，而不是式子当中的某一个组成元素；B分子其实可以写成x2+1+1，然后除以分母就可换成基本不等式．这个例题告诉我们对于一个式子也是可以用基本不等式的，而且求最值也很方便．例2：利用基本不等式求y=xx2+2的最值？当0＜x＜解：当x＝0时，y＝0，当x≠0时，y=x用基本不等式若x＞0时，0＜y≤2若x＜0时，-24≤y综上得，可以得出-24≤∴y=xx2+2的最值是这是基本不等式在函数中的应用，他的解题思路是首先判断元素是否大于0，没有明确表示的话就需要讨论；然后把他化成基本不等式的形式，也就是化成两个元素（函数）相加，而他们的特点是相乘后为常数；最后套用基本不等式定理直接求的结果．【解题方法点拨】基本不等式的应用1、求最值例1：求下列函数的值域．2、利用基本不等式证明不等式3、基本不等式与恒成立问题4、均值定理在比较大小中的应用【命题方向】技巧一：凑项点评：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值．技巧二：凑系数例2：当0＜x＜4时，求y＝x（8﹣2x）的最大值．解析：由0＜x＜4知，8﹣2x＞0，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值．注意到2x+（8﹣2x）＝8为定值，故只需将y＝x（8﹣2x）凑上一个系数即可．y＝x（8﹣2x）=12[2x•（8﹣2x）]≤12（2x+8-2x当2x＝8﹣2x，即x＝2时取等号，当x＝2时，y＝x（8﹣x2）的最大值为8．评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值．技巧三：分离例3：求y=x解：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x+1）的项，再将其分离．y=x2+7x+10x+1=(x+1)当x＞﹣1，即x+1＞0时，y≥2(x+1)×4x+1+5＝9（当且仅当技巧四：换元对于上面例3，可先换元，令t＝x+1，化简原式在分离求最值．技巧五：结合函数f（x）＝x+a技巧六：整体代换点评：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错．技巧七：取平方点评：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造了条件．总之，我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用基本不等式．7．运用基本不等式求最值【知识点的认识】基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等于它们的算术平均数．公式为：a+b2≥ab（a≥0，b≥0），变形为ab≤（a+b2）2或者a+b【解题方法点拨】在运用均值不等式求最值时，可以将代数式分解成可以应用均值不等式的形式．例如，要求代数式x+1x的最小值，可以利用均值不等式x+1x≥2从而得出最小值为2，并且在【命题方向】均值不等式求最值的命题方向包括代数表达式的最值求解、几何图形的最优设计等．例如，求解一个代数式的最小值，或设计一个几何图形使其面积最大．这类题型要求学生能够灵活运用均值不等式进行最值求解，并能正确代入和计算．已知正数a，b满足a+b＝1，则a+1+b+1的最大值是解：因为正数a，b满足a+b＝1，所以a+1+b+1＝3，则a+1+当且仅当a＝b=1故答案为：6．8．指、对数不等式的解法【知识点的认识】不等式的解法（1）整式不等式的解法（根轴法）．步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解．特例：①一元一次不等式ax＞b解的讨论；②一元二次不等式ax2+bx+c＞0（a≠0）解的讨论．（2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则．（3）无理不等式：转化为有理不等式求解．（4）指数不等式：转化为代数不等式（5）对数不等式：转化为代数不等式（6）含绝对值不等式①应用分类讨论思想去绝对值；②应用数形思想；③应用化归思想等价转化．注：常用不等式的解法举例（x为正数）：9．其他不等式的解法【知识点的认识】指、对数不等式的解法其实最主要的就是两点，第一点是判断指、对数的单调性，第二点就是学会指数和指数，对数和对数之间的运算，下面以例题为讲解．【解题方法点拨】例1：已知函数f（x）＝ex﹣1（e是自然对数的底数）．证明：对任意的实数x，不等式f（x）≥x恒成立．解：（I）设h（x）＝f（x）﹣x＝ex﹣1﹣x∴h'（x）＝ex﹣1﹣1，当x＞1时，h'（x）＞0，h（x）为增，当x＜1时，h'（x）＜0，h（x）为减，当x＝1时，h（x）取最小值h（1）＝0．∴h（x）≥h（1）＝0，即f（x）≥x．这里面是一个综合题，解题的思路主要还是判断函数的单调性，尤其是指数函数的单调性，考查的重点其实是大家的计算能力．例2：已知函数f（x）＝loga（x﹣1），g（x）＝loga（3﹣x）（a＞0且a≠1），利用对数函数的单调性，讨论不等式f（x）≥g（x）中x的取值范围．解：∵不等式f（x）≥g（x），即loga（x﹣1）≥loga（3﹣x），∴当a＞1时，有x-1＞3-x1当1＞a＞0时，有x-1＜3-x1综上可得，当a＞1时，不等式f（x）≥g（x）中x的取值范围为（2，3）；当1＞a＞0时，不等式f（x）≥g（x）中x的取值范围为（1，2）．这个题考查的就是对数函数不等式的求解，可以看出主要还是求单调性，当然也可以右边移到左边，然后变成一个对数函数来求解也可以．【命题方向】本考点其实主要是学会判断各函数的单调性，然后重点考察学生的运算能力，也是