2025年高考数学复习之小题狂练600题（选择题）：幂函数、指数函数、对数函数（10题）

第1页（共1页）2025年高考数学复习之小题狂练600题（选择题）：幂函数、指数函数、对数函数（10题）一．选择题（共10小题）1．（2024•广汉市校级模拟）已知a=32，b=logA．c＜b＜a B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．c＜a＜b2．（2024•扬州校级一模）设a∈R．若函数f（x）＝（a﹣1）x为指数函数，且f（2）＞f（3），则a的取值范围是（）A．1＜a＜2 B．2＜a＜3 C．a＜2 D．a＜2且a≠13．（2024•武汉模拟）记a＝30.2，b＝0.3﹣0.2，c＝log0.20.3，则（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．b＞a＞c4．（2024•衡阳县校级模拟）已知函数f（x）＝3x，若a=f(logA．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a5．（2024•衡阳县校级模拟）已知集合A＝{x|﹣1≤x＜5}，B＝{x∈N|y＝log3（x﹣2）}，则A∩B＝（）A．{﹣1，2，3，4} B．{3，4} C．{3，4，5} D．{2，3}6．（2024•乐昌市校级模拟）已知a＝log21.41，b＝1.70.3，c＝cos7π3A．b＞a＞c B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．c＞a＞b7．（2024•海淀区校级三模）下列命题中，真命题的是（）A．若a＜b，则1aB．若a＞b，则a2＞ab＞b2 C．若0＜a＜b＜c，则logca＜logcb D．若a+2b＝2，则2a+4b≥48．（2024•乐昌市校级模拟）已知幂函数图像过点（2，4），则函数的解析式为（）A．y＝2x B．y＝x2 C．y＝log2x D．y＝sinx9．（2024•子长市校级三模）函数f（x）＝cosx+3|x|﹣3的图象大致是（）A． B． C． D．10．（2024•柳州三模）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2-m1=52lgE1E2，其中星等为mk的星的亮度为EA．1010.1 B．10.1 C．lg10.1 D．10﹣10.1

2025年高考数学复习之小题狂练600题（选择题）：幂函数、指数函数、对数函数（10题）参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．（2024•广汉市校级模拟）已知a=32，b=logA．c＜b＜a B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．c＜a＜b【考点】对数值大小的比较．【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；数学运算．【答案】C【分析】根据对数函数的性质比较a，b的大小，再根据正切函数的性质比较a，c的大小，从而可比较出a，b，c的大小．【解答】解：因为y＝log2x在（0，+∞）上递增，且8＞所以log28所以32＞log2因为y＝tanx在(0，π2所以tanπ3＜所以tan32＞3＞所以c＞a＞b．故选：C．【点评】本题主要考查数值大小的比较，属于基础题．2．（2024•扬州校级一模）设a∈R．若函数f（x）＝（a﹣1）x为指数函数，且f（2）＞f（3），则a的取值范围是（）A．1＜a＜2 B．2＜a＜3 C．a＜2 D．a＜2且a≠1【考点】指数函数的值域．【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；数学运算．【答案】A【分析】根据已知条件，结合指数函数的单调性，即可求解．【解答】解：函数f（x）＝（a﹣1）x为指数函数，f（2）＞f（3），则函数f（x）在R上单调递减，故0＜a﹣1＜1，解得1＜a＜2．故选：A．【点评】本题主要考查指数函数的性质，属于基础题．3．（2024•武汉模拟）记a＝30.2，b＝0.3﹣0.2，c＝log0.20.3，则（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．b＞a＞c【考点】对数值大小的比较．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．【答案】D【分析】利用指数函数和对数函数的单调性求解．【解答】解：∵b＝0.3﹣0.2=(103)0.2＞30.2＞∴b＞a＞1，∵c＝log0.20.3＜log0.20.2＝1，∴b＞a＞c．故选：D．【点评】本题主要考查了指数函数和对数函数的性质，属于基础题．4．（2024•衡阳县校级模拟）已知函数f（x）＝3x，若a=f(logA．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a【考点】对数值大小的比较；指数函数的单调性与最值．【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；数学运算．【答案】D【分析】根据给定条件，利用指数函数、对数函数单调性比较大小．【解答】解：依题意，log36=1+lo因此log510＜32＜log3所以f(log510)＜f(32故选：D．【点评】本题主要考查数值大小的比较，属于基础题．5．（2024•衡阳县校级模拟）已知集合A＝{x|﹣1≤x＜5}，B＝{x∈N|y＝log3（x﹣2）}，则A∩B＝（）A．{﹣1，2，3，4} B．{3，4} C．{3，4，5} D．{2，3}【考点】对数函数的定义域；交集及其运算．【专题】整体思想；综合法；集合；数学运算．【答案】B【分析】将集合B化简，再由交集的运算，即可得到结果．【解答】解：因为A＝{x|﹣1≤x＜5}，B＝{x∈N|x﹣2＞0}＝{x∈N|x＞2}，所以A∩B＝{3，4}．故选：B．【点评】本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题．6．（2024•乐昌市校级模拟）已知a＝log21.41，b＝1.70.3，c＝cos7π3A．b＞a＞c B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．c＞a＞b【考点】对数值大小的比较．【专题】对应思想；分析法；函数的性质及应用；数学运算．【答案】B【分析】根据指数函数，对数函数，余弦函数的单调性，比较即可．【解答】解：∵1.41＜2，∴a＝log21.41＜log22b＝1.70.3＞1，c＝cos7π3=cos∴b＞c＞a．故选：B．【点评】本题考查三个数的大小的求法，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用，属于基础题．7．（2024•海淀区校级三模）下列命题中，真命题的是（）A．若a＜b，则1aB．若a＞b，则a2＞ab＞b2 C．若0＜a＜b＜c，则logca＜logcb D．若a+2b＝2，则2a+4b≥4【考点】对数函数的图象；不等关系与不等式．【专题】整体思想；综合法；不等式；数学运算．【答案】D【分析】举出反例检验选项A，B，C，结合基本不等式检验选项D．【解答】解：当a＝﹣1，b＝1时，A显然错误；当a＝﹣1，b＝﹣2时，B显然错误；当0＜c＜1时，C显然错误；若a+2b＝2，则2a+4b≥22a⋅4b=22a+2b=4，当且仅当故选：D．【点评】本题主要考查了不等式性质及基本不等式的应用，属于基础题．8．（2024•乐昌市校级模拟）已知幂函数图像过点（2，4），则函数的解析式为（）A．y＝2x B．y＝x2 C．y＝log2x D．y＝sinx【考点】求幂函数的解析式．【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；数学抽象．【答案】B【分析】先设出函数解析式，然后把x＝2，y＝4代入即可求解．【解答】解：设f（x）＝xα，由题意得，f（2）＝2α＝4，即α＝2，所以f（x）＝x2．故选：B．【点评】本题主要考查了待定系数法求解函数解析式，属于基础题．9．（2024•子长市校级三模）函数f（x）＝cosx+3|x|﹣3的图象大致是（）A． B． C． D．【考点】指数函数及指数型复合函数的图象；余弦函数的图象．【专题】数形结合；数形结合法；函数的性质及应用；数学运算．【答案】B【分析】先判断函数的奇偶性，再结合f（1）＞0以及单调性即可得解．【解答】解：∵f（﹣x）＝cos（﹣x）+3|﹣x|﹣3＝cosx+3|x|﹣3＝f（x），∴f（x）是偶函数，其图象关于y轴对称，当x＞0时，f（x）＝cosx+3x﹣3，f'（x）＝﹣sinx+3x•ln3，3x•ln3＞1，∴f'（x）＝﹣sinx+3xln3＞0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增．又f（1）＝cos1+31﹣3＝cos1＞0，结合选项可知，选项B符合题意．故选：B．【点评】本题考查根据函数解析式确定函数图象，属于基础题．10．（2024•柳州三模）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2-m1=52lgE1E2，其中星等为mk的星的亮度为EA．1010.1 B．10.1 C．lg10.1 D．10﹣10.1【考点】对数的运算性质；根据实际问题选择函数类型．【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；逻辑推理；数学运算．【答案】A【分析】由题意得关于E1，E2的等式，结合对数的运算法则，即可得出答案．【解答】解：由题意得两颗星的星等与亮度满足m2令m2＝﹣1.45，m1＝﹣26.7，则lgE故选：A．【点评】本题考查对数的运算性质和根据实际问题选择函数类型，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．

考点卡片1．交集及其运算【知识点的认识】由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的交集，记作A∩B．符号语言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．A∩B实际理解为：x是A且是B中的相同的所有元素．当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集．运算性质：①A∩B＝B∩A．②A∩∅＝∅．③A∩A＝A．④A∩B⊆A，A∩B⊆B．⑤A∩B＝A⇔A⊆B．⑥A∩B＝∅，两个集合没有相同元素．⑦A∩（∁UA）＝∅．⑧∁U（A∩B）＝（∁UA）∪（∁UB）．【解题方法点拨】解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩图．【命题方向】掌握交集的表示法，会求两个集合的交集．命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函数的定义域，值域，函数的单调性、复合函数的单调性等联合命题．2．不等关系与不等式【知识点的认识】不等关系就是不相等的关系，如2和3不相等，是相对于相等关系来说的，比如42与84就是相等关系．而不等式就包含两层意思，第一层包含了不相等的关系，第二层也就意味着它是个式子，比方说a＞b，a﹣b＞不等式定理①对任意的a，b，有a＞b⇔a﹣b＞0；a＝b⇒a﹣b＝0；a＜b⇔a﹣b＜0，这三条性质是做差比较法的依据．②如果a＞b，那么b＜a；如果a＜b，那么b＞a．③如果a＞b，且b＞c，那么a＞c；如果a＞b，那么a+c＞b+c．推论：如果a＞b，且c＞d，那么a+c＞b+d．④如果a＞b，且c＞0，那么ac＞bc；如果c＜0，那么ac＜bc．【命题方向】例1：解不等式：sinx≥1解：∵sinx≥1∴2kπ+π6≤x≤2kπ+5π6∴不等式sinx≥12的解集为{x|2kπ+π6≤x≤2kπ+5π这个题很典型，考查了不等式和三角函数的相关知识，也体现了一般不等式喜欢与函数联结的特点，这个题只要去找到满足要求的定义域即可，先找一个周期的，然后加上所以周期就是最后的解．例2：当ab＞0时，a＞b⇔1a证明：由ab＞0，知1ab＞又∵a＞b，∴a⋅1ab＞b⋅若1a＜∴a＞b．这个例题就是上面定理的一个简单应用，像这种判断型的题，如果要判断它是错的，直接举个反例即可，这种技巧在选择题上用的最广．3．求幂函数的解析式【知识点的认识】幂函数的定义：一般地，函数y＝xa叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数．对于幂函数，我们只研究a＝1，2，3，12，﹣1【解题方法点拨】﹣根据已知条件设定幂函数的形式，代入已知条件，求解指数a．﹣写出幂函数的解析式，验证解析式的正确性．【命题方向】题目包括辨识幂函数的形式，分析幂函数的特征及应用题．若幂函数y＝f（x）的图像过点(22，2)，则函数y＝f（解：幂函数y＝f（x）＝xα的图像过点(2∴（22）α＝2解得α＝﹣2，则函数y＝f（x）的解析式为f（x）＝x﹣2．故答案为：f（x）＝x﹣2．4．指数函数的值域【知识点的认识】指数函数的解析式、定义、定义域、值域1、指数函数的定义：一般地，函数y＝ax（a＞0，且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R，值域是（0，+∞）．2、指数函数的解析式：y＝ax（a＞0，且a≠1）3、理解指数函数定义，需注意的几个问题：①因为a＞0，x是任意一个实数时，ax是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R．②规定底数a大于零且不等于1的理由：如果a＝0，当x＞0时，ax恒等于0；当x≤0时，ax无意义；如果a＜0，比如y＝（﹣4）x，这时对于x=14，x=1如果a＝1，y＝1x＝1是一个常量，对它就没有研究的必要，为了避免上述各种情况，所以规定a＞0且a≠1．5．指数函数及指数型复合函数的图象【知识点的认识】1、指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）的图象和性质：y＝axa＞10＜a＜1图象指数函数及其复合函数的图象反映了函数的形态和性质，是理解和应用指数函数的重要内容．【解题方法点拨】﹣分析指数函数的解析式，确定其图象形态．﹣对于复合函数，先分析内层函数的图象，再结合外层指数函数，确定复合函数的整体图象．﹣利用图象分析函数的性质和应用．【命题方向】题目通常涉及指数函数及其复合函数的图象分析，结合解析式和具体问题确定函数图象及其应用．函数f（x）＝ax﹣b的图像如图所示，其中a、b为常数，则下列结论正确的是（）A．a＞1，b＜0B．a＞1，b＞0C．0＜a＜1，b＞0D．0＜a＜1，b＜0解：由图象从左到右下降可知，0＜a＜1；由图象与y轴的交点可知，0＜a﹣b＜1，故b＜0；故0＜a＜1，b＜0；故选：D．6．指数函数的单调性与最值【知识点的认识】1、指数函数单调性的讨论，一般会以复合函数的形式出现，所以要分开讨论，首先讨论a的取值范围即a＞1，0＜a＜1的情况．再讨论g（x）的增减，然后遵循同增、同减即为增，一减一增即为减的原则进行判断．2、同增同减的规律：（1）y＝ax如果a＞1，则函数单调递增；（2）如果0＜a＜1，则函数单调递减．3、复合函数的单调性：（1）复合函数为两个增函数复合：那么随着自变量X的增大，Y值也在不断的增大；（2）复合函数为两个减函数的复合：那么随着内层函数自变量X的增大，内层函数的Y值就在不断的减小，而内层函数的Y值就是整个复合函数的自变量X．因此，即当内层函数自变量X的增大时，内层函数的Y值就在不断的减小，即整个复合函数的自变量X不断减小，又因为外层函数也为减函数，所以整个复合函数的Y值就在增大．因此可得“同增”若复合函数为一增一减两个函数复合：内层函数为增函数，则若随着内层函数自变量X的增大，内层函数的Y值也在不断的增大，即整个复合函数的自变量X不断增大，又因为外层函数为减函数，所以整个复合函数的Y值就在减小．反之亦然，因此可得“异减”．7．对数的运算性质【知识点的认识】对数的性质：①alogaN=N；②logaaN＝N（a＞0loga（MN）＝logaM+logaN；logaMN=logaM﹣logalogaMn＝nlogaM；loganM=1n8．对数函数的定义域【知识点的认识】一般地，我们把函数y＝logax（a＞0，且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞），值域是R．9．对数函数的图象【知识点的认识】10．对数值大小的比较【知识点的认识】1、若两对数的底数相同，真数不同，则利用对数函数的单调性来比较．2、若两对数的底数和真数均不相同，通常引入中间变量（1，﹣1，0）进行比较3、若两对数的底数不同，真数也不同，则利用函数图象或利用换底公式化为同底的再进行比较．（画图的方法：在第一象限内，函数图象的底数由左到右逐渐增大）11．余弦函数的图象【知识点的认识】正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象定义域RRk∈Z值域[﹣1，1][﹣1，1]R单调性递增区间：（k∈Z）；递减区间：（k∈Z）递增区间：[2kπ﹣π，2kπ]（k∈Z）；递减区间：[2kπ，2kπ+π]（k∈Z）递增区间：（k∈Z）最值x＝2kπ+（k∈Z）时，ymax＝1；x＝2kπ﹣（k∈Z）时，ymin＝﹣1x＝2kπ（k∈Z）时，ymax＝1；x＝2kπ+π（k∈Z）时，ymin＝﹣1无最值奇偶性奇函数偶函数奇函数对称性对称中心：（kπ，0）（k∈Z）对称轴：x＝kπ+，k∈Z对称中心：（k∈Z）对称轴：x＝kπ，k∈Z对称中心：（k∈Z）无对称轴周期2π2ππ12．根据实际问题选择函数类型【知识点的认识】1．实际问题的函数刻画在现实世界里，事物之间存在着广泛的联系，许多联系可以用函数刻画．用函数的观点看实际问题，是学习函数的重要内容．2．用函数模型解决实际问题（1）数据拟合：通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点，观察这些点的整体特征，看它们接近我们熟悉的哪一种函数图象，选定函数形式后，将一些数据代入这个函数的一般表达式，求出具体的函数表达式，再做必要的检验，基本符合实际，就可以确定这个函数基本反映了事物规律，这种方法称为数据拟合．（2）常用到的五种函数模型：①直线模型：一次函数模型y＝kx+b（k≠0），图象增长特点是直线式上升（x的系数k＞0），通过图象可以直观地认识它，特例是正比例函数模型y＝kx（k＞0）．②反比例函数模型：y=kx（k＞0）型，增长特点是y随③指数函数模型：y＝a•bx+c（b＞0，且b≠1，a≠0），其增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快（底数b＞1，a＞0），常形象地称为指数爆炸．④对数函数模型，即y＝mlogax+n（a＞0，a≠1，m≠0）型，增长特点是随着自变量的增大，函数值增大越来越慢（底数a＞1，m＞0）．⑤幂函数模型，即y＝a•xn+b（a≠0）型，其中最常见的是二次函数模型：y＝ax2+bx+c（a≠0），其特点是随着自变量的增大，函数值先减小后增大（a＞0）．在以上几种函数模型的选择与建立时，要注意函数图象的直观运用，分析图象特点，分析变量x的范围，同时还要与实际问题结合，如取整等．3．函数建模（1）定义：用数学思想、方法、知识解决实际问题的过程，叫作数学建模．（2）过程：如下图所示．【解题方法点拨】用函数模型解决实际问题的常见类型及解法：（1）解函数关系已知的应用题①确定函数关系式y＝f（x）中的参数，求出具体的函数解析式y＝f（x）；②讨论x与y的对应关系，针对具体的函数去讨论与题目有关的问题；③给出实际问题的解，即根据在函数关系的讨论中所获得的理论参数值给出答案．（2）解函数关系未知的应用题①阅读理解题意看一看可以用什么样的函数模型，初步拟定函数类型；②抽象函数模型在理解问题的基础上，把实际问题抽象为函数模型；③研究函数模型的性质根据函数模型，结合题目的要求，讨论函数模型的有关性质，获得函数模型的解；④得出问题的结论根据函数模型的解，结合实际问题的实际意义和题目的要求，给出实际问题的解．【命题方向】典例1：某公司为了实现1000万元的利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金数额y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金数额不超过5万元，同时奖金数额不超过利润的25%，其中模型能符合公司的要求的是（参考数据：1.003600≈6，1n7≈1.945，1n102≈2.302）（）A．y＝0.025xB．y＝1.003xC．y＝l