《概率论与数理统计学习指导及习题解析》课件第5章

第5章大数定律和中心极限定理第一节知识梳理

第二节重点解析

第三节典型例题第四节习题全解第一节知识梳理

第二节重点解析

1.大数定律

1)切比雪夫不等式

定理：设随机变量X的均值E(X)及方差D(X)都存在，则对于任意给定的ε>0，有不等式

成立，称上式为切比雪夫不等式。或

2)切比雪夫大数定律

定理：设相互独立的随机变量序列X1，X2，…，Xn，…分别具有均值E(X1)，E(X2)，…，E(Xn)，…及方

差D(X1)，D(X2)，…，D(Xn)，…，若存在常数C，使D(Xk)≤C(k=1，2，…)，则对于任意给定的ε>0，有

3)伯努利大数定律与辛钦大数定律

定理1：设m是n次独立重复伯努利试验中事件A发生的次数，p是事件A在每次试验中发生的概率，则对于任意给定的ε>0，有定理2：（辛钦大数定律）设相互独立的随机变量序

列X1，X2，…，Xn，…有相同的分布，且E(Xk)=μ(k=1，2，…)存在，则对于任意给定的ε>0，有

2.中心极限定理

定理1：（林德贝格—勒维中心极限定理）设相互独立

的随机变量序列X1，X2，…，Xn，…服从同一分布，且

E(Xk)=μ，D(Xk)=σ2≠0(k=1，2，…)，，则对于任意x，

随机变量序列的分布函数Fn(x)在n→∞时

趋于标准正态分布函数，即有定理2：（棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理）设mA表示

n次独立重复伯努利试验中事件A发生的次数，p是事件A在每次试验中发生的概率,则对于任意区间(a，b］，恒有第三节典型例题

【例5.1】设随机变量X与Y的数学期望分别为－2和2，方差分别为1和4，而相关系数为－0.5，根据切比雪夫不等式估计P{|X+Y|≥6}。

解由题意知

E(X)=－2，E(Y)=2，D(X)=1，D(Y)=4，ρXY=－0.5所以

E(X+Y)=E(X)+E(Y)=0故

【例5.2】设在n次伯努利试验中，每次试验事件A出现的概率均为0.7，要使事件A出现的频率在0.68~0.72之间的概率不少于0.90，问至少要进行多少次试验？

（1）用切比雪夫不等式估计；

（2）用中心极限定理计算。解（1）因为所以n≥5250。（2）因为所以n≥1412.04。

【例5.3】抽样检查产品质量时，如果发现有多于10

个的次品，则拒绝接受这批产品。设某批产品的次品率为10%，问至少应抽取多少个产品检查，才能保证拒绝接受该产品的概率达到0.9？

解令X={发现的次品数}，则X~b(n，0.1),所以P{X>10}=0.9,即亦即查表得解以上方程得

n≈147

【例5.4】计算器在进行加法时，将每一加数舍入最靠近它的整数,设所有舍入误差是独立的，且在(－0.5，0.5)上服从均匀分布。

（1）若将1500个数相加，问误差总和的绝对值超过15的概率是多少？

（2）最多可有几个数相加使得误差总和的绝对值小于10的概率不小于0.90？解设每个加数的舍入误差为Xi，由题设知Xi独立同分布，且Xi~U(－0.5，0.5)，因此，可利用独立同分布的中心极限定理，即林德贝格—勒维中心极限定理，来进行近似计算。令Xi同上所设，由于Xi~U(－0.5，0.5),从而，（1）记X为将1500个数相加的误差总和，则有

，从而由林德贝格—勒维中心极限定理知

近似地服从N(0，1)，故即误差总和的绝对值超过15的概率约为0.1802。

【例5.5】有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的长度不小于3m，现在从这批木柱中随机地取100根，求其中至少有30根短于3m的概率。

解记X为被抽取的100根木柱长度短于3m的根数，则X~b(100，0.2)。于是由棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理得

【例5.6】设某种器件使用寿命（单位：小时）服从指数分布，平均使用寿命为20小时，具体使用时是当一器件损坏后立即更换一新器件，如此继续，已知每一器件的进价为

a元，试求在年计中应为此器件作多少元预算，才可以有95%的把握保证一年够用（假定一年的工作时间为2000小时）。解设第i个器件的使用寿命为Xi，由于Xi服从参数为

λ的指数分布，且E(Xi)=20，所以，从而，由林德贝格—勒维中心极限定理知故查表得即

n≈118因此每年应为此器件至少作出118a元的预算，才能有95％的把握保证一年够用。第四节习题全解

5.1（1）设随机变量序列X1，X2，…，Xn，…是相互独立的，对于每一个固定的n，Xn的分布律为试证明随机变量序列X1，X2，…，Xn，…服从大数定律。（2）设随机变量序列X1，X2，…，Xn，…独立同分布，且

E(Xk)=μ，D(Xk)=σ2≠0(k=1，2，…)，

试证明随机变量序列Yn依概率收敛。证明（1）因为所以由于该随机变量序列相互独立，且期望与方差均存

在，满足切比雪夫大数定律的条件。由切比雪夫大数定律知,

对于任意ε>0有取常数列an=0，则有（2）因为由切比雪夫不等式得而，同时P{|Yn－μ|≥ε}≥0,所以

即

5.2设随机变量服从参数为2的泊松分布，用切比雪夫不等式估计P{|X－2|≤4}。

解由随机变量服从参数为2的泊松分布可知E(X)=2，D(X)=2，所以

5.3设随机变量X1，X2，…，X100独立同分布，E(Xk)=μ，D(Xk)=16，求P{|X－μ|≤1}。解由林德贝格—勒维中心极限定理可得

5.4K.皮尔逊掷均匀硬币12000次，求出现正面的频率与0.5的差不超过0.01的概率。

解设在12000次中正面的次数为X，则X~b(12000，)。由棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理可得

5.5假设生男孩的概率为0.515，某医院今年共出生500个新生婴儿，求该医院今年出生的新生婴儿中男婴人数多于女婴人数的概率。

解设新生婴儿中男婴人数为X，则

X~b(500，0.515)，E(X)=257.5，D(X)=124.8875

P{男婴人数多于女婴人数}=P{X>250}=1－P{X≤250}由棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理可得

5.6某车间有同型车床200台，假设每台开动的概率为0.7，且开关是相互独立的，开动每台的耗电量为15kW，试问最少需耗多少电力，才能以95%的把握满足该车间生产？解设同时开动的机器数为X，则

X~b(200，0.7)，E(X)=140，D(X)=42设至少需电力为YkW，则根据题目要求有

P{15X≤Y}=0.95

即由棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理可得而Φ(1.65)=0.95,

所以由得

Y=2260.4kW

5.7根据经验，某一门课程考试中学生的得分的期望值为75分，方差为25。

（1）从试卷中任取一份，其成绩超过80分的概率为多少？

（2）从试卷中任取一份，其成绩为65~85分的概率为多少？

解设学生得分为X，由题意知X近似服从N(75，25)分布。（1）（2）

5.8某保险公司多年的统计资料表明，在索赔户中被盗索赔户占20%，以X表示在随机抽查的100个索赔户中因盗窃而向保险公司索赔的户数。

（1）写出X的概率分布；

（2）求被盗索赔户不少于14户且不多于30户的概率的近似值。

解（1）由题意知X~b(100，0.2)，故

P{X=k}=Ck100(0.2)k(0.8)100－k

（k=0，1，2，…，100）（2）由棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理可得

5.9独立地测量一个物理量，每次测量所产生的随机误差都服从(－1，1)上的均匀分布。

（1）如果将n次测量的算术平均值作为测量结果，求它与真值的绝对误差小于一个小的正数ε的概率；

（2）计算当n=36，ε=1/6时的概率近似值；

（3）要使（1）中的概率不小于0.95，且误差不超过1/6应至少进行多少次测量？解设该物理量真值为μ，第i次测量的随机误差为

Xi，则Xi~U(－1，1)，且第i次测量结果为μ+Xi，E(Xi)=0，

。

（1）由林德贝格—勒维中心极限定理可得（2）当n=36，时，有