《机械系统动力学》课件第三章 机械系统运动微分方程的求解1

第3章

机械系统运动微分方程的求解3-1机械系统运动方程求解方法-解析法3-2机械系统的运动方程求解方法-数值法3-3机械系统的运动方程求解方法-半解析数值法3-1机械系统运动方程求解方法-解析法3-1-1单自由度系统的振动1.问题的提法工程中大量的动力学问题都可以归结于图3-1-1单自由度振动系统的力学模型,其动力学问题的数学模型表示为常微分方程的初值问题图3-1-1单自由度振动系统的力学模型控制方程:满足初始条件:3-1机械系统运动方程求解方法-解析法3-1-1单自由度系统的振动2.单自由度振动系统简谐激励作用下的响应图3-1-1单自由度振动系统的力学模型运动微分方程:满足初始条件:根据微分方程理论,该方程解的形式为奇次通解与某个特解之和,即

为齐次通解,

为特解.3-1机械系统运动方程求解方法-解析法3-1-1单自由度系统的振动1）齐次通解

将奇次运动微分方程变成标准型:其中固有频率：设方程的解为特征方程：阻尼比临界阻尼特征根：3-1机械系统运动方程求解方法-解析法3-1-1单自由度系统的振动讨论（1）过阻尼:根据初始条件可以得到系数A1,A2的表达式过阻尼系统的自由衰减振动3-1机械系统运动方程求解方法-解析法3-1-1单自由度系统的振动（2）欠阻尼利用欠阻尼系统的自由衰减振动特征根：方程的通解

令,

，可得3-1机械系统运动方程求解方法-解析法3-1-1单自由度系统的振动（3）临界阻尼利用临界阻尼系统的自由衰减振动特征方程有两个重根即方程的通解

,

，可得3-1机械系统运动方程求解方法-解析法3-1-1单自由度系统的振动工程应用：固有频率a)无阻尼自由振动方程的解

,

，b)阻尼对振幅的影响

阻尼比越大，振幅衰减越大3-1机械系统运动方程求解方法-解析法3-1-1单自由度系统的振动工程应用：

,

，b)阻尼对振幅的影响

阻尼比越大，振幅衰减越大两边取自然对数，注意到为了提高测量精度，常取n次振幅波动后对数衰减率作为阻尼比的计算公式自由振动法测量单自由度振动系统的阻尼比3-1机械系统运动方程求解方法-解析法3-1-1单自由度系统的振动工程应用：

,

，c）从图3-1-5可知，时系统的位移响应回到平衡状态的时间最短。因此对于指针式仪表读数系统，常将系统的阻尼比调整为临界阻尼，以达到稳定读数的目的3-1机械系统运动方程求解方法-解析法3-1-1单自由度系统的振动2）特解

特解的求法很多，有比较系数法、旋转矢量法、拉氏变换法等，较简单快捷的方法是旋转矢量法设特解：代入方程作旋转矢量图3-1机械系统运动方程求解方法-解析法3-1-1单自由度系统的振动2）特解

作旋转矢量图可得将

代入上式得3-1机械系统运动方程求解方法-解析法3-1-1单自由度系统的振动2）特解

位移动力放大系数

相位角3-1机械系统运动方程求解方法-解析法3-1-1单自由度系统的振动在初始条件为

欠阻尼条件下，方程的定解

上中的第一项为单自由度系统自由振动响应，当

时，该项趋近于0。第二项为稳态解，表现为周期性运动其工程意义在于：a)当频率比

时，振幅最大，当阻尼比

，位移动力放大系数

，即发生共振现象。3-1机械系统运动方程求解方法-解析法3-1-1单自由度系统的振动振动稳定性设计准则

所有对于降低振动的工程应用场合，应使频率比在

范围内

b)发生共振时，振幅最大，且位移响应与激励力之间的相位角相差

位移动力放大系数

。

共振法测量阻尼比的理论依据。c)对于振动机械，应将频率比

调整到1附近工作，以利于获得较大的振动振幅。

d)动载系数的物理意义3-1机械系统运动方程求解方法-解析法3-1-1单自由度系统的振动3.单自由度振动任意激励力作用下的响应

1）求解基本思路（叠加原理）

这里

为任意函数

1）t时刻系统的响应只取决于t时刻以前的作用力。在[0,t]时间段的任意激励力

可视为一系列元冲量

组成，如图(a)所示。b)元冲量

引起的系统的动力响应为

c)根据叠加原理，t时刻系统的动力响应

等于t时刻以前的元冲量

引起的系统的动力响应

的和3-1机械系统运动方程求解方法-解析法3-1-1单自由度系统的振动2)元冲量

引起的系统的动力响应

振动系统受元冲量

作用的过程是一个碰撞过程，碰撞过程的研究要点是抓住碰撞前、后两个状态和碰撞过程即时间段

。设碰撞前系统静止，碰撞后系统获得一定的速度后作自由振动，而碰撞过程中系统的运动规律可以用冲量定理描述。3-1机械系统运动方程求解方法-解析法3-1-1单自由度系统的振动2)元冲量

引起的系统的动力响应

首先研究作用于坐标原点的元冲量

引起的系统

时刻的响应碰撞前：

系统静止即初位移和初速度均为0碰撞后：系统的位移为

，速度为

碰撞过程:元冲量

作用后质点的速度3-1机械系统运动方程求解方法-解析法3-1-1单自由度系统的振动2)元冲量

引起的系统的动力响应

元冲量

作用后到

时刻的时间段[，t]，系统作自由振动,由元冲量

作用后质点的速度元冲量

引起的

时刻的位移响应可得3-1机械系统运动方程求解方法-解析法3-1-1单自由度系统的振动3）任意激励力

作用下系统的响应

即根据叠加原理，任意激励力

作用下系统的响应等于

时刻以前的元冲量

引起的系统的动力响应应用Duhamel积分可以很方便的求出在任意激励力作用下单自由度振动系统的稳态响应该式即为Duhamel积分。一个令人满意的完美结果3-1机械系统运动方程求解方法-解析法例：求初始静止的单自由度系统在阶跃力

作用下系统的响应。

根据Duhamel积分解：系统的运动微分方程及初始条件可写为若阻尼比，则系统的响应

3-1机械系统运动方程求解方法-解析法例：求初始静止的单自由度系统在阶跃力

作用下系统的响应。

根据Duhamel积分解：系统的运动微分方程及初始条件可写为若阻尼比，则系统的响应

对于激励力为比较复杂的函数，其Duhamel积分的解析表达式无法得到，但可以用数值积分的方法计算Duhamel积分的数值近似解。3-1-2多自由度系统的振动1.多自由度无阻尼自由振动

若采用刚度法得到的多自由度无阻尼系统自由振动的运动微分方程为设方程的解为代入3-1-18式可得3-1-18振幅方程振幅向量

有非零解，必须频率方程，数学上称特征方程3-1-2多自由度系统的振动1.多自由度无阻尼自由振动

关于

的

n

次多项式，有

n

个根，由小到大依次记为

称系统的固有频率可以解出

个特征向量将求得的特征根代入振幅方程称第k阶振型向量，简称第k阶振型。可见n个自由度的振动系统，有n个固有频率和振型向量，每个固有频率对应一个振型向量.振型向量的第一行规定为1，这样得到的振型向量称主振型向量，简称主振型。3-1-2多自由度系统的振动1.多自由度无阻尼自由振动

n个自由度振动系统的自由振动响应可表达为:对于两个自由度自由振动系统，其振幅方程式中:为任意常数,由初始条件确定频率方程3-1-2多自由度系统的振动1.多自由度无阻尼自由振动

展开得代入振幅方程，可得2个主振型向量有2个根3-1-2多自由度系统的振动1.多自由度无阻尼自由振动

若采用柔度法得到的多自由度无阻尼系统自由振动的运动微分方程为有n个根，有小到大依次记为

称系统的固有频率同样地假设振幅方程频率方程可以解出

个特征向量3-1-2多自由度系统的振动1.多自由度无阻尼自由振动

例:求图示简支梁的固有频率和主振型。梁的抗弯刚度为EI，在三分点1和2处有相等的集中质量m解：1.建立图示系统的运动微分方程两个自由度振动系统，采用柔度法柔度矩阵中的系数可以用图乘法质量矩阵柔度矩阵3-1-2多自由度系统的振动1.多自由度无阻尼自由振动

解：2．求固有频率和主振型将固有频率代入振幅方程解得：固有频率，

，

3-1-2多自由度系统的振动1.多自由度无阻尼自由振动

解：2．求固有频率和主振型第一主振型，

，

第二主振型3-1-2多自由度系统的振动2.两个自由度振动系统的谐迫振动

动力吸振器

图3-12所示的2个自由度系统，在质量m1上作用简谐激励力

，它也是动力吸振器的力学模型，

为主系统，

为子系统或吸振器。代入上式

其运动微分方程为令3-1-2多自由度系统的振动2.两个自由度振动系统的谐迫振动

动力吸振器

该方程一般有唯一解，其解答为：即质点m1的振动位移振幅为0

式中：当

时

弹簧k2作用于质点m1的力为

，在任何瞬时恰好与激励力

大小相等，方向相反，使得原来的

主系统在简谐力作用下的强迫振动位移响应完全消失，达到很好的减振效果。动力吸振器的工作原理3-1-2多自由度系统的振动3.多自由度振动系统的强迫振动

振型叠加法

1）多自由度振动系统强迫振动数学模型激励荷载

式中：阻尼矩阵

刚度矩阵质量矩阵位移列向量3-1-303-1-2多自由度系统的振动3.多自由度振动系统的强迫振动

振型叠加法

2）主振型的加权正交性求出主振型向量

，将n个主振型向量用一个矩阵表示即称为主振型矩阵

对于多自由度系统，可以按照下式求其n个固有频率再由

3-1-2多自由度系统的振动3.多自由度振动系统的强迫振动

振型叠加法

主振型关于质量矩阵和刚度矩阵的加权正交性即有特征方程

证明：为系统的第k阶固有频率和主振型，

对于任意两个不同的主振型向量两边分别左乘

和

得3-1-2多自由度系统的振动3.多自由度振动系统的强迫振动

振型叠加法

证明：对(d)式两边转置。注意到刚度矩阵K和质量矩阵M的对称性，有

由于(c)-(e)式得：因此有即主振型关于质量矩阵的加权正交性。将(f)代入(c)式得即主振型关于刚度矩阵的加权正交性3-1-2多自由度系统的振动3.多自由度振动系统的强迫振动

振型叠加法

由于主振型关于刚度矩阵

和质量矩阵

的加权正交性，若主振型矩阵为

主刚度矩阵主质量矩阵则有3-1-2多自由度系统的振动3.多自由度振动系统的强迫振动

振型叠加法

3）方程的解耦

得：考虑方程3-1-30中无阻尼时的情形，即C=0，有阻尼的情形，若阻尼可表示为质量矩阵和刚度矩阵的线性组合即

也可采用振型叠加法求解。作变量代换两边左乘根据主振型关于刚度矩阵

和质量矩阵

的加权正交性，3-1-2多自由度系统的振动3.多自由度振动系统的强迫振动

振型叠加法

由于主质量矩阵

和主刚度矩阵

为对角矩阵，上式展开就可得并令称广义载荷3-1-2多自由度系统的振动3.多自由度振动系统的强迫振动

振型叠加法

由式3-1-32两边同除

，并令4）求解主坐标下的振动方程

3-1-32根据Duhamel积分将上式回代到

可得到系统的位移动力学响应。3-1-2多自由度系统的振动3.多自由度振动系统的强迫振动

振型叠加法

例：图示无阻尼二自由度系统，若

时，，

为单位阶跃函数，用振型叠加法求时域响应。解：1.建立系统运动方程3-1-2多自由度系统的振动3.多自由度振动系统的强迫振动

振型叠加法

解：1.建立系统运动方程代入数据2.求系统的特征值和特征向量3-1-2多自由度系统的振动3.多自由度振动系统的强迫振动

振型叠加法

特征方程：代入数据2.求系统的特征值和特征向量解得固有频率：分别代入[B]中任一列的振型矩阵得：3-1-2多自由度系统的振动3.多自由度振动系统的强迫振动

振型叠加法

4.求相应于主坐标的激励

由3.求相应主坐标的初始条件5.求主系数及主坐标响应3-1-2多自由度系统的振动3.多自由度振动系统的强迫振动

振型叠加法

两个激励产生的响应为于是解耦后方程：6.求原系统的广义坐标响应：3-1-3连续系统1.波动方程的解答

对于园轴的自由扭转振动式中对于园轴的自由扭转和杆件的轴向运动，作为连续系统，其运动微分方程代入方程3-1-34：3-1-34可以用分离变量法求解设方程的解的形式：即3-1-3连续系统1.波动方程的解答

其解为从而有式中A,B,C,D为待定系数，由边界条件和初始条件决定。可见，

为振动系统的固有频率

，

为振动系统的振型函数,其中系数C，D一般可由边界条件确定。最后方程的通解为：

式中

3-1-3连续系统例：图3-15为一端固定的园轴，使其作扭转自由振动，求其固有频率、振型函数和响应。

解：该问题的边界条件为

代入通解得：方程的解可写成求导得：3-1-3连续系统园轴的自由端无外力偶作用

对应的振型函数为可见，对于连续系统，有无穷多个固有频率，对应的有无穷多个振型函数。固有频率3-1-3连续系统若初始条件为

由方程的解答由得得3-1-3连续系统2.梁的横向自由振动

用分离变量法求解。令整理：梁的横向自由振动运动微分方程为：代入方程3-1-36得：

3-1-363-1-3连续系统2.梁的横向自由振动

令由上式的第1式代入上式的第2式得的通解：3-1-3连续系统

运动微分方程的通解为待定系数，可由边界条件和初始条件确定。例：图示简支梁作自由振动，求固有频率和振型函数因3-1-3连续系统

解：该问题的边界条件可写成将的表达式代入

得

3-1-3连续系统

即又因为

故只能有若

，对应的解答为零解，无工程意义。只能有频率方程各阶固有频率：振型函数为：3-1-3连续系统

前3阶振型函数图形见图3-16(b)。与多自由度振动系统类似，连续系统的振型函数也具有正交性。

3-1-4非线性系统

与线性系统不同，非线性系统叠加原理不能成立，一般很难得到精确解，用解析法也只能得到问题的近似解，目前还缺乏一种适用面广泛的通用方法。这就导致求解非线性振动问题的方法很多，但每一种方法都有其适用性和局限性，这里介绍2种求解非线性振动问题的常见方法，摄动法和平均法。

1.摄动法改写Duffing方程：式中

为小参数，故摄动法又叫小参数法。3-1-4非线性系统

摄动法的基本思想：认为方程的解

依赖于小参数

，从而形如

将其展开：认为

是计入非线性后对派生解

的一种修正代入方程并进行比较3-1-4非线性系统

初值问题成为：

根据

的任意性，式中

同次幂系数必然自行相等，从而有：得到一组可依次求解的序列线性常微分方程的初值问题，求解这个序列问题