专题14.4 因式分解-重难点题型（学生版）2022年八年级数学上册举一反三系列（人教版）

专题14.4因式分解-重难点题型【人教版】【知识点1因式分解】定义：把一个多项式化成了几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。以上公式都可以用来对多项式进行因式分解，因式分解的常用方法：①提公因式法：pa+pb+pc=p(a+b+c)；②公式法：a2-b2=(a+b)(a-b)；a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-2ab+b2=(a-b)2。③分组分解法：ac+ad+bc+cd=a(c+d)+b(c+d)=(a+b)(c+d)④十字相乘法：a2+(p+q)a+pq=(a+p)(a+q)因式分解的一般步骤：（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式。（2）在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的项数：2项式可以尝试运用公式法分解因式；3项式可以尝试运用公式法、十字相乘法分解因式；4项式及4项式以上的可以尝试分组分解法分解因式（3）分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止。【题型1因式分解的定义】【例1】（2021秋•岱岳区校级月考）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（）A．x2﹣4x+1＝x（x﹣4）+1 B．（x+1）2＝x2+2x+1 C．x2﹣4＝（x+2）（x﹣2） D．18a3bc＝3a2b⋅6ac【变式1-1】（2021•唐山一模）下列各式：①x2﹣16＝（x+4）（x﹣4），②（a+b）2＝a2+2ab+b2，③a2b﹣ab2＝ab（a﹣b）．从左到右的变形中，属于因式分解的是（）A．2 B．①② C．①③ D．②③【变式1-2】（2021•黄山区二模）下列因式分解正确的是（）A．2ab2﹣4ab＝2a（b2﹣2b） B．a2+b2＝（a+b）（a﹣b） C．x2+2xy﹣4y2＝（x﹣y）2 D．﹣my2+4my﹣4m＝﹣m（2﹣y）2【变式1-3】（2021春•青川县期末）下列因式分解正确的是（）A．x2y2﹣z2＝x2（y+z）（y﹣z） B．﹣x2y﹣4xy+5y＝﹣y（x2+4x+5） C．（x+2）2﹣9＝（x+5）（x﹣1） D．9﹣12a+4a2＝﹣（3﹣2a）2【题型2分解因式】【例2】（2021春•鄄城县期末）因式分解：（1）（a﹣b）（x﹣y）﹣（b﹣a）（x+y）；（2）（x2+1）2﹣4x2．【变式2-1】（2021•汉寿县模拟）分解因式：x2y2﹣16x2＝（）A．x2（y2﹣16） B．x2（y+4）（y﹣4） C．y2（x2﹣4） D．y2（x+4）（x﹣4）【变式2-2】（2021春•碑林区校级月考）分解因式：a2﹣b2+ab2﹣a2b＝．【变式2-3】（2020秋•红山区期末）分解因式：①8m2n+2mn；②2a2﹣4a+2；③3m（2x﹣y）2﹣3mn2；④x4﹣2x2+1．【题型3因式分解的应用（求代数式的值）】【例3】（2021春•高新区期末）若a＝b+1，则代数式a2﹣2ab+b2+2的值为．【变式3-1】（2021•苍溪县模拟）若2a﹣3b＝﹣3，则代数式4a2﹣6ab+9b的值为（）A．﹣1 B．9 C．7 D．5【变式3-2】（2021•内江）若实数x满足x2﹣x﹣1＝0，则x3﹣2x2+2021＝．【变式3-3】（2021春•诸暨市期末）已知x≠y，且满足两个等式x2﹣2y＝20212，y2﹣2x＝20212，则x2+2xy+y2的值为．【题型4因式分解的应用（求系数的值）】【例4】（2021春•南山区校级期中）若多项式x2+mx﹣21可以分解为（x+3）（x﹣7），则m＝．【变式4-1】（2021•碑林区校级开学）若2x﹣5是多项式4x2+mx﹣5（m为系数）的一个因式，则m的值是（）A．8 B．﹣6 C．﹣8 D．﹣10【变式4-2】（2021春•聊城期末）已知二次三项式x2+px+q因式分解的结果是（x﹣3）（x﹣5），则p+q＝．【变式4-3】（2021•寻乌县模拟）已知：整式A＝x（x+3）+5，整式B＝ax﹣1．（1）若A+B＝（x+2）2，求a的值；（2）若A﹣B可以分解为（x﹣2）（x﹣3），求A+B．【题型5因式分解的应用（判定三角形的形状）】【例5】（2020秋•中山市期末）已知a，b，c是△ABC的三条边的长度，且满足a2﹣b2＝c（a﹣b），则△ABC一定是三角形．【变式5-1】（2020秋•嘉鱼县期末）若△ABC的三边长a，b，c满足a2+2b2+c2﹣2ab﹣2bc＝0，则△ABC是（）A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形【变式5-2】（2020秋•卫辉市期末）若△ABC的三边长是a、b、c，且a2+b2+c2＝ab+bc+ac，则这个三角形形状是三角形．【变式5-3】（2021春•滕州市期末）阅读下面的材料：常用的分解因式的方法有提取公因式法，公式法等，但有的多项式只用上述方法无法分解，如：x2﹣4y2﹣2x+4y，细心观察这个式子，会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别因式分解后又出现新的公因式，提取公因式就可以完成整个式子的分解因式．具体过程如下：x2﹣4y2﹣2x+4y＝（x2﹣4y2）﹣（2x﹣4y）＝（x+2y）（x﹣2y）﹣2（x﹣2y）＝（x﹣2y）（x+2y﹣2）．像这种将一个多项式适当分组后，进行分解因式的方法叫做分组分解法．利用分组分解法解决下面的问题：（1）分解因式：x2﹣2xy+y2﹣2x+2y；（2）△ABC的三边a，b，c满足a2﹣b2﹣ac+bc＝0，判断△ABC的形状．【题型6因式分解的应用（整体思想）】【例6】（2021春•福田区校级期中）阅读理解：对于一些次数较高或者是比较复杂的式子进行因式分解时，换元法是一种常用的方法，下面是某同学用换元法对多项式（a2﹣2a﹣1）（a2﹣2a+3）+4进行因式分解的过程．解：设a2﹣2a＝A，原式＝（A﹣1）（A+3）+4（第一步）＝A2+2A+1（第二步）＝（A+1）2（第三步）＝（a2﹣2a+1）2（第四步）＝（a﹣1）4回答下列问题：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的（填代号）．A．提取公因式B．平方差公式C．两数和的完全平方公式D．两数差的完全平方公式（2）请你模仿以上方法，分解因式：（x2﹣4x﹣3）（x2﹣4x+11）+49．【变式6-1】（2021春•江都区期中）先阅读下列材料，再解答下列问题：材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．解：将“x+y”看成整体，令x+y＝m，则原式＝m2+2m+1＝（m+1）2．再将x+y＝m代入，得原式＝（x+y+1）2．上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题：（1）因式分解：1+2（x﹣y）+（x﹣y）2＝；（2）因式分解：9（x﹣2）2﹣6（x﹣2）+1；（3）因式分解：（x2﹣6x）（x2﹣6x+18）+81．【变式6-2】（2021春•金台区期末）阅读下列材料：材料1：将一个形如x2+px+q的二次三项式因式分解时，如果能满足q＝mn且p＝m+n，则可以把x2+px+q因式分解成（x+m）（x+n），如：（1）x2+4x+3＝（x+1）（x+3）；（2）x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x+2）．材料2：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．解：将“x+y看成一个整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2，再将“A”还原得：原式＝（x+y+1）2．上述解题用到“整体思想”整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题：（1）根据材料1，把x2+2x﹣24分解因式；（2）结合材料1和材料2，完成下面小题：①分解因式：（x﹣y）2﹣8（x﹣y）+16；②分解因式：m（m﹣2）（m2﹣2m﹣2）﹣3．【变式6-3】（2021春•南山区校级期中）先阅读材料：分解因式：（a+b）2+2（a+b）+1．解：令a+b＝M，则（a+b）2+2（a+b）+1＝M2+2M+1＝（M+1）2，所以（a+b）2