吉林省吉林市吉林地区普通高中友好学校联合体第三十一届2025届高考数学押题试卷含解析_第1页
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文档简介

吉林省吉林市吉林地区普通高中友好学校联合体第三十一届2025届高考数学押题试卷注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.答题时请按要求用笔。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知函数,下列结论不正确的是()A.的图像关于点中心对称 B.既是奇函数,又是周期函数C.的图像关于直线对称 D.的最大值是2.已知函数的定义域为,则函数的定义域为()A. B.C. D.3.已知三棱锥且平面,其外接球体积为()A. B. C. D.4.若单位向量,夹角为,,且,则实数()A.-1 B.2 C.0或-1 D.2或-15.设函数,若在上有且仅有5个零点,则的取值范围为()A. B. C. D.6.《周易》是我国古代典籍,用“卦”描述了天地世间万象变化.如图是一个八卦图,包含乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑八卦(每一卦由三个爻组成,其中“”表示一个阳爻,“”表示一个阴爻)若从八卦中任取两卦,这两卦的六个爻中恰有两个阳爻的概率为()A. B. C. D.7.执行如图所示的程序框图,若输入,,则输出的()A.4 B.5 C.6 D.78.过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点,若线段中点的横坐标为3,且,则抛物线的方程是()A. B. C. D.9.中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题:“今有物不知其数,三三数之余二,五五数之余三,问物几何?”人们把此类题目称为“中国剩余定理”,若正整数除以正整数后的余数为,则记为,例如.现将该问题以程序框图的算法给出,执行该程序框图,则输出的等于().A. B. C. D.10.下列函数中,既是奇函数,又在上是增函数的是().A. B.C. D.11.函数在上的图象大致为()A. B. C. D.12.已知是边长为的正三角形,若,则A. B.C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.在的二项展开式中,只有第5项的二项式系数最大,则该二项展开式中的常数项等于_____.14.已知非零向量,满足,且,则与的夹角为____________.15.正方体中,是棱的中点,是侧面上的动点,且平面,记与的轨迹构成的平面为.①,使得;②直线与直线所成角的正切值的取值范围是;③与平面所成锐二面角的正切值为;④正方体的各个侧面中,与所成的锐二面角相等的侧面共四个.其中正确命题的序号是________.(写出所有正确命题的序号)16.若椭圆:的一个焦点坐标为,则的长轴长为_______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系,直线的极坐标方程为.(1)求直线的直角坐标方程;(2)求曲线上的点到直线距离的最小值和最大值.18.(12分)在平面直角坐标系中,曲线:(为参数,),曲线:(为参数).若曲线和相切.(1)在以为极点,轴非负半轴为极轴的极坐标系中,求曲线的普通方程;(2)若点,为曲线上两动点,且满足,求面积的最大值.19.(12分)设数列,其前项和,又单调递增的等比数列,,.(Ⅰ)求数列,的通项公式;(Ⅱ)若,求数列的前n项和,并求证:.20.(12分)已知函数的最小正周期是,且当时,取得最大值.(1)求的解析式;(2)作出在上的图象(要列表).21.(12分)已知矩阵,.求矩阵;求矩阵的特征值.22.(10分)已知等差数列的公差,且,,成等比数列.(1)求数列的通项公式;(2)设,求数列的前项和.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】

通过三角函数的对称性以及周期性,函数的最值判断选项的正误即可得到结果.【详解】解:,正确;,为奇函数,周期函数,正确;,正确;D:,令,则,,,,则时,或时,即在上单调递增,在和上单调递减;且,,,故D错误.故选:.【点睛】本题考查三角函数周期性和对称性的判断,利用导数判断函数最值,属于中档题.2、A【解析】试题分析:由题意,得,解得,故选A.考点:函数的定义域.3、A【解析】

由,平面,可将三棱锥还原成长方体,则三棱锥的外接球即为长方体的外接球,进而求解.【详解】由题,因为,所以,设,则由,可得,解得,可将三棱锥还原成如图所示的长方体,则三棱锥的外接球即为长方体的外接球,设外接球的半径为,则,所以,所以外接球的体积.故选:A【点睛】本题考查三棱锥的外接球体积,考查空间想象能力.4、D【解析】

利用向量模的运算列方程,结合向量数量积的运算,求得实数的值.【详解】由于,所以,即,,即,解得或.故选:D【点睛】本小题主要考查向量模的运算,考查向量数量积的运算,属于基础题.5、A【解析】

由求出范围,结合正弦函数的图象零点特征,建立不等量关系,即可求解.【详解】当时,,∵在上有且仅有5个零点,∴,∴.故选:A.【点睛】本题考查正弦型函数的性质,整体代换是解题的关键,属于基础题.6、C【解析】

分类讨论,仅有一个阳爻的有坎、艮、震三卦,从中取两卦;从仅有两个阳爻的有巽、离、兑三卦中取一个,再取没有阳爻的坤卦,计算满足条件的种数,利用古典概型即得解.【详解】由图可知,仅有一个阳爻的有坎、艮、震三卦,从中取两卦满足条件,其种数是;仅有两个阳爻的有巽、离、兑三卦,没有阳爻的是坤卦,此时取两卦满足条件的种数是,于是所求的概率.故选:C【点睛】本题考查了古典概型的应用,考查了学生综合分析,分类讨论,数学运算的能力,属于基础题.7、C【解析】

根据程序框图程序运算即可得.【详解】依程序运算可得:,故选:C【点睛】本题主要考查了程序框图的计算,解题的关键是理解程序框图运行的过程.8、B【解析】

利用抛物线的定义可得,,把线段AB中点的横坐标为3,代入可得p值,然后可得出抛物线的方程.【详解】设抛物线的焦点为F,设点,由抛物线的定义可知,线段AB中点的横坐标为3,又,,可得,所以抛物线方程为.故选:B.【点睛】本题考查抛物线的定义、标准方程,以及简单性质的应用,利用抛物线的定义是解题的关键.9、C【解析】从21开始,输出的数是除以3余2,除以5余3,满足条件的是23,故选C.10、B【解析】

奇函数满足定义域关于原点对称且,在上即可.【详解】A:因为定义域为,所以不可能时奇函数,错误;B:定义域关于原点对称,且满足奇函数,又,所以在上,正确;C:定义域关于原点对称,且满足奇函数,,在上,因为,所以在上不是增函数,错误;D:定义域关于原点对称,且,满足奇函数,在上很明显存在变号零点,所以在上不是增函数,错误;故选:B【点睛】此题考查判断函数奇偶性和单调性,注意奇偶性的前提定义域关于原点对称,属于简单题目.11、C【解析】

根据函数的奇偶性及函数在时的符号,即可求解.【详解】由可知函数为奇函数.所以函数图象关于原点对称,排除选项A,B;当时,,,排除选项D,故选:C.【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性的判定及奇偶函数图像的对称性,属于中档题.12、A【解析】

由可得,因为是边长为的正三角形,所以,故选A.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、1【解析】

由题意可得,再利用二项展开式的通项公式,求得二项展开式常数项的值.【详解】的二项展开式的中,只有第5项的二项式系数最大,,通项公式为,令,求得,可得二项展开式常数项等于,故答案为1.【点睛】本题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,二项式系数的性质,属于基础题.14、(或写成)【解析】

设与的夹角为,通过,可得,化简整理可求出,从而得到答案.【详解】设与的夹角为可得,故,将代入可得得到,于是与的夹角为.故答案为:.【点睛】本题主要考查向量的数量积运算,向量垂直转化为数量积为0是解决本题的关键,意在考查学生的转化能力,分析能力及计算能力.15、①②③④【解析】

取中点,中点,中点,先利用中位线的性质判断点的运动轨迹为线段,平面即为平面,画出图形,再依次判断:①利用等腰三角形的性质即可判断;②直线与直线所成角即为直线与直线所成角,设正方体的棱长为2,进而求解;③由,取为中点,则,则即为与平面所成的锐二面角,进而求解;④由平行的性质及图形判断即可.【详解】取中点,连接,则,所以,所以平面即为平面,取中点,中点,连接,则易证得,所以平面平面,所以点的运动轨迹为线段,平面即为平面.①取为中点,因为是等腰三角形,所以,又因为,所以,故①正确;②直线与直线所成角即为直线与直线所成角,设正方体的棱长为2,当点为中点时,直线与直线所成角最小,此时,;当点与点或点重合时,直线与直线所成角最大,此时,所以直线与直线所成角的正切值的取值范围是,②正确;③与平面的交线为,且,取为中点,则即为与平面所成的锐二面角,,所以③正确;④正方体的各个侧面中,平面,平面,平面,平面与平面所成的角相等,所以④正确.故答案为:①②③④【点睛】本题考查直线与平面的空间位置关系,考查异面直线成角,二面角,考查空间想象能力与转化思想.16、【解析】

由焦点坐标得从而可求出,继而得到椭圆的方程,即可求出长轴长.【详解】解:因为一个焦点坐标为,则,即,解得或由表示的是椭圆,则,所以,则椭圆方程为所以.故答案为:.【点睛】本题考查了椭圆的标准方程,考查了椭圆的几何意义.本题的易错点是忽略,从而未对的两个值进行取舍.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)最大值;最小值.【解析】

(1)结合极坐标和直角坐标的互化公式可得;(2)利用参数方程,求解点到直线的距离公式,结合三角函数知识求解最值.【详解】解:(1)因为,代入,可得直线的直角坐标方程为.(2)曲线上的点到直线的距离,其中,.故曲线上的点到直线距离的最大值,曲线上的点到直线的距离的最小值.【点睛】本题主要考查极坐标和直角坐标的转化及最值问题,椭圆上的点到直线的距离的最值求解优先考虑参数方法,侧重考查数学运算的核心素养.18、(1);(2)【解析】

(1)消去参数,将圆的参数方程,转化为普通方程,再由圆心到直线的距离等于半径,可求得圆的普通方程,最后利用求得圆的极坐标方程.(2)利用圆的参数方程以及辅助角公式,由此求得的面积的表达式,再由三角函数最值的求法,求得三角形面积的最大值.【详解】(1)由题意得:,:因为曲线和相切,所以,即:;(2)设,所以所以当时,面积最大值为【点睛】本小题主要考查参数方程转化为普通方程,考查直角坐标方程转化为极坐标方程,考查利用参数的方法求三角形面积的最值,属于中档题.19、(1),;(2)详见解析.【解析】

(1)当时,,当时,,当时,也满足,∴,∵等比数列,∴,∴,又∵,∴或(舍去),∴;(2)由(1)可得:,∴,显然数列是递增数列,∴,即.)20、(1);(2)见解析.【解析】

(1)根据函数的最小正周期可求出的值,由该函数的最大值可得出的值,再由,结合的取值范围可求得的值,由此可得出函数的解析式;(2)由计算出的取值范围,据此列表、描点、连线可得出函数在区间上的图象.【详解】(1)因为函数的最小正周期是,所以.又因为当时,函数取得最大值,所以,同时,得,因为,所以,所以;(2)因为,所以,列表如下:描点、连线得图象:【点睛】本题考查正弦函数解析式的求解,同时也考查了利用五点作图法作图,考查分析问题与解决问题的能力,属于中等题.21、;,.【解析】

由题意,可得,利用矩阵的知识求解即可.矩阵的特征多项式为,令,求出矩阵的特征值.【详解】设矩阵,则,所以,解得,,,,所以矩阵;矩阵的特征多项式为,令,解得,,

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