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文档简介

山东省枣庄市滕州市第一中学2025届高三第四次模拟考试数学试卷注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。4.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知等比数列的各项均为正数,设其前n项和,若(),则()A.30 B. C. D.622.如图,抛物线:的焦点为,过点的直线与抛物线交于,两点,若直线与以为圆心,线段(为坐标原点)长为半径的圆交于,两点,则关于值的说法正确的是()A.等于4 B.大于4 C.小于4 D.不确定3.点为棱长是2的正方体的内切球球面上的动点,点为的中点,若满足,则动点的轨迹的长度为()A. B. C. D.4.已知复数为虚数单位),则z的虚部为()A.2 B. C.4 D.5.已知实数,满足,则的最大值等于()A.2 B. C.4 D.86.tan570°=()A. B.- C. D.7.已知等差数列的前项和为,若,,则数列的公差为()A. B. C. D.8.已知双曲线与双曲线没有公共点,则双曲线的离心率的取值范围是()A. B. C. D.9.已知,,则()A. B. C.3 D.410.设α,β为两个平面,则α∥β的充要条件是A.α内有无数条直线与β平行B.α内有两条相交直线与β平行C.α,β平行于同一条直线D.α,β垂直于同一平面11.已知变量的几组取值如下表:12347若与线性相关,且,则实数()A. B. C. D.12.在关于的不等式中,“”是“恒成立”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.设直线过双曲线的一个焦点,且与的一条对称轴垂直,与交于两点,为的实轴长的2倍,则双曲线的离心率为.14.在的二项展开式中,所有项的二项式系数之和为256,则_______,项的系数等于________.15.已知关于的方程在区间上恰有两个解,则实数的取值范围是________16.正方体的棱长为2,是它的内切球的一条弦(我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦),为正方体表面上的动点,当弦的长度最大时,的取值范围是______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)为了整顿道路交通秩序,某地考虑将对行人闯红灯进行处罚.为了更好地了解市民的态度,在普通行人中随机选取了200人进行调查,当不处罚时,有80人会闯红灯,处罚时,得到如表数据:处罚金额(单位:元)5101520会闯红灯的人数50402010若用表中数据所得频率代替概率.(1)当罚金定为10元时,行人闯红灯的概率会比不进行处罚降低多少?(2)将选取的200人中会闯红灯的市民分为两类:类市民在罚金不超过10元时就会改正行为;类是其他市民.现对类与类市民按分层抽样的方法抽取4人依次进行深度问卷,则前两位均为类市民的概率是多少?18.(12分)如图,在四面体中,.(1)求证:平面平面;(2)若,二面角为,求异面直线与所成角的余弦值.19.(12分)已知数列满足:对一切成立.(1)求数列的通项公式;(2)求数列的前项和.20.(12分)已知椭圆的右焦点为,过作轴的垂线交椭圆于点(点在轴上方),斜率为的直线交椭圆于两点,过点作直线交椭圆于点,且,直线交轴于点.(1)设椭圆的离心率为,当点为椭圆的右顶点时,的坐标为,求的值.(2)若椭圆的方程为,且,是否存在使得成立?如果存在,求出的值;如果不存在,请说明理由.21.(12分)为了解甲、乙两个快递公司的工作状况,假设同一个公司快递员的工作状况基本相同,现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员,并从两人某月(30天)的快递件数记录结果中随机抽取10天的数据,整理如下:甲公司员工:410,390,330,360,320,400,330,340,370,350乙公司员工:360,420,370,360,420,340,440,370,360,420每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下:甲公司规定每件0.65元,乙公司规定每天350件以内(含350件)的部分每件0.6元,超出350件的部分每件0.9元.(1)根据题中数据写出甲公司员工在这10天投递的快件个数的平均数和众数;(2)为了解乙公司员工每天所得劳务费的情况,从这10天中随机抽取1天,他所得的劳务费记为(单位:元),求的分布列和数学期望;(3)根据题中数据估算两公司被抽取员工在该月所得的劳务费.22.(10分)已知的内角,,的对边分别为,,,且.(1)求;(2)若的面积为,,求的周长.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】

根据,分别令,结合等比数列的通项公式,得到关于首项和公比的方程组,解方程组求出首项和公式,最后利用等比数列前n项和公式进行求解即可.【详解】设等比数列的公比为,由题意可知中:.由,分别令,可得、,由等比数列的通项公式可得:,因此.故选:B【点睛】本题考查了等比数列的通项公式和前n项和公式的应用,考查了数学运算能力.2、A【解析】

利用的坐标为,设直线的方程为,然后联立方程得,最后利用韦达定理求解即可【详解】据题意,得点的坐标为.设直线的方程为,点,的坐标分别为,.讨论:当时,;当时,据,得,所以,所以.【点睛】本题考查直线与抛物线的相交问题,解题核心在于联立直线与抛物线的方程,属于基础题3、C【解析】

设的中点为,利用正方形和正方体的性质,结合线面垂直的判定定理可以证明出平面,这样可以确定动点的轨迹,最后求出动点的轨迹的长度.【详解】设的中点为,连接,因此有,而,而平面,,因此有平面,所以动点的轨迹平面与正方体的内切球的交线.正方体的棱长为2,所以内切球的半径为,建立如下图所示的以为坐标原点的空间直角坐标系:因此有,设平面的法向量为,所以有,因此到平面的距离为:,所以截面圆的半径为:,因此动点的轨迹的长度为.故选:C【点睛】本题考查了线面垂直的判定定理的应用,考查了立体几何中轨迹问题,考查了球截面的性质,考查了空间想象能力和数学运算能力.4、A【解析】

对复数进行乘法运算,并计算得到,从而得到虚部为2.【详解】因为,所以z的虚部为2.【点睛】本题考查复数的四则运算及虚部的概念,计算过程要注意.5、D【解析】

画出可行域,计算出原点到可行域上的点的最大距离,由此求得的最大值.【详解】画出可行域如下图所示,其中,由于,,所以,所以原点到可行域上的点的最大距离为.所以的最大值为.故选:D【点睛】本小题主要考查根据可行域求非线性目标函数的最值,考查数形结合的数学思想方法,属于基础题.6、A【解析】

直接利用诱导公式化简求解即可.【详解】tan570°=tan(360°+210°)=tan210°=tan(180°+30°)=tan30°=.故选:A.【点睛】本题考查三角函数的恒等变换及化简求值,主要考查诱导公式的应用,属于基础题.7、D【解析】

根据等差数列公式直接计算得到答案.【详解】依题意,,故,故,故,故选:D.【点睛】本题考查了等差数列的计算,意在考查学生的计算能力.8、C【解析】

先求得的渐近线方程,根据没有公共点,判断出渐近线斜率的取值范围,由此求得离心率的取值范围.【详解】双曲线的渐近线方程为,由于双曲线与双曲线没有公共点,所以双曲线的渐近线的斜率,所以双曲线的离心率.故选:C【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线,考查双曲线离心率的取值范围的求法,属于基础题.9、A【解析】

根据复数相等的特征,求出和,再利用复数的模公式,即可得出结果.【详解】因为,所以,解得则.故选:A.【点睛】本题考查相等复数的特征和复数的模,属于基础题.10、B【解析】

本题考查了空间两个平面的判定与性质及充要条件,渗透直观想象、逻辑推理素养,利用面面平行的判定定理与性质定理即可作出判断.【详解】由面面平行的判定定理知:内两条相交直线都与平行是的充分条件,由面面平行性质定理知,若,则内任意一条直线都与平行,所以内两条相交直线都与平行是的必要条件,故选B.【点睛】面面平行的判定问题要紧扣面面平行判定定理,最容易犯的错误为定理记不住,凭主观臆断,如:“若,则”此类的错误.11、B【解析】

求出,把坐标代入方程可求得.【详解】据题意,得,所以,所以.故选:B.【点睛】本题考查线性回归直线方程,由性质线性回归直线一定过中心点可计算参数值.12、C【解析】

讨论当时,是否恒成立;讨论当恒成立时,是否成立,即可选出正确答案.【详解】解:当时,,由开口向上,则恒成立;当恒成立时,若,则不恒成立,不符合题意,若时,要使得恒成立,则,即.所以“”是“恒成立”的充要条件.故选:C.【点睛】本题考查了命题的关系,考查了不等式恒成立问题.对于探究两个命题的关系时,一般分成两步,若,则推出是的充分条件;若,则推出是的必要条件.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】

不妨设双曲线,焦点,令,由的长为实轴的二倍能够推导出的离心率.【详解】不妨设双曲线,焦点,对称轴,由题设知,因为的长为实轴的二倍,,,,故答案为.【点睛】本题主要考查利用双曲线的简单性质求双曲线的离心率,属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析,既使不画出图形,思考时也要联想到图形,当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时,要理清它们之间的关系,挖掘出它们之间的内在联系.求离心率问题应先将用有关的一些量表示出来,再利用其中的一些关系构造出关于的等式,从而求出的值.14、81【解析】

根据二项式系数和的性质可得n,再利用展开式的通项公式求含项的系数即可.【详解】由于所有项的二项式系数之和为,,故的二项展开式的通项公式为,令,求得,可得含x项的系数等于,故答案为:8;1.【点睛】本题主要考查二项式定理的应用,二项式系数的性质,二项式展开式的通项公式,属于中档题.15、【解析】

先换元,令,将原方程转化为,利用参变分离法转化为研究两函数的图像交点,观察图像,即可求出.【详解】因为关于的方程在区间上恰有两个解,令,所以方程在上只有一解,即有,直线与在的图像有一个交点,由图可知,实数的取值范围是,但是当时,还有一个根,所以此时共有3个根.综上实数的取值范围是.【点睛】本题主要考查学生运用转化与化归思想的能力,方程有解问题转化成两函数的图像有交点问题,是常见的转化方式.16、【解析】

由弦的长度最大可知为球的直径.由向量的线性运用表示出,即可由范围求得的取值范围.【详解】连接,如下图所示:设球心为,则当弦的长度最大时,为球的直径,由向量线性运算可知正方体的棱长为2,则球的半径为1,,所以,而所以,即故答案为:.【点睛】本题考查了空间向量线性运算与数量积的运算,正方体内切球性质应用,属于中档题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)降低(2)【解析】

(1)计算出罚金定为10元时行人闯红灯的概率,和不进行处罚时行人闯红灯的概率,求解即可;(2)闯红灯的市民有80人,其中类市民和类市民各有40人,根据分层抽样法抽出4人依次排序,计算所求的概率值.【详解】解:(1)当罚金定为10元时,行人闯红灯的概率为;不进行处罚,行人闯红灯的概率为;所以当罚金定为10元时,行人闯红灯的概率会比不进行处罚降低;(2)由题可知,闯红灯的市民有80人,类市民和类市民各有40人故分别从类市民和类市民各抽出两人,4人依次排序记类市民中抽取的两人对应的编号为,类市民中抽取的两人编号为则4人依次排序分别为,,,,,,,,,,,,共有种前两位均为类市民排序为,,有种,所以前两位均为类市民的概率是.【点睛】本题主要考查了计算古典概型的概率,属于中档题.18、(1)证明见解析(2)【解析】

(1)取中点连接,得,可得,可证,可得,进而平面,即可证明结论;(2)设分别为边的中点,连,可得,,可得(或补角)是异面直线与所成的角,,可得,为二面角的平面角,即,设,求解,即可得出结论.【详解】(1)证明:取中点连接,由则,则,故,,平面,又平面,故平面平面(2)解法一:设分别为边的中点,则,(或补角)是异面直线与所成的角.设为边的中点,则,由知.又由(1)有平面,平面,所以为二面角的平面角,,设则在中,从而在中,,又,从而在中,因,,因此,异面直线与所成角的余弦值为.解法二:过点作交于点由(1)易知两两垂直,以为原点,射线分别为轴,轴,轴的正半轴,建立空间直角坐标系.不妨设,由,易知点的坐标分别为则显然向量是平面的法向量已知二面角为,设,则设平面的法向量为,则令,则由由上式整理得,解之得(舍)或,因此,异面直线与所成角的余弦值为.【点睛】本题考查空间点、线、面位置关系,证明平面与平面垂直,考查空间角,涉及到二面角、异面直线所成的角,做出空间角对应的平面角是解题的关键,或用空间向量法求角,意在考查直观想象、逻辑推理、数学计算能力,属于中档题.19、(1);(2)【解析】

(1)先通过求得,再由得,和条件中的式子作差可得答案;(2)变形可得,通过裂项求和法可得答案.【详解】(1)①,当时,,,当时,②,①②得:,,适合,故;(2),.【点睛】本题考查法求数列的通项公式,考查裂项求和,是基础题.20、(1);(2)不存在,理由见解析【解析】

(1)写出,根据,斜率乘积为-1,建立等量关系求解离心率;(2)写出直线AB的方程,根据韦达定理求出点B的坐标,计算出弦长,根据垂直关系同理可得,利用等式即可得解.【详解】(1)由题可得,过点作直线交椭圆于点,且,直线交轴于点.点为椭圆的右顶点时,的坐标为,即,,化简得:,即,解得或(舍去),所以;(2)椭圆的方程为,由(1)可得,联立得:,设B的横坐标,根据韦达定理,即,,所以,同理可得若存在使得成立,则,化简得:,,此方程无解,所以不存在使得成立.【点睛】此题考查求椭圆离心率,根据直线与椭圆的位置关系解决弦长问题,关键在于熟练掌握解析

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