四川省眉山市第一中学2024-2025学年高一上学期12月期中考试数学试题

2024级高一上学期半期考试数学试卷第I卷（选择题）一、单选题选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）.A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】结合交集的概念，解方程组即可得解.【详解】令或，所以.故选：B.2.下列四组函数中，表示同一函数的一组是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据同一函数的判定方法，结合定义域和对应法则，逐项判定，即可求解.【详解】对于A中，函数与的定义域不同，所以两个函数不是同一函数；对于B中，函数和，两个函数的定义域相同，对应关系也相同，所以两个函数是同一函数；对于C中，函数满足，解得，即函数的定义域为，函数的定义域为，两个函数的定义域不同，所以不是同一函数；对于D中，函数满足，解得，即函数的定义域，函数的定义域为，两个函数的定义域不同，所以不是同一函数.故选：B3.已知函数的定义域为，则函数的定义域为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据具体函数和抽象函数的定义域，即可求解.【详解】由题意可知，，解得：，所以函数的定义域为.故选：D4.下列函数中，值域为的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用函数值域的求解方法求解.【详解】对于A，因为，所以，故A错误；对于B，，因为，所以，故B正确；对于C，，当且仅当即时等号成立，故C错误；对于D，因为，所以，故，过于，故D错误.故选：B5.若，则下列不等式一定成立的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】A利用不等式的基本性质判断；B、C、D、利用特殊值判断.【详解】A.因为，所以，则，故正确；B.当时，，故错误；C.当时，，故错误；D当时，，故错误；故选：A6.若关于的不等式的解集为，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由一元二次不等式的解法求解.【详解】解：因为不等式的解集为，所以，解得，故选：C7.对，表示不超过的最大整数，如，，，我们把，叫做取整函数，也称之为高斯（Gaussian）函数，也有数学爱好者形象的称其为“地板函数”，早在十八世纪，人类史上伟大的数学家，哥廷根学派的领袖约翰·卡尔·弗里德里希·高斯（JohannCarlFriedriChGaussian）最先提及，因此而得名“高斯（Gaussian）函数”．在现实生活中，这种“截尾取整”的高斯函数有着广泛的应用，如停车收费、EXCEL电子表格，在数学分析中它出现在求导、极限、定积分、级数等等各种问题之中．则不等式成立的充分不必要条件是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】解不等式得到，确定，对比选项得到答案.【详解】，则，故或，，对比选项知：成立的一个充分必要条件是，其他选项不满足.故选：B.8.已知函数的图象关于对称，且对，，当，且时，成立，若对任意恒成立，则实数的可能取值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意得函数为偶函数，且在上为单调递增函数，题意转化为对任意恒成立，分类讨论当时，得到，利用基本不等式，当时，符合题意，即可得出答案．【详解】解：函数的图象关于对称，函数的图象关于对称，即函数为偶函数，又当，且时，成立，函数在上为单调递增函数，又对任意恒成立，则对任意恒成立，当时，恒成立；当时，，，当且仅当时，即时，等号成立，，即实数的取值范围为，故D正确，A、B、C错误．故选：D．二、多选题本题共4小题：每小题6分，共24分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知函数是在上的减函数，则实数的取值可以是（）A.4 B.5 C. D.7【答案】AB【解析】【分析】分段函数在R上单调递减，函数在函数和均单调递减，且，得的范围即可.【详解】解：因为函数是在R上的减函数，所以，解之得，所以的取值可以是4，5.故选：AB.10.有下列几个命题，其中正确的是（）A.函数y＝2x2＋x＋1在(0，＋∞)上是增函数B.函数y＝在(－∞，－1)∪(－1，＋∞)上是减函数C.函数y＝的单调区间是[－2，＋∞)D.已知函数g(x)＝是奇函数，则f(x)＝2x＋3【答案】AD【解析】【分析】根据简单函数的单调性，复合函数的单调性，以及由函数奇偶性求函数解析式，即可容易判断和选择.【详解】由y＝2x2＋x＋1＝2在上递增知，函数y＝2x2＋x＋1在(0，＋∞)上是增函数，故A正确；y＝在(－∞，－1)，(－1，＋∞)上均是减函数，但在(－∞，－1)∪(－1，＋∞)上不是减函数，如－2<0，但故B错误；y＝在上无意义，从而在[－2，＋∞)上不是单调函数，故C错误；设x<0，则－x>0，g(－x)＝－2x－3，因为g(x)为奇函数，所以f(x)＝g(x)＝－g(－x)＝2x＋3，故D正确．故选：.【点睛】本题考查函数单调区间的求解，复合函数的单调性判断以及利用函数奇偶性求函数解析式，属中档题.11.定义在上的偶函数满足：，且对于任意，，若函数，则下列说法正确的是（）A.在上单调递增 B.C.在上单调递减 D.若正数满足，则【答案】ABD【解析】【分析】根据函数的单调性判断、的单调性判断AC，根据单调性比较大小判断B，根据单调性解不等式判断D.【详解】对于任意，，所以，所以在上单调递增，故选项A正确；因为的定义域为，所以，所以为奇函数，所以，由在上单调递增，所以，故选项B正确；对于任意，，因为，，所以，所以，所以在上单调递增，故选项C错误；，即，又，所以，因为在上单调递增，所以，解得，即，故选项D正确.故选：ABD第II卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.12.幂函数在0,+∞上单调递增，则的图象过定点__________.【答案】【解析】【分析】利用幂函数概念知系数必为1，再由幂函数递增知幂指数大于0，从而解得，再利用指数函数必过点0,1来求出函数过的定点.【详解】由幂函数在0,+∞上单调递增可知：，解得，则，此时当时，，所以则的图象过定点，故答案为：.13.______.【答案】##8.5【解析】【分析】利用指数幂的运算性质即可得到结果.【详解】.故答案为：14.已知中有且仅有一个元素，则的最小值为___.【答案】##【解析】【分析】先利用题给条件求得之间的关系，再利用均值定理即可求得M的最小值.【详解】当时，，，不符合题意；当时，由中有且仅有一个元素，可得，且，则，则令，则，，则（当且仅当，即时等号成立）则的最小值为.故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.使不等式对一切实数x恒成立的k的取值范围记为集合A，集合．（1）求集合A；（2）若“”是“的必要不充分条件，求实数m的取值范围．【答案】（1）（2）m的取值范围为.【解析】【分析】（1）由题设不等式恒成立有恒成立，即可求k范围，由此确定集合A；（2）根据必要不充分条件的定义可得，分别在和条件下列不等式求m的取值范围．.【小问1详解】因为对一切实数x恒成立，所以，所以，即.【小问2详解】因为“”是“的必要不充分条件，所以，又，当时，即时，，满足关系，，所以，当时，即时，，由，可得且，又，所以，当时，，符合要求，所以m的取值范围为.16.函数是定义在上的奇函数，且．（1）求的解析式；（2）判断并证明的单调性；（3）解不等式．【答案】（1），（2）函数在上单调递增，证明见解析（3）【解析】【分析】（1）由已知得，求出，的值，即可求得函数的解析式，再检验即可；（2）根据函数单调性的定义可证明；（3）根据函数的单调性和奇偶性建立不等式组，求解即可.【小问1详解】由函数是定义在上的奇函数，得，解得，经检验，时，，所以是上的奇函数，满足题意，又，解得，故，；小问2详解】函数在上单调递增，证明如下：任取且，则，因为且，所以，，，，，所以，所以，即，所以在上单调递增.【小问3详解】因为为奇函数，所以，由（2）可知在上单调递增所以，解得，即不等式的解集为.17.已知函数是定义在R上的偶函数，且当时，．（1）已知函数的部分图象如图所示，请根据条件将图象补充完整，并写出函数的单调递增区间；（2）写出函数的解析式；（3）若关于的方程有4个不相等的实数根，求实数的取值范围；（只需写出结论）（4）求函数y=fx在时的值域．【答案】（1）图象见解析，（2）（3）（4）答案见解析【解析】【分析】（1）根据偶函数的图象关于轴对称，可得函数的完整图象，再根据函数图象写出函数的单调增区间.（2）根据偶函数的性质，求函数解析式.（3）结合图象，可得方程有4个不相等的实数根时，实数的取值范围.（4）分类讨论，弄清函数在上的单调性，求函数值域.【小问1详解】函数的图象如图：单调递增区间为【小问2详解】因为是定义在R上的偶函数，所以.设，则，所以所以当时，.的解析式为.【小问3详解】关于的方程有个不相等的实数根，等价于与的图象有个交点结合图象可知，当时，与的图象有个交点所以.【小问4详解】当时，在单调递减，而，最小值为∴的值域为当时，在单调上递减，在上单调递增所以最小值为1，<=0∴的值域为当时，在单调上递减，在上单调递增所以最小值为1，最大值为∴的值域为综上可得的值域为：当时，值域为；当，值域为当时，值域为.18.已知函数是定义域为上的奇函数.（1）求的值；（2）用定义法证明函数的单调性，并求不等式的解集；（3）若在上的最小值为，求的值.【答案】（1）；（2）证明见解析，；（3）．【解析】【分析】（1）因为是定义域为上的奇函数，根据奇函数性质，结合已知，即可求得答案；（2）先根据定义法判断的单调性，结合奇函数性质，即可求解不等式的解集；（3）因为，令，可得，分别讨论和，即可求得的值.【详解】（1）是定义域为上的奇函数，根据奇函数性质可得当时，可得即：解得：（2）由（1）可得：可知的定义为在上任取，且，即在上单调递增，可化简为：，即，解得或．不等式的解集为．（3）．令，则．，．当时，则当时，，解得；当时，则当时，，解得，(舍去)．综上所述，．【点睛】关键点点睛：本题主要考查了根据奇偶性和单调性解不等式和根据函数最值求参数，解题关键是掌握定义法判断函数单调性的步骤和根据函数最值求参数的方法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.19.设函数．（1）若，且集合中有且只有一个元素，求实数的取值集合；（2）时，求不等式的解集；（3）当时，记不等式的解集为，集合，若对于任意正数，，求的最大值．【答案】（1）；（2）答案见解析；（3）【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根的情况即可求解.（2