河南省濮阳市2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题

绝密★启用前2024—2025学年上学期高二年级期中考试数学考生注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知直线的倾斜角为，且经过点，则的方程为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出直线的斜率，由点斜式方程可得直线方程.【详解】由题意，直线的斜率为，又过点，故其方程为，即.故选：B.2.在空间直角坐标系中，直线过点且以为方向向量，为直线上的任意一点，则点的坐标满足的关系式是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】求出向量，再利用空间向量共线的充要条件列式判断即得.【详解】依题意，，，则，所以点的坐标满足的关系式是.故选：C.3.若圆过，两点，则当圆的半径最小时，圆的标准方程为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据给定条件，求出以为直径的圆的方程即可.【详解】依题意，线段的中点，，圆过，两点，当圆的半径最小时，线段为圆的直径，所以圆的标准方程为.故选：D4.在四面体中，为棱的中点，为线段的中点，若，则（）A. B.1 C.2 D.3【答案】C【解析】【分析】根据空间向量的线性运算即可求解.【详解】如图，，又，所以，则.故选：C5.若直线与圆相离，则点（）A.在圆外 B.在圆内C.在圆上 D.位置不确定【答案】B【解析】【分析】利用点线距离公式及到的距离，即可判断点与圆位置关系.【详解】由题意，到的距离，即，所以在在圆内.故选：B6.已知直线经过点，且与圆：相交于，两点，若，则直线的方程为（）A.或 B.或C.或 D.或【答案】A【解析】【分析】根据弦长，利用垂径定理求出圆心到直线的距离.然后分直线斜率存在与不存在两种情况来求直线的方程.【详解】已知弦长，半径.根据垂径定理知圆心到直线的距离为.把，代入可得.当直线的斜率不存在时，直线方程为，此时圆心到直线的距离为，所以直线斜率不存在时不满足条件.当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即.根据点到直线距离公式，由圆心到直线的距离，可得.对进行求解.两边平方得，展开得.解得或.当时，直线的方程为，即.当时，直线的方程为，即.故选：A.7.曲线的周长为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分类讨论写出圆的标准方程，画出图得出结论.【详解】曲线曲线的图像如图所示：该图是以四个点为圆心，半径为的四个半圆，所以该图的周长为：.故选：B8.如图，在多面体中，底面是边长为1的正方形，为底面内的一个动点（包括边界），底面底面，且，则的最小值与最大值分别为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意可得两两垂直，所以以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，设，然后表示出化简可求得结果.【详解】因为底面平面，所以,因为四边形为正方形，所以，所以两两垂直，所以以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，设，则，所以，因为，所以当时，取得最小值；当或1，或1时，取得最大值4故选：A二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（）A.，， B.，，C.，， D.，，【答案】BD【解析】【分析】根据给定条件，利用共面向量定理逐项判断即得.【详解】由构成空间的一个基底，得向量不共面，对于A，若向量，，共面，则存在实数对使得，即，则向量共面，矛盾，，，不共面，A不是；对于C，由，得，，共面，B是；对于C，若，，共面，则存在实数对使得，于是，此方程组无解，向量，，不共面，C不是；对于D，由，得向量，，共面，D是.故选：BD10.已知直线的方程为，则下列结论正确的是（）A.点不可能在直线上B.直线恒过点C.若点到直线的距离相等，则D.直线上恒存在点，满足【答案】ABD【解析】【分析】当时，即可判断A；将线方程可化为，即可判断B；利用点线的距离公式计算即可判断C；利用平面向量的坐标表示求出点的轨迹方程，证明点在圆的内部即可判断D.【详解】A：当时，，所以点不可能在直线上，故A正确；B：直线方程可化为，所以直线恒过定点，故B正确；C：因为点到直线的距离相等，所以，解得或，故C错误；D：设，则，所以，整理得，即点的轨迹方程为.又直线恒过定点，且，所以点在圆的内部，所以直线与圆恒有公共点，即直线上恒存在点，满足，故D正确.故选：ABD11.如图，在三棱锥中，平面分别为的中点，是的中点，是线段上的动点，则（）A.存在，使得B.不存在点，使得C.的最小值为D.异面直线与所成角的余弦值为【答案】BCD【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法一一计算可得.【详解】如图建立空间直角坐标系，则，，E0,0,1，，，，所以，，，因为，则，方程无解，故不存在、使得，故A错误；因为是线段上的动点，设，所以，，所以，所以不存在点，使得，故B正确；因为，所以当时取得最小值，即，故C正确；因为，，所以，所以异面直线与所成角的余弦值为，故D正确.故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在空间直角坐标系中，点与关于原点对称，则点的坐标为__________.【答案】【解析】分析】根据给定条件，利用对称性列式计算得解.【详解】依题意，，解得，所以点的坐标为.故答案为：13.若圆关于直线对称，则点与圆心的距离的最小值是__________.【答案】【解析】【分析】根据题意得到，再利用数形结合思想将问题转化为圆心到直线的距离.【详解】由题意可知直线经过圆心，所以，即，点到圆心距离最小值就是圆心到直线的距离的最小值，又圆心到直线距离.故答案为：14.古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中有这样一个结论：平面内与两点距离的比为常数（）的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆.已知点，为直线：上的动点，为圆：上的动点，则的最小值为_____.【答案】【解析】【分析】根据阿波罗尼斯圆的定义可设，利用待定系数法得的坐标为，即可根据三点共线，结合点到直线的距离公式即可求解.【详解】令，则，依题意，圆是由点，确定的阿波罗尼斯圆，且，设点坐标为，则，整理得，而该圆的方程为，则，解得，点的坐标为，因此，当时，最小，最小值为，所以当时，的值最小为.故答案为：【点睛】关键点点睛：根据的形式，设，则，利用阿波罗尼斯圆的定义待定出点，即可利用点到直线的距离求解.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知圆的圆心在直线和直线的交点上，且圆过点.（1）求圆的方程；（2）若圆的方程为，判断圆与圆的位置关系.【答案】（1）（2）圆与圆相交.【解析】【分析】（1）先求出两直线的交点，结合两点的距离公式和圆的标准方程计算即可求解；（2）由题意知的圆心为，半径，结合两圆的位置关系即可下结论.【小问1详解】由，得，即圆心坐标为.，圆的方程为.【小问2详解】由（1）知，圆的圆心为，半径.圆的方程可化为，则圆的圆心为，半径.，，圆与圆相交.16.如图，在四棱锥中，四边形是矩形，为的中点.（1）证明：；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据已知数据结合勾股定逆定理可证得，，然后利用线面垂直的判定定理得平面，再由线面垂直的性质可证得结论；（2）由题意可得两两垂直，所以以为坐标原点，直线分别为轴､轴､轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量求解即可.【小问1详解】证明：，，.，，.平面，平面，又平面，.【小问2详解】解：四边形是矩形，，平面，平面，，所以以为坐标原点，直线分别为轴､轴､轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，.设平面的法向量为n=x,y,z则，令，可得，平面的一个法向量为.设直线与平面所成的角为，则，直线与平面所成角的正弦值为.17.已知直线：.（1）若直线与.平行，且之间的距离为，求的方程；（2）为上一点，点，，求取得最大值时点的坐标.【答案】（1）或；（2）【解析】【分析】（1）设出直线m的方程，利用平行线间距离公式列式求解.（2）求出点关于直线的对称点坐标，结合图形，利用线段和差关系确定点位置，进而求出其坐标.【小问1详解】由直线m与平行，设直线m方程为，由m，之间的距离为，得，解得或，所以直线m的方程为或.【小问2详解】设点关于直线：的对称点为，则，解得，即，而，当且仅当三点共线时取等号，直线的方程为，即，由，解得，点，所以取得最大值时点P的坐标.18.如图，在斜三棱柱中，平面平面是边长为2的等边三角形，为的中点，且为的中点，为的中点，.（1）设向量为平面的法向量，证明：；（2）求点到平面的距离；（3）求平面与平面夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）（3）【解析】【分析】（1）先建立空间直角坐标系，应用面面垂直性质定理得出平面，进而得出法向量,最后应用空间向量数量积运算即可；（2）应用空间向量法求法向量及向量应用公式运算即可；（3）应用空间向量法求二面角余弦值即可.【小问1详解】如图，连接.，平面平面，平面平面平面，平面.是边长为2的等边三角形，.以为坐标原点，直线分别为轴､轴､轴建立空间直角坐标系，则，.是平面的一个法向量，令.，，.【小问2详解】.设平面的法向量为，则令，可得，平面的一个法向量为，点到平面的距离为.【小问3详解】.设平面的法向量为，则令，可得，平面的一个法向量为.由（2）可知平面的一个法向量为.设平面与平面的夹角为，则，平面与平面夹角的余弦值为..19.在平面直角坐标系中，定义为两点，的“切比雪夫距离”，又设点P及直线上任意一点Q，称的最小值为点P到的“切比雪夫距离”，记作.（1）已知点和点，直线：，求和.（2）已知圆C：和圆E：.（i）若两圆心的切比雪夫距离，判断圆C和圆E的位置关系；（ii）若，圆E与x轴交于M，N两点，其中点M在圆C外，且，过点M任作一条斜率不为0的直线与圆C交于A，B两点，记直线为，直线为，证明：.【答案】（1），；（2）（i）内切；（ii）证明见解析．【解析】【分析】（1）根据新定义直接计算，设是上一点，分类讨论计算出，再确定最小值得；（2）（i）求出圆心坐标，根据切比雪夫距离的定义，由或求得参数，并检验是否满足题意，然后根据圆心距判断两圆位置关系；（ii）由已知求出，得出两点坐标，设直线方程为，，直线方程代入圆方程后，应用韦达定理得，从而证明，得直线与关于轴对称，然后由直线上任意一点与直线上点关于轴对称，它们是一一对应的关系，且，则其最小值也相等，从而证得结论成立，【小问1详解】，，，所以，直线方程为，是上一点，，当，即时，，当t−1>2，即或时，，所以的最小值是2，所以；【小问2详解】（i）圆标准方程是，圆心为，半径为2，圆的圆心为，半径为，，若，则或，时，，不合题意，时，，满足题意，此时，，因此两圆内切；若，则或，时，，不合题意，时，，满足题意，此时，，两圆内切．所以圆C和圆E内切；（ii）圆E与x轴交于M，N两点，则方程，即（*）有两个不等的实数解，所以Δ=4a2−4(2a2−3a−4)>0，方程（*）的两解为，则，由韦达定理有，所以，解得或（舍去），时方程（*）为，解得，，交点为和，点M在圆C外，则MC>2，因此，，设直线的方程为