高考数学二轮复习数列中的增减项问题课件

培优拓展(八)数列中的增减项问题数列中的增减项,是指由已知的数列通过插入项、剔除项或合并项等得到新的数列,再研究新数列的求和等问题,是高考命题的热点.解决此类问题的关键,是弄清楚新生成的数列与已知数列的关系,确定其特征,并根据题意和要求解题.角度一数列中的减项问题例1已知数列{an}是等差数列,前n项和为Sn;数列{bn}是各项均为正数的等比数列,前n项和为Tn;且a2=b2=4,a8=b4=16.(1)分别求数列{an},{bn}的通项公式和前n项和Sn,Tn;(2)若将数列{an}中出现的数列{bn}的项剔除后,剩余的项从小到大排列得到数列{cn},记数列{cn}的前n项和为Kn,求K2021.(2)将数列{an}中出现的数列{bn}的项剔除后,剩余的项从小到大排列得到数列{cn},∵b11=211=2

048<a2

021=4

042,b12=212=4

096>a2

021=4

042,b12=212=4

096>a2

032=4

064,∴数列{cn}的前2

021项和需要从数列{an}的前2

032项和中剔除{bn}的前11项,∴K2

021=S2

032-T11=2

0322+2

032-212+2=4

126

962.角度二数列中的并项问题例2设Sn为数列{an}的前n项和,a2=7,且对任意的自然数n,恒有an+3=(1)求数列{an}的通项公式;(2)若集合A={x|x=an,n∈N*},B={x|x=3n,n∈N*},将集合A∪B中的所有元素按从小到大的顺序排列构成数列{bn},记数列{bn}的前n项和为Tn,求T102的值.可得n=1时,a1=2a1-3,解得a1=3;n=2时,2a2=2S2-6=2(a1+a2)-6,解得a1=3;n=3时,3a3=2S3-9=2(a1+a2+a3)-9,解得a3=11.当n≥2时,由an+3=,得nan=2Sn-3n,得(n-1)an-1=2Sn-1-3(n-1),两式相减可得(n-2)an=(n-1)an-1-3,当n≥3时,由上式得(n-3)an-1=(n-2)·an-2-3,上面两式相减可得an+an-2=2an-1,n≥3,且a1+a3=2a2,所以数列{an}是首项为3,公差为4的等差数列,所以an=3+4(n-1)=4n-1.(2)因为集合A={x|x=4n-1,n∈N*},B={x|x=3n,n∈N*},所以集合A∪B中的所有元素的最小值为3,因为35=243<a100=399,且3,32,33,34,35中,3,33,35三个元素是{bn}前102项中的元素,也是A∩B中的元素,所以T102=a1+a2+a3+…+a100+9+81=×100×(3+400-1)+90=20

190.角度三数列中的插项问题例3(2024江苏南京模拟)已知各项均为正数的数列{an}中,a1=1且满足

=2an+2an+1,数列{bn}的前n项和为Sn,满足2Sn+1=3bn.(1)求数列{an},{bn}的通项公式;(2)若在bk与bk+1之间依次插入数列{an}中的k项构成新数列{cn}:b1,a1,b2,a2,a3,b3,a4,a5,a6,b4,…,求数列{cn}中前50项的和T50.针对训练1.(2024广东梅州一模)设{an}是等差数列,{bn}是等比数列.已知a1=b1=4,b2=a2+1,b3=2a3-4.(1)求{an}和{bn}的通项公式;(2)数列{an}和{bn}的项从小到大依次排列(相等项计两项)得到新数列{cn},求{cn}的前50项的和.解

(1)设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q,所以an=3n+1,bn=2n+1.(2)由an=3n+1,bn=2n+1,可得{cn}的前50项中有3个相同的项,为4,16,64.所以当数列{cn}的前50项中含有数列{bn}的前5项时,令3n+1=25+1=64,得n=21,则{cn}的第26项为64,当数列{cn}的前50项中含有数列{bn}的前6项时,令3n+1<