111正切教案20242025学年北师大版数学九年级下册

第一章直角三角形的边角关系1锐角三角函数第1课时正切一、教学目标1.理解锐角的三角函数中正切的概念及其与现实生活的联系；2.能在直角三角形中求出某个锐角的正切值，并进行简单计算；3.了解坡度、坡角的概念，能解决与坡度、坡角有关的简单实际问题二、教学重难点重点：理解正切的意义，并能举例说明；能够根据正切的概念进行简单的计算难点：能运用正切、坡度解决问题三、教学过程【新课导入】[提出问题]对直角三角形的边角关系，已经研究了什么？还可以研究什么？[解答]学生回答后教师明确：我们前面研究了直角三角形中角与角之间的关系（两锐角互余）、三边之间的关系（勾股定理），还可以研究边与角之间的关系.[提出问题]在直角三角形中,知道一边和一个锐角,你能求出其他的边和角吗?猜一猜,这座古塔有多高?想一想,你能运用所学的数学知识测出这座古塔的高吗?[课件展示]学了这节内容,问题便会迎刃而解.板书课题第一章直角三角形的边角关系第1节锐角三角函数第1课时正切.【新知探究】正切的定义[解答]展示课件，从梯子的顶端A到墙角C的距离，称为梯子的铅直高度；从梯子的底端B到墙角C的距离，称为梯子的水平宽度；梯子与地面的夹角∠ＡＢＣ称为倾斜角.[提出问题]问题1：比较泰山和华山的步道，衡量山“险”与“不险”的标准是什么呢？问题2：你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？[课件展示][交流讨论]小组之间交流讨论.得出结论：与倾斜角有关，可以测量角度.[解答]倾斜角越大——山越“险”；梯子越陡.学生分成三组，依次对应课件三个模型，展开小组讨论.[提出问题]梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？[解答]小组之间交流讨论.教师明确：第一个小组的模型中，大家可以发现三角形的竖直高度是一样的，此时水平宽度越小，梯子越陡.[提出问题]梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？[解答]小组之间交流讨论.教师明确：第二个小组的模型中，大家可以发现三角形的水平宽度是一样的，此时水平宽度越大，梯子越陡.[提出问题]梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？[解答]小组之间交流讨论.教师明确：第三个小组的模型中，大家可以发现竖直高度与水平宽度的比是相等的，此时梯子一样陡.[提出问题]问题3：你有几种方法比较梯子AB和EF哪个更陡？[解答]当铅直高度与水平宽度的比越大，梯子越陡.倾斜角越大，梯子越陡.[归纳总结]铅直高度与水平宽度的比和倾斜角的大小都可用来判断梯子的倾斜程度.通过我们刚才的学习，相信同学们现在已经能自主解决课本上（1）、（2）的问题.（学生解题，教师补充）[过渡]课本上的想一想，能帮助我们更好理解并掌握刚才我们学过的知识.[提出问题]想一想：如图，小明想通过测量B1C1及AC1，算出它们的比，来说明梯子的倾斜程度；而小亮则认为，通过测量B2C2及AC2,算出它们的比，也能说明梯子的倾斜程度.你同意小亮的看法吗？和有什么关系?（1）直角三角形AB1C1和直角三角形AB2C2有什么关系?和有什么关系?（2）如果改变B2在梯子上的位置(如B3C3)呢?思考：由此你得出什么结论?[课件展示][师生总结]（1）两个直角三角形相似.（2）相等.（3）相似三角形的对应边成比例.思考：直角三角形中，锐角大小确定后，对应的对边和邻边的比值也就确定了.[归纳总结]在Rt△ABC中,如果锐角A确定，那么∠A的对边与邻边的比便随之确定，这个比叫做∠A的正切,记作tanA,即tanA=tanA=那么梯子的倾斜程度与tanA有关系吗？我们可以得出结论tanA的值越大，梯子越陡.（并参考课件明确定义中的几点说明）相信通过之前的学习同学们已经能够自主解答例1的问题.（课件展示例1的问题，学生自主解答）[归纳总结](1)倾斜程度，其本意指倾斜角的大小，一般来说，倾斜角较大的物体，就说它放得更“陡”.(2)利用物体与地面夹角的正切值来判断物体的倾斜程度，因为夹角的正切值越大，则夹角越大，物体放置得越“陡”.（二）坡度[课件展示]如图,正切也经常用来描述山坡的坡度.例如，有一山坡在水平方向上每前进100m就升高60m,那么山坡的坡度i(即tanα)就是:[教师补充]1.坡面与水平面的夹角(α)叫坡角.2.坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度i(或坡比),即坡度等于坡角的正切.3.坡度越大,坡面越陡.【课堂小结】tanA=一、正切的定义tanA=二、与梯子倾斜程度的关系∠A越大，tanA越大,梯子越陡三、坡度【课堂训练】学生完成本课时PPT练习题，教师讲评.【布置作业】【板书设计】第一章直角三角形的边角关系1锐角三角函数第1课时正切1.正切tanA=2.与梯子倾斜程度的关系：∠A越大，tanA越大,梯子越陡3.坡度i【教学反思】一、案例的“亮点”1.通过复习已经学过的知识，和泰山和华山步道的图片作为新课的导入，使学生既能温习学过的知识，又能和即将学习的新的知识产生联系，增加学习的兴趣.2.为了帮助学生理解正切的定义，采用层层设问的方法，使学生在思考解决问题的过程中，掌握这一知识结构，并进行分组讨论，让学生积极参与课堂，主动探究讨论.如：梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？通过对三组模型分别设问，学生自主比较探究，对简单模型探究发现答案，教师补充总结.并由一般到特殊，当三角形边长不相等时，或者不成比例时又该如何比较？通过结合三组模型的例子得出答案，并通过课本类似的问题检验学习效果.3.通过刚才的学习，学生已经能够了解角度，边长的关系，趁热打铁对课本想一想问题的解决，引出正切的定义，并对其中需要注意的点进行说明与强调，进而得出正切值