第27章圆章末重点题型复习（14题型）

第27章圆章末重点题型复习垂径定理如图，的半径为10，弦长，弦心距的长为A．5 B．6 C．7 D．8【解答】解：，，，，故选：．如图，是某供水管道的截面图，里面尚有一些水，若液面宽度，半径于，液面深度，则该管道的半径长为A． B． C． D．【解答】解：连接，，为的中点，，设圆的半径为，在中，，根据勾股定理得：，即，解得：，故选：．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知，则球的半径长是A． B． C． D．【解答】解：取的中点，作于点，取上的球心，连接，四边形是矩形，，四边形是矩形，，设，则，，，在直角三角形中，即：解得：故选：．中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志．如图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线（即圆弧），高铁列车在转弯时的曲线起点为，曲线终点为，过点，的两条切线相交于点，列车在从到行驶的过程中转角为．若圆曲线的半径，则这段圆曲线的长为．【解答】解：、是的切线，点、点是切点，，，即，，，，这段圆曲线的长为，故答案为：．圆周角定理如图，的半径垂直于弦，是优弧上的一点（不与点，重合），若，则等于A． B． C． D．【解答】解：的半径垂直于弦，，，，故选：．如图，为的直径，，为上的点，．若，则的度数为A． B． C． D．【解答】解：如图，连接，，，，，，，，故选：．如图，点，，是上的三点．若，，则的度数为．【解答】解：与所对弧为，由圆周角定理可知：，又，．故答案为：．圆内接四边形的性质如图，四边形是的内接四边形，，则的度数是A． B． C． D．【解答】解：，，．故选：．如图，四边形内接于，连接．若，，则的度数是A． B． C． D．【解答】解：连接，，，，，，，，．故选：．如图，四边形内接于，为直径，．若，则的长为A． B．2 C． D．4【解答】解：连接，四边形是的内接四边形，，，，，是等边三角形，，，，，故选：．如图，四边形内接于，延长交于点，连接．若，，则50．【解答】解：是的直径，，，四边形内接于，，，故答案为：50点与圆的位置关系已知四边形内接于，对角线是的直径．（1）如图1，连接，，若，求证：平分；（2）如图2，为内一点，满足，．若，，求弦的长．【解答】（1）证明：，，，即平分；（2）延长交于，延长交于，，，，是的直径，，，，，，四边形是平行四边形，，．三角形的外接圆与外心如图，为的内接三角形，为的直径，点在上，，则的度数等于．【解答】解：为的直径，，，，，，故答案为：直线与圆的位置关系如图，在中，，点是上一点，且，点在上，以点为圆心的圆经过、两点．（1）试判断直线与的位置关系，并说明理由；（2）若，的半径为3，求的长．【解答】解：（1）直线与相切，理由：连接，，，，，，，，，，，是的半径，直线与相切；（2），，，，在中，，设，，，，．切线的性质如图，是的直径，是的切线，为切点，与交于点，连接．若，则的度数为A． B． C． D．【解答】解：是的切线，，，，，，，．故选：．如图，是的切线，为切点，的延长线交于点，连接，若，，则等于A．4 B．6 C． D．【解答】解：连接．是的切线，为切点，，在直角中，，则，．故选：．如图，切于点，交于点，点是上异于点、的一点，若，则的度数是29度．【解答】解：切于点，，，，．故答案为：29．如图，在中，，过点作半圆的切线，交于点．（1）求证：；（2）若，，求的长．【解答】（1）证明：连接，，是的切线，，，为直径，，，，，，，，，；（2）解：由（1）知，，，，，，，，，，是等边三角形，，，，的长为．如图，、是的两条切线，、是切点，若，，则的半径等于1．【解答】解：、是的两条切线，，，，，，，的半径等于1．故答案为：1．切线的判定与性质如图，是的直径，是上一点，过点作，交的延长线于，交于点，是的中点，连接．（1）求证：是的切线．（2）若，求证：．【解答】（1）证明：是的直径，，点是的中点，，，，，，，，即，与相切；（2）解：连接，，，，，，，，，，，．正多边形和圆如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形的中心与原点重合，轴，将六边形绕点逆时针旋转，每次旋转，则第2024次旋转结束时，点的坐标为A． B． C． D．【解答】解：如图，连接、，设交轴于点，，边长为2的正六边形的中心与原点重合，轴，，轴，，，是等边三角形，，，，，，将六边形绕点逆时针旋转，每次旋转，第1次旋转结束时，点的坐标为，第2次旋转结束时，点的坐标为，第3次旋转结束时，点的坐标为，第4次旋转结束时，点的坐标为，，为4次一个循环，，第2024次旋转结束时，点的坐标为，故选：．将刻度尺按如图所示的方式放置在正六边形上，顶点，分别对应直尺上的刻度12和4，则与之间的距离为A．8 B． C． D．4【解答】解：如图，设正六边形的中心为，由题意可知，，正六边形，是正三角形，，，即与之间的距离为．故选：．如图，把圆分成六等分，经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的图形是这个圆的外切正六边形，的半径是，它的外切正六边形的边长为A． B． C． D．【解答】解：如图，，所以，，所以，外切六边形的边长．故选：．如图，以正六边形的顶点为旋转中心，将正六边形按顺时针方向旋转，使得的对应点落在直线上，则正六边形至少旋转．【解答】解：多边形是正六边形，，要使新正六边形的顶点落在直线上，则至少为，则正六边形至少旋转．故答案为：．如图，正六边形的外接圆的半径为2，过圆心的两条直线、的夹角为，则图中的阴影部分的面积为．【解答】解：如图，连接，标注直线与圆的交点，由正六边形的性质可得：，，三点共线，为等边三角形，，，，扇形与扇形重合，，为等边三角形，，过作于，，，，；故答案为：．大自然中有许多小动物都是“小数学家”，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．一个巢房的横截面为正六边形，如图所示，若边心距，则这个正六边形的面积是．【解答】解：连接，，如图所示：六边形是正六边形，，，为等边三角形，，，，，，根据勾股定理得：，即，解得：，负值舍去，，，．故答案为：．多边形内角与外角如图，由六个正九边形中间可以拼接出一个美丽的“梅花形图案”，则图中的度数为A． B． C． D．【解答】解：正九边形每个内角的度数为，则，故选：．如图所示，在正六边形内，以为边作正五边形，则．【解答】解：在正六边形内，正五边形中，，，．故答案为：．如图①是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，窗外之境如同镶嵌于一个画框之中．如图②是八角形空窗的示意图，它的一个外角．【解答】解：正八边形的外角和为，每一个外角为．故答案为：．弧长的计算将透明的三角形纸板按如图所示的方式放置在量角器上，使点、落在量角器所在的半圆上，且点、的读数分别为，，若该量角器所在半圆的直径为，则弧的长为．【解答】解：如图，连接，．由题意，，又该量角器所在半圆的直径为，，弧的长为．故答案为：．2023年旅游业迎来强势复苏．某古城为了吸引游客，决定在山水流淌的江中修筑如图1所示的“”型圆弧堤坝．若堤坝的宽度忽略不计，图2中的两段圆弧半径都为57米，圆心角都为，则这“”型圆弧堤坝的长为米．（结果保留【解答】解：“”型圆弧堤坝的长为（米．故答案为：．如图1所示的铝合金窗帘轨道可以直接弯曲制作成弧形．若制作一个圆心角为的圆弧形窗帘轨道（如图需用此材料，则此圆弧所在圆的半径为900．【解答】解：设此圆弧所在圆的半径为，由弧长公式得：，解得：，即此圆弧所在圆的半径为，故答案为：900．扇形面积的计算如图，点在半圆上，直径，，则图中阴影部分的面积为（结果保留．【解答】解：点是的中点，线段是的中线，，，，，直径，，，故答案为：．如图，正方形的边长为2，分别以点，为圆心，以正方形的边长为半径的圆相交于点，则图中阴影部分的面积为．【解答】解：连接、，过作于，正方形的边长为2，，分别以点，为圆心，以正方形的边长为半径的圆相交于点，，即是等边三角形，，，，，阴影部分的面积，故答案为：．如图矩形中，，，连接，将线段、分别绕点顺时针旋转至、，线段与弧交于点，连接，则图中阴影部分面积为．【解答】解：在矩形中，，，，，，线段、分别绕点顺时针旋转至、，，，，阴影部分面积，故答案为：．如图，网格中每个小正方形的边长均为1，线段的两个端点均在格点上，将线段绕点顺时针旋转到图中的位置，点也在格点上，连接，点是的中点，格点在上，则图中阴影部分的面积为．【解答】解：如图，由题意可知的中点在格点上，连接，，由网格构造直角三角形，利用勾股定理得，即，，即，，即，，，，，故答案为：．尺规作图如图，，为的两条半径，直线与相切于点．（1）请用无刻度的直尺和圆规过点作线段的垂线（要求：不写作法，保留作图痕迹）；（2）连接，若（1）中所作垂线分别与，直线交于点和点．①求证：；②若的半径为4，，求的长．【解答】（1）解：如图，为所作；（2）①证明：直线与相切于点，，，即，，，，，，，而，；②在中，，，，，；，设，则，，在中，，解得，．图①、图②、图③中每个小正方形的顶点称为格点，图中点、、、、、、、分别是圆上的格点，仅用无刻度直尺，分别确定图①、图②、图③中的圆心．（保留适当的作图痕迹）【解答】解：圆心如图所示：圆的综合题【问题背景】小初同学在学习圆周角时了解到：圆内接四边形的对角互补．如图①，点、、、均为上的点，，则有95；【问题探究】爱思考的小初同学发现：如图②，点，，，均为上的点，若，点为弧上任意一点（点不与点、重合），若点在运动的过程中始终保持，则的度数恒为．下面是小初的证明过程：证明：延长至点使，连接．缺失（1）在与中，，．，，，又，，，为等边三角形．缺失（2）请你补全缺失的证明过程．【结论应用】如图③，点，，，均为上的点，若，点为弧上任意一点（点不与点、重合），且，的半径为2，当点在