锐角三角函数（原卷版）2024-2025学年九年级数学上学期复习讲义（下册）（人教版）

20242025学年九年级数学上学期同步复习讲义（下册）（人教版）锐角三角函数教学目标1．理解锐角三角函数的定义，掌握特殊角的三角函数值，会运用锐角三角函数解直角三角形；2．通过观察图象，进一步培养学生类比的教学思想；3．通过锐角三角函数的学习，感受图形和语言的和谐美，让学生积极参与到数学学习活动中，增强他们对数学学习的好奇心与求知欲。教学重难点重点：特殊角的三角函数值、解直角三角形；难点：通过做高线构造直角三角形。教学内容锐角三角函数锐角三角函数知识点一：锐角三角函数相关概念1、正弦、余弦的定义在Rt△ABC中，锐角∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA。即sinA=∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA。即cosA=2、正切的定义在Rt△ABC中，锐角∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即3、锐角三角函数：锐角A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函数，在Rt△ABC中，∠C为直角，则∠A（∠A可换成∠B）的锐角三角函数为：定义表达式正弦余弦正切知识点二：特殊角的三角函数值三角函数30°45°60°1知识点三：解直角三角形已知条件图形解法已知一直角边和一个锐角已知斜边和一个锐角已知两直角边已知斜边和一条直角边考点一：根据定义求锐角三角函数值【例1】如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠A≠45°，则下列比值中不等于cosB的是（）A．CDAC B．BDCB C．CDCB【变式训练1】如图，在Rt△ABC中，BC＝4，AC＝3，∠C＝90°，则cosB的值为（）A．34 B．35 C．45【变式训练2】在Rt△ABC中，∠B＝90°，已知AB＝3，BC＝4，则tanA的值为（）A．45 B．35 C．43【变式训练3】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，cos∠B=45，则A．6 B．8 C．9 D．15【变式训练4】直角三角形纸片ABC，两直角边BC=4，AC=8，现将△ABC纸片按如图那样折叠，使A与电B重合，折痕为DE，则tan∠CBE的值是（

A．12 B．34 C．1 【变式训练5】如图，AB是⊙O的直径，点C和点D分别位于AB的两侧，若BC＝2AC，则cos∠BDC＝（）A． B．2 C． D．考点二：特殊角的三角函数【例21】若为锐角，且，则的值为A． B． C． D．【变式训练1】已知是锐角，且，则的值是A． B． C． D．【变式训练2】计算sin230°+cos260°的结果为（）A．12 B．32 C．1 【变式训练3】在锐角△ABC中，(tanC−3)2A．30° B．45° C．60° D．75°【例22】计算：|﹣3|﹣2tan45°+（﹣1）2022﹣（﹣π）0．【变式训练1】计算：（﹣2022）0﹣2tan45°+|﹣2|+．【变式训练2】计算：．【变式训练3】计算：．【变式训练4】计算：−32【变式训练5】计算：（1）；（2）．考点三：作高法构造直角三角形求角的正弦、余弦、正切值【例3】如图，在△ABC中，∠A=30°，AC=23，tanB=32，则

A．2+23 B．3+3 C．4【变式训练1】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,CD⊥AB于点D，将△ACD沿直线CD折叠，点A在AB边上的点E处，已知AC=5,DE=3，则sin∠BCE

A．725 B．35 C．45【变式训练2】在△ABC中，若AB=58，tanB=37，AC=3【变式训练3】如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，D是边AB上一点，且tan∠BCD=1（1）试求sinB（2）试求△BCD的面积.考点四：解直角三角形【例41】如图，某博物馆大厅电梯的截面图中，AB的长为12米，AB与AC的夹角为α，则高BC是（）A．12sinα米 B．12cosα米 C．米 D．米【变式训练1】如图，AD是△ABC的高．若BD＝2CD＝6，tanC＝2，则边AB的长为（）A．3 B．3 C．6 D．3【变式训练2】如图，在△ABC中，AC＝BC＝6，，则边AB的长是（）A． B． C． D．【例42】如图，点A、B、O都在格点上，则∠AOB的正弦值是（）A． B． C． D．【变式训练1】如图所示，网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在交点处，则∠ABC的正弦值为（）A． B． C． D．【变式训练2】如图，已知点P（4，3），OP与x轴正半轴的夹角为α，则cosα＝（）A． B． C． D．【例43】如图，在△ABC中，AB＝6，sinB＝，tanC＝，求△ABC的面积．【变式训练1】在△ABC中，AC＝4，BC＝6，∠C为锐角且tanC＝1．（1）求△ABC的面积；（2）求AB的值；（3）求cos∠ABC的值．【变式训练2】如图，在△ABC中，CD是边AB上的高，AE是BC边上的中线，已知AD＝8，BD＝4，cos∠ABC＝．（1）求高CD的长；（2）求tan∠EAB的值．【变式训练3】如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于D，若AC＝15，cosA＝．求BC长．【例44】如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一点，OD⊥AB交AC于点E，DE＝DC．（1）求证：DC是⊙O的切线；（2）若OA＝4，OE＝2，求cosD．【变式训练1】如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的长为半径的圆O与AD，AC分别交于点E，F，且∠ACB＝∠DCE.（1）判断直线CE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；（2）若tan∠ACB＝eq\f(\r(2),2)，BC＝2，求⊙O的半径．【变式训练2】如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB，DC，DF.（1）求∠CDE的度数；（2）求证：DF是⊙O的切线；（3）若AC＝2eq\r(5)DE，求tan∠ABD的值．【变式训练3】如图，AB为⊙O直径，C、D为⊙O上不同于A、B的两点，∠ABD=2∠BAC，连接CD.过点C作CE⊥DB，垂足为E，直线AB与CE相交于F点.（1）求证：CF为⊙O的切线；（2）当BF=5，时，求BD的长.【题型1：锐角三角函数的定义】1．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝3，那么下列各式中正确的是（）A．sinA＝ B．tanA＝ C．tanB＝ D．cosB＝2．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝，AC＝，tanA的值是（）A． B．1 C． D．无法确定3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝4，BC＝3，则cosB等于（）A． B． C． D．【题型2：特殊角的三角函数值】1．计算：（﹣1）0+（）﹣2+|﹣2|+tan60°；2．计算：•+4|1﹣|sin60°﹣（）﹣1．3．计算：（1）；（2）2tan60°+tan45°﹣4cos30°．【题型3：解直角三角形】1．如图，在平面直角坐标系中，第一象限内的点P在射线OA上，OP＝13，cosα＝，则点P的坐标为（）A．（5，13） B．（5，12） C．（13，5） D．（12，5）2．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝3，BC＝2，tanA＝，则CD的值为（）A．2 B． C． D．3．如图，在平面直角坐标系