对圆锥曲线教学的研究

[13]。4.4射影几何中的圆锥曲线射影几何中椭圆、双曲线、抛物线本质上是一个东西。那么我们在学习时，只知道抛物线有准线，但实际上椭圆和双曲线也有准线，那么我们根据射影几何中的对圆锥曲线的理解就可得到椭圆长轴的两边和双曲线实轴的里边存在着准线。平面几何中，点与直线的地位不平等；在射影几何中点与直线的地位是平等的，并且任意点和直线之间建立了一一对应关系，即极点极线，为圆锥曲线性质的研究尤其是定值定点问题的研究提供了强大的几何背景。圆锥曲线的一个焦点与相应准线就是该圆锥曲线下的一个极点与极线的对应；圆锥曲线上一点和该点处的切线也是在该圆锥曲线下的一个极点与极线的对应。4.5光学中的圆锥曲线圆锥曲线的光学性质可以用物理的方法来证明。观察图像不管P在哪，两条线与切线的夹角刚好一样。已知PF1+PF2=2a距离之和固定，也就是说P点随便动一动，L1变长多少，L2图4.5.15圆锥曲线与方程单元的教材内容分析5.1教材内容分析以2019版人教A版为基础进行分析。（1）椭圆的定义及方程：利用两钉一线画法引入椭圆，进而得到控制椭圆具体形状的两个定值长轴2a和焦距2c。根据这两个定值和椭圆的形状特点建系坐标系，采用二次平方法得到椭圆的标准方程。紧接着介绍圆与椭圆之间的拉伸压缩关系（仿射变换）和椭圆的第三定义（顶点与斜率定义）。（2）椭圆的几何性质：教材从范围、对称性、顶点、离心率介绍椭圆的简单几何性质，然后再介绍椭圆的光学性质、椭圆的第二定义、直线与椭圆的位置关系以及圆与椭圆的离心率的几何关系。（3）双曲线的定义及方程：利用信息技术通过两圆相交的轨迹分别画出椭圆和双曲线。类比于椭圆建系的方法得到双曲线的标准方程。紧接着探究双曲线的第三定义并与椭圆的第三定义寻找相同点与不同点。（4）双曲线的几何性质：教材从范围、对称性、顶点、渐近线、离心率介绍双曲线的简单几何性质，然后再介绍双曲线的第二定义、直线与双曲线的位置关系以及圆与双曲线的离心率的几何关系。（5）抛物线的定义及方程：类比椭圆与双曲线的第二定义（统一定义），得到抛物线的定义。然后介绍抛物线的光学性质。最后对抛物线和二次函数的联系进行探究。（6）抛物线的几何性质：类比椭圆与双曲线的简单几何性质介绍，而后介绍焦点弦与交点坐标的关系。5.2教材分析结果教材注重学生对圆锥曲线基本知识的掌握，设置的问题趋近知识点的本质和最基本的性质。意味着很多二级结论与基本知识相关，教师可以从中进行挖掘。当然教师还需要通过学习文献和相关高等数学资料，或者扩充与其他学科有关的知识内容，来进行多元教学，帮助学生建立立体的圆锥曲线记忆体系。教材就很少涉及考试经常会用来解题目的二级结论，导致学生在认识基本知识和二级结论时割裂开来，难以联系起来记忆。教材中没有把椭圆和双曲线的三种定义推导方程的过程联系起来。在介绍离心率时可重点把椭圆、双曲线与圆的离心率的几何表现（与圆的关系）和代数表现体现出来。根据圆锥曲线的统一性，利用抛物线的焦半径公式的特殊性去探索椭圆与双曲线的焦半径的表达式。6圆锥曲线与方程单元的教学重构以下从离心率、方程、焦半径进行教学重构。6.1离心率从前面对圆锥曲线的研究表明，圆锥曲线的引入离不开圆。而且通过对圆进行折纸得到椭圆和双曲线是最经典的做法（如图6.1.1、6.1.2）。而该原理中的F点在费曼失传的演讲中被描述为离心点。通过圆得到的椭圆和双曲线我们可以发现椭圆的离心点在圆的里面，双曲线的离心点在圆的外面。由于数轴上，0到1之间可以表示1后边的无穷多个倒数，1这个数字很重要。所以类比于数字的特点，以圆的边界做单位1，大胆猜测离心点在圆里面说明离心率小于1，离心点在圆的外面，说明离心率大于1。事实证实确是如此。这样引入的好处可以给学生对后续离心率的概念有更深的理解。在教学椭圆的圆扁程度时，也可以利用数字的形状，0这个数字相对于1这个数字是圆的，1这个形状扁的不能再扁，所以离心率越趋于0，图形越圆，离心率越趋于1，图形越扁。图6.1.1图6.1.26.2方程在讲授方程时，可以联想截距式方程。可以发现标准方程的参数与图形和坐标轴的交点（顶点）有关。并且在利用二次平方法推导椭圆的标准方程时，转化一下中间的步骤可以得到椭圆的第二定义（统一定义）和第三定义（顶点与斜率定义）。而顶点与斜率定义在圆锥曲线中涉及垂径定理，是重要的解题技巧。垂径定理也可以从圆到椭圆的仿射规律中得来。这样多种角度介绍可以让学生对知识点的思考面拓宽，更有利于学生对知识点的记忆。例如，从图中可以发现在圆中过圆心的直线l1引出的斜率为k1,k2的直线的乘积必等于-1，而椭圆中也必然只需l2过椭圆中心即可（图6.2.1）。通过仿射几何推导，已知圆的方程为x2+y2=1，点Px,y是圆上任意一点，作坐标变换图6.2.1图6.2.2图6.2.3由于大部分时候先对圆锥曲线的标准方程进行教学，再进行参数方程的教学时没有与标准方程进行很好的联系，那么会导致学生思考路径的断裂，无法把参数方程和标准方程放在同等认知地位。但是通过观察标准方程等式右边等于1，我们会思考为什么等于1？例如x2a2+y2b2=m,表示椭圆离心率不变，6.3焦半径根据教材中内容的编排可以发现在抛物线中焦半径公式是最特殊的。那么由于抛物线只有第二定义（统一定义），那么我们可以联想，能否利用第二定义来推导椭圆和双曲线的焦半径公式，答案显而易见，利用第二定义能更快推导出焦半径公式（坐标型）|PF|=a±ⅇx07研究的结论与展望学习知识时，是努力找到知识背后的原理，让定理、概念阐述的东西符合自己的直觉、理解，并建立知识之间的联系，而解题是反过来，理解题目在描绘什么情形，什么感觉，根据理解到的感觉，用学过的知识进行解释，证明。通过研究，我们发现结合数学史，可以帮我们建立对知识的感性认识；结合考试中的二级结论，可以达到扩充知识面，增加知识之间的联系，这种多角度教学，可以使学生对知识的记忆立体化，利于学生在解题时更容易找到感觉去证明，利于学生在面对圆锥曲线题目时得到学习结果的正反馈，更利于刺激学生学习数学的兴趣，激发学生的创造性思维去思考题目。数学的触角几乎遍及人类社会的每一个角落，以及历史和生命的每一个瞬间。对知识同时具有感性和理性认识，感性认识让我们在理性的思考下能够保有创造力思考，而理性认识能够证实感性认识的合理性，二者相辅相成，能够让我们对知识的记忆更加牢固。我们利用每一个能与所学知识搭上联系的旧知识，建立它们之间的联系，帮助我们更有效率的成长。参考文献王海青.问题驱动理论下“圆锥曲线与方程”教学重构[D].广州大学,2019.李红春.仿射变换下一类椭圆问题的简单解法[J].中学数学月刊,2012,(12):40-42+49.王雅琪.仿射几何与北京高考解析几何试题——2016高考北京卷第19题的背景和拓展[J].中学生数学,2017(15):2-5.陈绍纲.论射影几何对中学解析几何教学的指导意义[J].聊城师院学报(自然科学版),1999(03):76-78.DOI:10.19728/j.issn1672-6634.1999.03.023.成海涛.射影几何的产生和发展[J].语数外学习(高中版上旬),2020(05):58-60.韦少强.基于教材提炼方法灵活应用——曲线系法在求解圆锥曲线问题的应用[J].教学考试,2024,(11):51-54.杨玲.立足教材培养数学核心素养——以“圆锥曲线案例教学设计”为例[J].中学数学,2023,(17):11-12+23.陈霞.高中数学人教A版教材中圆锥曲线内容的比较研究[J].数理天地(高中版),2023(13):74-76.顾维维.突破圆锥曲线中三角形面积问题的教学设计与思考[J].理科爱好者,2023,(01):113-115.曹军,郭天印.HPM视角下培养学生数学抽象素养的教学设计探究——以新人教版选择性必修第一册（A版）“抛物线