2019年全国高中数学联赛四川省初赛试题及答案

第页2019年全国高中数学联赛（四川预赛）试题一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．1.设正六边形的边长为1，则.2.双曲线的右焦点为，离心率为，过点且倾斜角为的直线与该双曲线交于点，若的中点为，且等于半焦距，则．3.满足（其中的有序数组的组数是．4.已知正四棱锥的高为3，侧面与底面所成角为，先在内放入一个内切球，然后依次放入球、、、，使得后放入的各球均与前一个球及的四个侧面均相切，则放入所有球的体积之和为．5.设一个袋子里有红、黄、蓝色小球各一个，现每次从袋子里取出一个球（取出某色球的概率均相同），确定颜色后放回，直到连续两次均取出红色球时为止．记此时取出球的次数为，则的数学期望为．6.已知为实数，且对任意，当时，恒成立，则的最大值是．7.已知数列满足：，其中表示不超过实数的最大整数．设为实数，且对任意的正整数，都有．则的最小值是．8.若正整数使得方程有正整数解，称为“好数”，则不超过2019的“好数”个数是．二、解答题：本大题3小题，满分56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9.（本题满分16分）设点的坐标为，点为圆上的两动点，满足，求面积的最大值．10.（本题满分20分）设，为实数，使得恒成立，求的最大值．11.（本题满分20分）已知函数．（1）证明：当时，；（2）设函数有极小值，求的取值范围．2019高中数学联赛甘肃赛区试卷一、填空题（每题7分，满分70分，将答案填在答题纸上）1.已知函数为奇函数，函数为偶函数，且，则．耐心等待考试结束。2.已知，满足约束条件，若的最小值为1，则．3.已知向量，其中为实数，若，则的取值范围是．4.某校高三年级要从5名男生和2名女生中任选3名代表参加数学竞赛（每人被选中的机会均等），则在男生甲被选中的情况下，男生乙和女生丙至少一个被选中的概率是．5.若，则．6.已知所在平面与矩形所在平面互相垂直，，若点都在同一个球面上，则此球的表面积为．7.已知正数满足，则的最大值为．8.设复数，，则的最小值是．9.已知，为自然对数的底数，则的最小值为．10.已知双曲线，是实轴顶点，是右焦点，是虚轴端点，若在线段上（不含端点）存在不同的两点，使得构成以为斜边的直角三角形，则双曲线离心率的取值范围是．二、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）11.在中，角的对边分为，且，，上的中线的长为.（1）求角和角的大小；（2）求的面积.12.在一次全省科普知识竞赛中，某市3000名参赛选手的初赛成绩统计如图所示.（1）求的值，并估计该市选手在本次竞赛中，成绩在上的选手人数；（2）如果在本次竞赛中该市计划选取1500人入围决赛，那么进入决赛选手的分数应该如何制定？（3）如果用该市参赛选手的成绩情况估计全省参赛选手的成绩情况，现从全省参赛选手中随机抽取4名选手，记成绩在80（含80）分以上的选手人数为，试求的分布列和期望.13.已知在数列中，，当时，其前项和满足.（1）求的表达式；（2）设，数列的前项和为，证明.14.如图，将边长为4的等边三角形沿与边平行的直线折起，使得平面平面，为的中点.（1）求二面角的余弦值；（2）若平面，试求折痕的长.15.设向量为平面直角坐标系中轴正方向上的单位向量，若向量，且.（1）求满足上述条件的点的轨迹方程；（2）设，问是否存在常数，使得恒成立？证明你的结论.16.已知函数.（1）若关于的不等式恒成立，试求实数的取值范围；（2）设，试证：.2019年全国高中数学联赛一、填空题（每小题8分，共64分，）函数的值域是.双曲线的右半支与直线围成的区域内部（不含边界）整点（纵横坐标均为整数的点）的个数是.已知是公差不为的等差数列，是等比数列，其中，且存有常数使得对每一个正整数都有，则.函数在区间上的最大值为8，则它在这个区间上的最小值是.两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两颗，第一个使两颗骰子点数和大于6者为胜，否则轮由另一人投掷.先投掷人的获胜概率是.正三棱柱的9条棱长都相等，是的中点，二面角,则.方程满足的正整数解（x,y,z）的个数是.二、解答题（本题满分56分）9.（16分）已知函数，当